Differenzialgleichungen für Einsteiger

Transkript

1 Sybille Handrock-Meyer Differenzialgleichungen für Einsteiger Eine anwendungsbezogene Einführung für Bachelor-Studiengänge

2 Sybille Handrock-Meyer Differenzialgleichungen für Einsteiger

3 Sybille Handrock-Meyer Differenzialgleichungen für Einsteiger Eine anwendungsbezogene Einführung für technische Bachelor-Studiengänge Mit 60 Bildern, 11 Tabellen, 62 Beispielen und 43 Aufgaben sowie einer Testklausur und Maple-Worksheets Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

4 Hochschuldozentin Dr. rer. nat. habil. Sybille Handrock-Meyer Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN: Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2007 Carl Hanser Verlag München Internet: Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Renate Roßbach Satz: Sybille Handrock-Meyer, Chemnitz Druck und Bindung: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany

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6 Vorwort If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is! (John von Neumann) Gewöhnliche Differenzialgleichungen sind für Ingenieure und Naturwissenschaftler ein unentbehrliches Hilfsmittel. Deshalb nimmt diese Thematik bei der Ausbildung der Studenten in technischen Bereichen einen gebührenden Platz ein. Das vorliegende Buch ist als eine anwendungsorientierte Einführung zu verstehen und wendet sich besonders an Einsteiger und an Studenten technischer Bachelor-Studiengänge. Ich habe mich bemüht, nach drei Gesichtspunkten vorzugehen: 1. Die mathematischen Vorkenntnisse der Leser so gering wie möglich anzusetzen, 2. den Anwendungsaspekt zu betonen, 3. moderne Methoden der Computeralgebra einzubinden. Das Buch ist für Studenten ab dem dritten Semester gedacht. Ein Teil der Beispiele und Aufgaben wird von der mathematischen Modellierung des Problems bis zur Interpretation der Lösung bearbeitet. Die ersten sechs Kapitel enthalten Kontrollfragen und einen Aufgabenteil. Im Kapitel 7 sind einfach nachzuvollziehende Beispiele für das Computeralgebrasystem MAPLE aufgelistet. Die entsprechenden MAPLE- Worksheets können unter syha/ heruntergeladen werden, um selbstständig zu üben. In den Anhängen 1 und 2 sind die Lösungen der Modellierungsbeispiele und der Aufgaben zu den Kapiteln 1 bis 6 zu finden. Eine Testklausur im Anhang 3 gibt die Möglichkeit zur Überprüfung des Wissensstandes der Leser. Selbstverständlich war bei dieser Konzeption und dem Umfang des Buches als Einsteigerliteratur eine Stoffeingrenzung erforderlich. Ich habe mich deshalb im Wesentlichen auf die in den Anwendungen häufig vorkommenden linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen und lineare Systeme erster Ordnung beschränkt. Dabei wird nur der Fall konstanter Koeffizienten abgehandelt. Auf Beweise wird verzichtet. Wer tiefer in die Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen eindringen möchte, kann dies mithilfe der im Literaturverzeichnis aufgeführten Bücher tun.

7 6 Vorwort Bedanken möchte ich mich bei den Studenten Andreas Ficker und Falko Hiller, die Teile des Manuskriptes lasen und ganz besonders bei Jens Köhler, der außerdem noch einen Teil der Aufgaben nachprüfte und die MAPLE-Worksheets testete. Ihre Vorschläge und Anregungen haben wesentlich zur Verbesserung das Manuskriptes beigetragen. Meinem verehrten Kollegen PD Klaus R. Schneider (Berlin), der ebenfalls Teile des Buches durchsah, verdanke ich viele fruchtbringende Diskussionen zum Thema. Prof. Bernd Luderer und PD Uwe Streit (beide TU Chemnitz) habe ich für die kritische Durchsicht des Manuskriptes zu danken. Sie waren mir mit ihrer mathematischen und sprachlichen Kompetenz eine große Hilfe und haben mich auf manche Unstimmigkeit hingewiesen. Herzlichen Dank auch meinem Mann, welcher mir besonders in der Endphase der Manuskripterstellung den Rücken freihielt. An dieser Stelle möchte ich mich auch bei Frau Christine Fritzsch vom Fachbuchverlag Leipzig für die konstruktive und angenehme Zusammenarbeit bedanken. Hinweise und Anregungen von Studenten und Lehrkräften werden stets dankend entgegengenommen. Und nun viel Spaß beim Studium des Buches! Chemnitz, im März 2007 Sybille Handrock-Meyer

8 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegende Begriffe Was ist eine gewöhnliche Differenzialgleichung? Einteilung gewöhnlicher Differenzialgleichungen LösungenundihregeometrischeInterpretation Anfangs-undRandwertprobleme Einige Beispiele zur Modellierung DirekteundinverseProbleme Bishierherallesklar? Differenzialgleichungen 1. Ordnung EingrafischesLösungsverfahren Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung WiederholungistdieMutterderWeisheit Lineare Differenzialgleichungenn-ter Ordnung Homogene und inhomogene Differenzialgleichungen LösungsstrukturlinearerGleichungen VariationderKonstanten EinalgebraischesLösungsverfahren DieSchwingungsgleichung DieMethodederLaplace-Transformation DefinitionundExistenzderLaplace-Transformation EigenschaftenderLaplace-Transformation RegelnfürdieRücktransformation Anwendung zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen HabenSieallesverstanden? Systeme linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten HomogeneundinhomogeneSysteme LösungsstrukturlinearerSysteme VariationderKonstanten EinalgebraischesLösungsverfahren Matrixeigenwertprobleme KonstruktioneinesFundamentalsystems Lösung von Anfangswertproblemen für Systeme mitdemalgebraischenlösungsverfahren...112

9 8 Inhaltsverzeichnis 4.6 Lösung von Anfangswertproblemen für Systeme mitderlaplace-transformation Jetztwiederholenwirnochmal! Einführung in die Stabilitätstheorie Stetige Abhängigkeit von den Eingangsdaten und Stabilität Stabilität der trivialen Lösung Stabilität und Gleichgewichtslagen Allesstabil? Etwas zur numerischen Lösung Das EULER-Verfahren Das HEUN-Verfahren Das klassische RUNGE-KUTTA-Verfahren KonvergenzundSchrittweite Annäherungsversuche Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen mit MAPLE Vorbemerkungen Lösung einer skalaren gewöhnlichen Differenzialgleichung LösungvonSystemen Grafische Lösung von Differenzialgleichungen Anhang 1: Lösungen der Modellierungsbeispiele 175 Anhang 2: Lösungen der Aufgaben 179 Anhang 3: Testklausur mit Lösungen 189 Anhang 4: Tabelle von Laplace-Transformationen 192 Literaturverzeichnis 198 Sachwortverzeichnis 199