Risikokennzahlen für Fonds

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1 Risikokennzahlen für Fonds Risikomaßzahlen: Berechnung, Aussagegehalt und Praxistauglichkeit Dirk Arning, 18. April 2017

2 Agenda * 1. Eine Frage der Definition : Risiko, Risikomaße* und Probleme 2. Einfach durchschnittlich : Mittelwerte und lineare Regression 3. Die Mutter aller Risikokennzahlen : Volatilität 4. Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen 5. Schwierige Verhältnisse? : Sharpe Ratio, Tracking Error, Information Ratio 6. Zusammenfassung / Bewertung * ohne Downside-Risikomaße 2

3 1.1 Eine Frage der Definition : Risiko Risiko im weiteren Sinne: Unsicherheit Gefahr der (negativen) Abweichung von den Erwartungen Risiko im engeren Sinne: (quantifizierbare) Wahrscheinlichkeit der Abweichung zum Negativen Risikokennzahlen: statistische Maße, die die Unsicherheit quantifizieren 3

4 1.2 Eine Frage der Definition : Probleme aller Risikokennzahlen (1) Berechnung von Risikokennzahlen basiert (meist) auf Vergangenheitsdaten oder (seltener) auf Prognosen Übertragbarkeit auf die Zukunft fraglich! insbesondere bei - Strategiewechsel - Managerwechsel - verändertem Marktumfeld (Marktumfeldbedingungen häufig in Cluster ) (2) Methoden der Berechnung verändern die Ergebnisse welcher Zeitraum? wie viele Datenpunkte (Tages-, Wochen-, Monats- oder Quartalsrenditen)? 4

5 2.1 Einfach durchschnittlich : arithmetisches Mittel nicht repräsentativ Auf einem Quadratkilometer in Rio de Janeiro wohnen (in einer von hohen Mauern umgebenen Villa) ein Millionär mit einem Vermögen von 10 Mio. Dollar und (ohne Villa) Favela-Bewohner mit einem Vermögen von je 2 Dollar. Arithmetisches Mittel: Die Summe wird geteilt durch die Zahl der Summanden ( x 2) Dollar Bewohner = 1.001,90 Dollar / Bewohner Nachteil des als Durchschnitt gelten arithmetischen Mittels: große Verzerrung durch extreme Einzelwerte Mittelwerte als häufigster oder (ordinal) mittlerer Repräsentant: Modus = häufigster Wert (hier 2 Dollar / Bewohner) Median = ordinal (d.h. nach Reihenfolge) mittlerer Wert (hier 2 Dollar / Bew.) 5

6 2.2 Einfach durchschnittlich : Modus und Median Weiterer Vorteil von Modus und Median: Sie können auch angegeben werden, wenn nicht mit kardinalen Größen (rechenbaren Zahlen) gerechnet werden kann. Beispielsweise Bonitäten in einem Rentenportfolio: 25% AAA 20% AA 10% A 20% BBB 20% BB 5 % B häufigster Wert = Modus mittlerer Wert = Median 6

7 2.3 Einfach durchschnittlich : geometrisches Mittel Während der Median die Extremwerte (an den Rändern der Verteilung) ausblendet, kann man auch gezielt Ausreißer höher gewichten: geometrisches Mittel (in Abgrenzung zum arithmetischen Mittel): Die einzelnen Ergebnisausprägungen werden miteinander multipliziert (statt addiert) und aus dem Ergebnis dann die n-te Wurzel gezogen. Vorteil: Abweichungen von der Mitte schlagen sich stärker nieder. (Diese Grundidee wird bei der Berechnung der Volatilität wieder aufgegriffen). 7

8 2.4 Einfach durchschnittlich : Beispiel zum geometrischen Mittel Beispiel: Für Aktie A schätzt Analyst 1 den Fair Value auf 100 Euro; für Aktie A schätzt Analyst 2 den Fair Value auf 100 Euro. Für Aktie B schätzt Analyst 1 den Fair Value auf 130 Euro; für Aktie B schätzt Analyst 2 den Fair Value auf 70 Euro. A: 100 Euro A: 130 Euro B: 100 Euro 100 x 100 geometr.mittel = 100 B: 70 Euro 130 x 70 geometr. Mittel = 95,4 8

9 2.5 Einfach durchschnittlich : lineare Regression Liegen jeweils zwei Merkmale vor (z.b. Rendite und Risiko), muss auch die Durchschnittsbildung zweidimensional werden. Rendite Welche Gerade beschreibt die Punktewolke am besten? Welche gerade Linie kommt den Punkten am nächsten? Risiko 9

10 2.6 Einfach durchschnittlich : Methode der kleinsten Quadrate Methode der kleinsten Quadrate : Wenn man die Abstände zur Gerade jeweils quadriert, welche Gerade kommt auf die geringste Summe der Quadrate? Rendite Diese Nähe der Linie zu den Punkten ist die Korrelation. Welche Gerade beschreibt die Punktewolke am besten? Welche gerade Linie kommt den Punkten am nächsten? Risiko 10

11 3.1 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Volatilität Volatilität ist die annualisierte Standardabweichung, die wiederum aus der Varianz berechnet wird, dem Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Ziel ist es, Abweichungen von der mittleren Entwicklung zu messen. Diese Abweichungen können als absolute Veränderungen (z.b. in Euro), als relative Veränderungen (in Prozent) oder als logarithmische Veränderung erfasst werden. Die Dimension der Volatilität entspricht der Dimension, in der die Veränderung erfasst wird. (z.b. Kartoffeln ). 11

12 3.2 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Kartoffel-Volatilität (1) Ein Bauer erntet auf einem bestimmten Ackerabschnitt in unterschiedlichen Jahren unterschiedlich viele Kartoffeln Kartoffeln 90 Kartoffeln 110 Kartoffeln arithmetisches Mittel: ( ) / 3 = 100 Kartoffeln / Jahr Differenzen zum arithmetischen Mittel: 0-10 (weniger) +10 (mehr) Quadrate der Differenzen (eliminiert Vorzeichen und betont Ausreißer): arithmetisches Mittel der quadrierten Differenzen: ( ) / 3 = 66,7 Die Varianz beträgt 66,7 Quadrat-Kartoffeln. Quadratwurzel aus der Varianz: Quadratwurzel aus 66,7 = 8,16 Die Standardabweichung beträgt 8,16 Kartoffeln. (während die durchschnittliche Abweichung 6,67 Kartoffeln beträgt.) 12

13 3.2 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Kartoffel-Volatilität (2) Ein Bauer erntet auf einem bestimmten Ackerabschnitt in unterschiedlichen Jahren unterschiedlich viele Kartoffeln Kartoffeln 90 Kartoffeln 110 Kartoffeln arithmetisches Mittel: 100 ( ) / 2 Kartoffeln / Jahr Differenzen zum arithmetischen Mittel: 0-10 (weniger) +10 (mehr) Quadrate der Differenzen (eliminiert Vorzeichen und betont Ausreißer): arithmetisches Mittel der quadrierten Differenzen: ( ) / 2 = 100 Die Varianz beträgt 100 Quadrat-Kartoffeln. Quadratwurzel aus der Varianz: Quadratwurzel aus 100 = 10 Die Standardabweichung beträgt 10 Kartoffeln. (und entspricht der durchschnittlichen Abweichung von 10 Kartoffeln.) 13

14 3.3 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Volatilität Die Berechnung von Volatilitäten bei Fonds basiert auf der Betrachtung der Abweichungen von einer (schwankungsfreien, mittleren) Wertentwicklung, i.d.r. als Prozentangabe. Deshalb übernimmt die Volatilität die Dimension %. Es muss der zeitliche Abstand, also die Größe der Zeitintervalle und damit die Anzahl der Meßpunkte definiert sein. Wird die Ermittlung der Standardabweichung für einen anderen als einen 12- Monats-Zeitraum vorgenommen, wird die Standardabweichung mittels eines Korrekturfaktors annualisiert. (Vergleichbar der Umrechnung einer Wertentwicklung über einen mehrjährigen Zeitraum in eine Per-Anno-Rendite.) 14

15 3.4 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Volatilität: Visualisierung Volatilität... ist die annualisierte Standardabweichung, die wiederum aus der Varianz berechnet wird, dem gewogenen Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. 15

16 3.4 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Volatilität: Visualisierung Volatilität... ist die annualisierte Standardabweichung, die wiederum aus der Varianz berechnet wird, dem gewogenen Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. 16

17 3.4 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Volatilität: Visualisierung Volatilität... ist die annualisierte Standardabweichung, die wiederum aus der Varianz berechnet wird, dem gewogenen Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Varianz Varianz = Standardabweichung 17

18 3.5 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Fonds-Volatilität (1) Ein Anteilswert liegt bei Jahresbeginn bei 100 Euro und am Jahresende bei 104 Euro. Es liegen nur Daten zum Anteilswert an jedem Quartalsende vor: Ende Q1 Ende Q2 Ende Q3 Ende Q Ohne Schwankungen hätte sich der Anteilswert wie folgt entwickelt (Geldmarkt): Differenzen zum Mittel (ohne Schwankungen): Quadrate der Differenzen: arithmetisches Mittel der quadrierten Differenzen: ( ) / 4 = 0 Die Varianz beträgt 0 Quadrat-Euro. Quadratwurzel aus der Varianz: Quadratwurzel aus 0 = 0 Die Standardabweichung beträgt = 0 Euro. 18

19 3.5 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Fonds-Volatilität (2) Ein Anteilswert liegt bei Jahresbeginn bei 100 Euro und am Jahresende bei 104 Euro. Es liegen nur Daten zum Anteilswert an jedem Quartalsende vor: Ende Q1 Ende Q2 Ende Q3 Ende Q Mit leichten Schwankungen (z.b. ein Rentenfonds): Differenzen zum arithmetischen Mittel: Quadrate der Differenzen (eliminiert Vorzeichen und betont Ausreißer): arithmetisches Mittel der quadrierten Differenzen: ( ) / 4 = 0,5 Die Varianz beträgt 0,5 Quadrat-Euro. Quadratwurzel aus der Varianz: Quadratwurzel aus 0,5 = 0,71 Die Standardabweichung beträgt = 0,71 Euro. 19

20 3.5 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Fonds-Volatilität (3) Ein Anteilswert liegt bei Jahresbeginn bei 100 Euro und am Jahresende bei 104 Euro. Es liegen nur Daten zum Anteilswert an jedem Quartalsende vor: Ende Q1 Ende Q2 Ende Q3 Ende Q Mit mittleren Schwankungen (z.b. ein Mischfonds): Differenzen zum arithmetischen Mittel: Quadrate der Differenzen (eliminiert Vorzeichen und betont Ausreißer): arithmetisches Mittel der quadrierten Differenzen: ( ) / 4 = 11,25 Die Varianz beträgt 11,25 Quadrat-Euro. Quadratwurzel aus der Varianz: Quadratwurzel aus 11,25 = 3,35 Die Standardabweichung beträgt 3,35 Euro. 20

21 3.5 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Fonds-Volatilität (4) Ein Anteilswert liegt bei Jahresbeginn bei 100 Euro und am Jahresende bei 104 Euro. Es liegen nur Daten zum Anteilswert an jedem Quartalsende vor: Ende Q1 Ende Q2 Ende Q3 Ende Q Mit hohen Schwankungen (Aktienfonds): Differenzen zum arithmetischen Mittel: Quadrate der Differenzen (eliminiert Vorzeichen und betont Ausreißer): arithmetisches Mittel der quadrierten Differenzen: ( ) / 4 = 93,5 Die Varianz beträgt 93,5 Quadrat-Euro. Quadratwurzel aus der Varianz: Quadratwurzel aus 93,5 = 9,67 Die Standardabweichung beträgt = 9,67 Euro. 21

22 3.6 Die Mutter aller Risikokennzahlen : Welche Volatilität ist normal? 40,0 35,0 Antwort: Das kommt darauf an (vor allem auf den Betrachtungszeitraum) hier: Durchschnittsergebnisse verschiedener Peergroups 2004 bis ,0 25,0 20,0 15,0 Regressionsgerade Bestimmtheit: (nur) 47% Sharpe-Ratio 1 (bei Geldmarktzins 0) 10,0 5,0 0,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 Rentenfonds meist bis 5% Aktienfonds meistens 9 bis 23% 22

23 4.1 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen Alpha Der erste Buchstabe des griechischen Alphabets steht in der Finanzmathematik für die (positive oder negative) Überrendite gegenüber einem Vergleichswert ( Benchmark ). 23

24 4.2 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen Wert des Fonds Alpha = Differenz zur Wertveränderung der Benchmark = Beta bestimmter Zeitraum 24

25 4.2 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen negatives Alpha bestimmter Zeitraum 25

26 4.3 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen Beta Der zweite Buchstabe des griechischen Alphabets steht in der Finanzmathematik für die (positive oder negative) Marktrendite. 26

27 4.3 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen Wertveränderung des Marktes = Beta bestimmter Zeitraum 27

28 4.3 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen Beta wird in der Einheit der Wertänderung angegeben, d.h. meistens in Prozentpunkten, denkbar aber auch in Geldeinheiten. Der Beta-Faktor (manchmal auch einfach Beta genannt) gibt das Marktrisiko ( systematische Risiko ) an, also mit welchem Faktor Marktbewegungen im Fonds ankommen : Betafaktor 1,0 bedeutet ein einfaches Marktrisiko. 28

29 4.3 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen bei Betafaktor 2,0 Markt = Beta 1,0 bei Betafaktor 0,5 bestimmter Zeitraum 29

30 4.4 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen bei Betafaktor 2,0 Markt = Beta 1,0 gemäß CAPM (Capital Asset Pricing Model) ist die zu erwartende Rendite eine lineare Funktion: Beta-Faktor des Papiers x Risikoprämie des Marktes + Geldmarktverzinsung 30

31 4.5 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen gemäß CAPM (Capital Asset Pricing Model) 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 ist die zu erwartende Rendite eine lineare Funktion: Beta-Faktor des Papiers x Risikoprämie des Marktes + Geldmarktverzinsung praktisch ergeben sich aber Differenzen: Jensen s Alpha realisierte Rendite bei diesem Risiko zu erwartende Rendite 15,0 10,0 5,0 0,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 31

32 4.7 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen Tracking Error... ist im einfachsten Fall (selten) die Differenz zwischen der Wertentwicklung der Benchmark und dem Fonds. 32

33 4.8 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen Tracking Error... ist (meist) die Standardabweichung der Renditedifferenzen zwischen der Benchmark und dem Fonds (berechnet als Durchschnitt der quadrierten Abweichungen). 33

34 4.6 Wer Alpha sagt, muss auch Beta und CAPM sagen Der Tracking Error ist das Maß für die Wertentwicklungs- Abweichung zwischen einem Fonds (Portfolio) und einer Benchmark. Im einfachsten Fall bezeichnet der Tracking Error die prozentuale Abweichung in der Wertentwicklung. Wissenschaftlich genauer ist die Berechnung des Tracking Error als Standardabweichung der Differenzen. Beispiel: Benchmark: Fonds: Differenzen: Quadrate: Summe der Quadrate / Anzahl der Meßpunkte: ( ) / 5 = 2 Tracking Error = Standardabweichung = Quadratwurzel aus 2 = 1,41 34

35 4.9 Wer Alpha sagt, muss auch Beta sagen : Der Beta-Faktor Beta-Faktor... gibt als Verhältniszahl an, wie stark sich die Renditen im Verhältnis zur Marktrendite verändern.... ist verwandt mit dem Korrelationskoeffizienten zwischen dem betrachteten Wert und der gewählten Benchmark.... kann für Einzelwerte und Portfolios berechnet werden.... wird als historisches Beta aus Vergangenheitswerten mittels linearer Regression berechnet. 35

36 5.1 Schwierige Verhältnisse? : Sharpe Ratio Sharpe-Ratio ist das Verhältnis der (Über-) Rendite zum Risiko. Ziel ist es, die den risikofreien Geldmarktzins übersteigende Rendite ins Verhältnis zum dabei erlittenen Risiko zu setzen. Zur Berechnung der Sharpe-Ratio wird zunächst vom erzielten Wertzuwachs der Geldmarktzins abgezogen und die verbleibende Überrendite durch die Volatilität geteilt. Die Sharpe-Ratio gibt als Verhältniszahl also an, wie viel Überrendite pro Risikoeinheit (i.d.r. pro ein Prozent Volatilität) erzielt wurde. Wurde der risikofreie Zins nicht erreicht, ist die Sharpe-Ratio nicht aussagekräftig. Beispiele: risikofreier Geldmarktzins sei 2% Fonds A erzielt 3% bei Vola 1%: ( 3 2 ) / 1 = Sharpe-Ratio 1 Fonds B erzielt 5% bei Vola 3%: ( 5 2 ) / 3 = Sharpe-Ratio 1 Fonds C erzielt 1% bei Vola 1%: ( 1 2 ) / 1 = Sharpe-Ratio -1 Fonds D erzielt 0% bei Vola 2%: ( 0 2 ) / 2 = Sharpe-Ratio -1 36

37 5.2 Schwierige Verhältnisse? : Treynor Ratio Treynor-Ratio ist das Verhältnis der (Über-) Rendite zum Risiko. Ziel ist es, die den risikofreien Geldmarktzins übersteigende Rendite ins Verhältnis zum dabei eingegangenen systematischen Risiko, also dem Marktrisiko, zu setzen. Zur Berechnung der Treynor-Ratio wird zunächst vom erzielten Wertzuwachs der Geldmarktzins abgezogen und die verbleibende Überrendite durch den Beta-Faktor geteilt. Die Treynor-Ratio gibt als Verhältniszahl also an, wie viel Überrendite im Verhältnis zum eingegangenen Marktrisiko erzielt wurde. 37

38 5.2 Schwierige Verhältnisse? : Information Ratio Die Information Ratio ist das Verhältnis der Outperformance (des Alphas relativ zur Benchmark) zum Tracking Error. Das Alpha ist die Abweichung von der Rendite der Benchmark bzw. des Marktes / Index ( Beta ). Die Information Ratio gibt an, wie viel (Prozentpunkte) der Fonds pro Prozentpunkt Abweichung vom Index besser als der Index war. Zur Berechnung der Information Ratio wird das Alpha geteilt durch den Tracking Error. Benchmark: Fonds: Differenzen: Quadrate: Summe der Quadrate / Anzahl der Meßpunkte: ( ) / 5 = 18,2 Tracking Error = Standardabweichung = Quadratwurzel aus 18,2 = 4,27 Beta = = +20 Alpha = = +5 Information Ratio = 5 / 4,27 = 1,17 38

39 6 Zusammenfassung / Bewertung: Aussagekraft der Kennzahlen WICHTIG: Alle hier besprochenen Kennzahlen sind historische Größen. Sie beschreiben (nur) die Vergangenheit. Die Volatilität ist das Maß für Abweichungen vom eigenen Mittelwert (Gesamtrisiko). Sie erlaubt deshalb keinerlei Analyse der Risikoquellen. Das Alpha ist die Outperformance gegenüber dem Markt (Beta). Jensen s Alpha ist die risiko-adjustierte Outperformance gegenüber dem Markt. Der Beta-Faktor gibt ex post an, wie stark die Marktperformance in der Fondsperformance ankommt. Der Tracking Error gibt ex post die Abweichung von der Benchmark an. Die Sharpe Ratio hilft ex post Fondsrenditen im Verhältnis zum eingegangenen (Gesamt-) Risiko zu bewerten (Überrendite pro Risiko). Die Treynor-Ratio hilft ex post Fondsrenditen im Verhältnis zum eingegangenen Marktrisiko zu bewerten (Überrendite pro Betafaktor). Die Information Ratio hilft ex post zu beurteilen, ob die Abweichung von der Benchmark (Tracking Error) erfolgreich war (Alpha pro Abweichung). 39

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