Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x.

Transkript

1 Technische Universität München WS 009/0 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Edenhofer Dipl.-Ing. W. Schultz Übung Lösungsvorschlag Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I Aufgabe H 35: 08B Newton-Verfahren Gegeben sei die Funktion f : IR IR mit fx := e x + x. a Skizzieren Sie die Funktionen x e x und x x in einem Koordinatensystem. Schließen Sie aus der Skizze, dass die Funktion f genau eine Nullstelle x hat und diese im Intervall ], 0[ liegt. b Zeigen Sie, dass die Funktion f eine Nullstelle x ], 0[ hat. Man benutze dazu den Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion f : [a, b] IR nimmt jeden Wert zwischen fa und fb an. c Zeigen Sie, dass die Funktion f streng monoton wachsend ist. Kann f mehrere Nullstellen haben? d Approximieren Sie die nach b und c eindeutig bestimmte Nullstelle x mit dem Newton-Verfahren bis sich keine Änderung in den ersten 6 Nachkommastellen ergibt. Starten Sie die Iteration für x 0 = und dann nochmals für x 0 = 0. a y = x y = e x y d Die Iterationsvorschrift lautet 0.5 x b Es gilt f =e 0.6<0 und f0=>0. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt die Funktion f mindestens einmal den Wert 0 an. c Die Funktion f ist streng monoton wachsend, weil ihre Ableitung f x=e x + auf IR positiv ist. Daher kann f ihre Funktionswerte nur einmal annehmen, insbesondere hat f genau eine Nullstelle. x k+ = x n fx k f x k = x k exk + x k e x k + k IN 0. Wir starten die Newton-Iteration bei x 0 = und bei x 0 = 0: x 0 = x x x x x 0 = 0 x = 0.5 x x x

2 Aufgabe H 36: 050B Berechnen Sie zur Funktion f : IR D IR mit a fx, y = x 3 3 x y + 3 x y y 3 b fx, y = x sin y + cosx y c fx, y = lnx + y x +y > 0 d fx, y = x + y + die ersten und zweiten Ableitungen f := f x, f y und f fxx f := xy. Ermitteln Sie Punkte x,y mit f x, y=0 sofern möglich. a fx, y = x 3 3 x y + 3 x y y 3 = x y 3 f yx f yy f x, y = 3 x y, f x, y = 6 x y f x, y = 0, 0 x = y = t IR b fx, y = x sin y + cosx y f x, y = sin y y sinx y, x cos y x sinx y f sin y = y sinx y x I y II x, y=0, 0 x sin y y cos y=0 x=0 y =tan y x cos y = x sinx y x=0 y =0 f x, 0=0, x! = 0, 0 x=0 f 0, y=sin y, 0! = 0, 0 y =n π n=0, ±, ±,... f x, y=0, 0 x = 0 y = n π n=0, ±, ±,... f y x, y = cosx y cos y sinx y x y cosx y cos y sinx y x y cosx y x sin y x cosx y c fx, y = lnx + y f x, y = x x, y + y f x, y = x + y Keine Nullstellen! y x x y x y x y d fx, y = x + y + f x, y = x + y + x, y f x, y = 0 0 x = y = 0 f 3 x y 8 x y x, y = x + y x y y x

3 Aufgabe H 37: 053B Seien f, g : IR IR zweimal stetig-differenzierbare Funktionen und c>0 eine Konstante. Zeigen Sie, dass die Funktion U : IR IR mit Ux, t := fx + ct + gx ct eine Lösung der Wellengleichung U xx c U tt = 0 ist. Bemerkung: beschreibt die Bewegung einer unendlich langen schwingenden Saite. U ist dabei die Auslenkung aus der Ruhelage. U xx x, t = U tt x, t = x fx+ct+gx ct = x t fx+ct+gx ct = t f x+ct+g x ct = f x+ct+g x ct f x+ct c+g x ct c = f x+ct c +g x ct c U xx x, t c U ttx, t = 0

4 Aufgabe T 39: 05J Flächendiskussion, Höhenlinien Gegeben sei die Funktion f : IR IR mit fx, y = x 4 + x 4 y. a Was können Sie über Symmetrien der Funktion f aussagen? b Berechnen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von f. c Bestimmen Sie Lage und Art aller stationären Stellen von f. d Ermitteln Sie die. Taylorpolynome von f zu den Entwicklungspunkten 0, 0 und, 0. e Skizzieren Sie die Kurven fx, y = 0 und fx, y = 3 4. a f ist symmetrisch zu den Koordinatenachsen: f x, y = fx, y, fx, y = fx, y. b f x, y = 4 x 3 +4 x, 8 y f x x, y = c Eine stationäre Stelle von f ist ein Punkt x, y mit f x, y = 0, 0. Hochpunkt/ Tiefpunkt ist eine andere Bezeichnung für ein lokales Maximum/Minimum. Hochpunkte und Tiefpunkte werden zusammengefasst als lokale Extrema. f x, y = 0, 0 4 xx + x = 0 8 y = x, y=0, 0: f 0, 0= ist indefinit. Sattelpunkt SP 0, 0, f0, 0 = x, y=±, 0: f ±, 0= negativ definit. Hochpunkt HP ±, 0, f±, 0 = 0 8 x 0 d T fx, y; 0, 0 = 0 + 0, x 0 y 0 x 0, y 0 = x 4 y 0 8 y 0 x T fx, y;, 0 = + 0, x y 0 x, y 0 = 4 x 4 y 0 8 y 0 e Für die Skizze werden die Symmetrie und die Taylorpolynome benutzt: Nahe des Hochpunkts, 0 gilt fx, y T fx, y;, 0 = 4 x 4 y. Die Höhenlinie fx, y = 3/4 ist näherungsweise gegeben durch: 3 4 = 4x 4y x + y = Kreis um, 0 mit Radius /4 4 Nahe des Sattelpunkts 0, 0 gilt fx, y T f 0,0 x, y = x 4y. Die Höhenlinie fx, y = 0 ist nahe von 0, 0 näherungsweise gegeben durch: 0 = x 4y y = ± x Ferner berechnen wir die Achsenschnittpunkte y = 0 der Kurve fx, y = 0: 0 = fx, 0 = x 4 + x = x x + x y fx, y = fx, y = 0 fx, y = 3 4 x

5 Aufgabe T 40: 05E Optimierung Man skizziere den Definitionsbereich D der Funktion f : {x, y 0 x 4 y } IR, fx, y = x + y und berechne das globale Maximum von f. y Höhenlinie fx, y=5 3, x 4 Die stetige Funktion f nimmt auf der beschränkten, abgeschlossenen Menge D ihr Minimum und Maximum an. Globale Extrema im Innern von D sind stationäre Stellen. Stationäre Stellen im Innern von D: f x, y =, 0, 0: Es gibt keine stationären Stellen im Innern von D. Daher nimmt die stetige Funktion f ihr Minimum und Maximum auf dem Rand von D an. Extrema auf dem Rand von D: Der Rand von D besteht aus der Parabel P := {x, y : <y <, x = 4 y }, der Stecke S := {x, y : <y <, x=0} und den Ecken 0,, 0,. Wir untersuchen nun die Parabel P und die Strecke S auf stationäre Stellen. Zusammen mit den Ecken erhalten wir so alle Kandidaten für das globale Minimum und das globale Maximum von f auf der Definitionsmenge D. Stationäre Stellen auf der Parabel P :. Methode: Einsetzen der Nebenbedingung x=4 y, optimieren von hy:=f4 y, y=4 y + y. h y= y +! =0 y = : h = f3, = 5. Methode: Lagrange-Multiplikator zur Nebenbedingung gx, y := 4 y x = 0. = f = λ g = λ λ=, y =, x = 4 = 3. f3, =5 y Stationäre Stelle auf der Strecke S:. Methode: Einsetzen der Nebenbedingung x = 0, optimiere hy:= f0, y = y. h y= 0. Die Funktion h wird am Rand extremal: h =f0, = 4, h=f0, =4. Methode: Lagrange-Multiplikatot zur Nebenbedingung gx, y = x = 0. = f =λ g =λ ist nicht lösbar. f hat keine stationären Stellen auf der Strecke S. 0 Ecken: f0, = 4, f0, = 4 Vergleich der Kandidaten: globales Maximum 3,, f3, = 5, globales Minimum 0,, f0, = 4.

6 Aufgabe T 4: 05G Lagrange-Multiplikator Berechnen Sie die globalen Extrema der Funktion f : IR IR, fx, y := 4 x 3 x y unter der Nebenbedingung gx, y := x + y = 0. Die stetige Funktion f nimmt ihr Minimum und Maximum auf K := {x, y : x + y = } Kreisrand an. Die Extremstellen Extrema sind stationäre Stellen der Lagrange-Funktion: Lx, y, λ := fx, y + λgx, y = x 3 x y + λ x + y Die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion werden gleich Null gesetzt und das Gleichungssystem für x, y, λ gelöst. Dies liefert alle Kandidaten für globale Extrema. Anhand der Funktionswerte der Kandidaten bestimmen wir das Minimum und das Maximum der Funktion f auf K. 0 =! L x = 8 x 3 y + λ x 0 =! L y = 3 x + λ y x = λ y 3 0! = L λ = gx, y = x + y Wir ersetzen in L x = 0 die Unbestimmte x vermöge x = λ y/3: 0= 6 λ y 9 y + 4 λ y = 4 y 3 3 λ + 4 λ 9 y =0 oder λ= 4 ± 4.Fall y =0: 0 = x + 0 x = ±. f±, 0 = 4.Fall λ=/: Es gilt dann y =3 x. 0=x +y = x x= ±, y = ± Höhenlinien von f und g f = 9 f =0 = 4 ± 5 f = f =0 f = 9 f±/, ±3/ = 3.Fall λ= 9/: Es gilt dann x= 3 y. 0=x +y = y y = ±, x= 3. g =0 f 3/, ±/ = 9 Das globale Minimum von f auf K ist Das globale Maximum von f auf K ist 9 f = und wird bei x, y= ±, 3 angenommen. und wird bei x, y= ± 3, angenommen. Man betrachte die Skizze: Die Höhenlinien von f zu den Extremalwerten tangieren die 0-Höhenlinie der Nebenbedingung g.

7 Aufgabe T 4: 054A Fehlerrechnung Das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen a,b,c ist V a, b, c=a b c. Die Seitenlängen a, b, c>0 seien aus einer Messung bis auf die Toleranzen a, b, c bekannt. Man schätze in erster Näherung den absoluten Fehler V und den relativen Fehler V/V ab. Taylorentwicklung : V a+ a, b+ b, c+ c = V a, b, c + V a, b, c b +... } {{ c } =:dv totales Differential : dv := V V V a + b + c = b c a + a c b + a b c a b c absoluter Fehler : V a, b, c := V a+ a, b+ b, c+ c V a, b, c Abschätzung des abs. Fehlers : Abschätzung des rel. Fehlers : V dv b c a + a c b + a b c V a, b, c V a, b, c dv V a a + b + c b c