1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von

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1 1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von Wachstumsraten Bestimmung von Maximal- und Minimalwerten von Funktionen mehrerer Veränderlicher Stabilität von Gleichgewichtslösungen dynamischer Systeme Stationäre Verteilungen für Markov-Prozesse Dreh- und Spiegelachsen bei geometrischen Transformationen Berechnung von Atom- und Molekülorbitalen.

2 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 1. Aufstellung des charakteristischen Polynoms P n λ 2. Ermittlung der Eigenwerte als Nullstellen von P n λ 3. Zu jedem Eigenwert werden die zugehörigen Eigenvektoren bestimmt. 2

3 Beispiel: Betrachten wir eine beliebige 2x2 Matrix A = a 11 a 12 a 21 a 22 1.Schritt: Aufstellung des charakteristischen Polynoms P n λ a det ( A λe ) = 11 λ a 12 = 0. a 21 a 22 λ det ( A λe ) = (a 11 λ)(a 22 λ) - a 12 a 21 = λ² + (-1) (a 11 +a 22 )λ + a 11 a 22 a 21 a 12 = λ² + - tr(a) λ + det (A) Sind λ 1 und λ 2 die beiden Eigenwerte, d.h. die beiden Lösungen der charakteristischen Determinante, so können wir das charakteristische Polynom P n λ = λ² - tr(a) λ + det (A) auch in der Produktform (Linearfaktoren / vgl. Nullstellen des Polynoms) P n λ = ( λ - λ 1 )( λ - λ 2 ) = λ² - (λ 1 + λ 2 ) λ + λ 1 λ 2 schreiben. tr(a) = λ 1 + λ 2 det (A) = λ 1 λ 2 3

4 Allgemein : Betrachten wir eine beliebige nxn - Matrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Allgemeine Aufstellung des charakteristischen Polynoms P n λ det ( A λe ) = P n λ = α n λ n + α n 1 λ n α 0 λ 0 = 0 mit α n = ( 1) n α n 1 = ( 1) n 1 (a 11 +a a nn ) α 0 = det (A) P n λ = P 2 λ = α n λ² + α n 1 λ + α 0 = λ² - tr(a) λ + det (A) 4

5 Beispiel: A = λ 3 +1 det(a λe) = λ +3 = P 3 λ = λ P 3 λ = λ³ λ² +2λ = 0 char. Polynom λ 1 = 0, λ 2 = 1, λ 3 = 2 sind die Eigenwerte λ i der Matrix A. Probe: 5

6 Begriffe und Eigenschaften: det( A λ E n ) wird als Säkulardeterminante, det( A λ E n ) = 0 als Säkulargleichung bezeichnet. komplexe Matrix: Die Säkulargleichung hat genau n Lösungen. reelle Matrix: Die Säkulargleichung hat bis zu n Lösungen. Tritt ein Eigenwert λ i m-mal auf, ist m-fach entartet (m N ) A hat entweder keinen (nur bei reellen Matrizen) oder unendlich viele Eigenvektoren: Wenn x Eigenvektor ist, so ist auch c x ( c K) ein Eigenvektor. Für die Eigenwerte einer Matrix gilt n tr(a) = i=1 λ i = λ 1 + λ λ n n det(a) = i=1 λ i = λ 1 λ 2 λ n Eine schnelle Kontrolle der Ergebnisse ist möglich.

7 Bemerkungen: I. Für symmetische bzw. hermitesche n x n-matrizen gilt: Die Eigenwerte sind reell. Es gibt genau n linear unabhängige Eigenvektoren. II. Zu jedem m-fach entarteten Eigenwert gehören m linear unabhängige Eigenvektoren. III. Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. IV. Eigenvektoren zu dem selben Eigenwert können orthogonalisiert werden.

8 Beispiel: A x= x = λ x 0 λ λ 0 λ = 0 = λ²(1 λ) (-1)(1 λ) = - λ³ + λ² λ +1 Zerlegen des Polynom in seine Linearfaktoren: 0 = - λ³ + λ² λ +1 => λ 1 = 1 -λ³ + λ² λ +1 : ( λ -1 ) = -λ² -1 => - λ² -1 = (-1)( λ² +1 ) = 0 λ² +1 = 0 (λ - i ) (λ + i ) = 0 λ 2 = +i und λ 3 = -i P 3 λ = - λ³ + λ² λ +1 = - ( λ -1 )(λ - i ) (λ + i ) = 0 Die Eigenwerte von A lauten λ 1 = 1, λ 2 = i und λ 3 = -i.

9 Eigenvektoren zu λ 1 : Der Wert λ 1 = 1 wird eingesetzt und das LGS gelöst: x 1 x 2 x 3 = λ 1 x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 -x 2 = x 1 x 1 = x 2 x 3 = x 3 Das LGS hat unendlich viele Lösungen, da x 3 beliebig gewählt werden kann. Für die beiden weiteren Koeffizienten erhält man jeweils Null, so dass der normierte Eigenvektor x zum Eigenwert 0 λ 1 = 1 der gegebenen Matrix einfach x = 0 1 lautet.

10 Eigenvektoren zu λ 2 : Der Wert λ 2 = i wird eingesetzt und das LGS gelöst: x 1 x 2 = x 3 ix 1 ix 2 ix 3 -x 2 = i x 1 -i x 1 -x 2 = 0 x 1 = i x 2 x 1 - i x 2 = 0 x 3 = i x 3 (1 - i) x 3 = 0 Aus (1 - i)x 3 = 0 folgt: x 3 = 0. x 1 oder x 2 kann beliebig gewählt werden. z.b.: x 1 = i => x 2 = 1 ergibt: +i x 2 = 1 0 ist Eigenvektor zu Eigenwert λ 2 = +i.

11 Eigenvektoren zu λ 3 : Der Wert λ 3 = -i wird eingesetzt und das LGS gelöst: x 1 x 2 = x 3 ix 1 ix 2 ix 3 -x 2 = -i x 1 i x 1 - x 2 = 0 x 1 = -i x 2 x 1 + i x 2 = 0 x 3 = -i x 3 (1 + i) x 3 = 0 Aus (1 + i ) x 3 = 0 folgt: x 3 = 0. x 1 oder x 2 kann beliebig gewählt werden. z.b.: x 1 = -i => x 2 = 1 ergibt: i x 3 = 1 0 ist Eigenvektor zu Eigenwert λ 3 = -i.

12 Beispiel: A x= x = λ x Die Eigenwerte von A lauten λ 1 = 1, λ 2 = i und λ 3 = -i. Die Eigenvektoren von A lauten 0 x 1 = 0 +1, x 2 = +i +1 0, x 3 = i +1 0.

13 1.12 Ähnlichkeitstransformationen Definition: Zwei n x n Matrizen A und B über dem Körper K sind ähnlich zueinander, wenn es eine Matrix U gibt mit U -1 A U = B. Wenn A und B ähnlich zueinander sind, gilt o A und B haben die selben Eigenwerte o det(a) = det (B) o Spur (A) = Spur (B) ( Anwendungen: Fourier- und Laplace-Transformation ) 13

14 Matrix-Diagonalisierung Gegeben ist die nxn-matrix A mit den Eigenvektoren x 1, x 2, x n und den zugehörigen Eigenwerten λ i. Desweiteren sei die Matrix U eine n x n Matrix, deren Spalten aus den Eigenvektoren der Matrix A besteht: U = ( x 1, x 2, x n ). 14

15 Matrix-Diagonalisierung In diesem Fall gilt U -1 A U = Ʌ mit Ʌ = λ λ λ n λ n. Hier ist Ʌ eine Diagonalmatrix, deren Einträge (in der Reihenfolge der Eigenvektoren von U) den Eigenwerten der Matrix A entsprechen. Das Lösen eines Eigenwertproblems wird daher auch als Diagonalisierung einer Matrix bezeichnet. 15

16 Beispiel: A = => U = i i U 1 aus U E i i Z1 i => i Z2 Z i 0 0 i 1 0 Z2/2=> i 0 0 i/2 1/2 0 Z1 + Z2 => i/2 1/2 0 i/2 1/2 0 16

17 Beispiel: U -1 A U = Ʌ +i/2 1/2 0 i/2 1/ i i = i i 0 17