Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

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1 Brückenkurs Mathematik Mittwoch Freitag Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag

2 0 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Geometrie des Dreiecks Rechtwinklige Dreiecke Trigonometrische Formeln Satz des Pythagoras Vektoren Rechnen mit Vektoren Euklidische Norm Skalarprodukt Kreuzprodukt Lineare Gleichungssysteme Matrizen Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungsmengen Parameterdarstellung einer Geraden Parameterdarstellung einer Ebene

3 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 1 Geometrie des Dreiecks γ b a h α β c (= g) h = Höhe α, β, γ: Winkel im Dreieck a, b, c: gegenüberliegende Seitenlängen zu α, β, γ, g = Grundseitenlänge

4 2 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Was ist über ein beliebiges Dreieck bekannt? Flächeninhalt F = 1 2 g h Winkelsumme α + β + γ = 180 Sinussatz a sin α = b sin β = c sin γ Kosinussatz c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ

5 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 3 Rechtwinklige Dreiecke Hypotenuse = c = r α a = r cos α Ankathete b = r sin α Gegenkathete Die Ankathete ist diejenige Seite, die an dem betrachteten Winkel α liegt. Die Gegenkathete ist diejenige Seite, die gegenüber dem betrachteten Winkel α liegt. Die Hypotenuse ist diejenige Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt.

6 4 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Trigonometrische Formeln sin (Winkel) = Gegenkathete Hypotenuse cos (Winkel) = Ankathete Hypotenuse tan (Winkel) = Gegenkathete Ankathete In Formeln: sin α = b c b = c sin α cos α = a c a = c cos α tan α = b a = sin α cos α

7 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 5 Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 c c 2 c a b b b 2 a a 2

8 6 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Zerlegungsbeweis (a + b) 2 = c ab 2 a 2 + b 2 = c 2 a b c 2 c ab 2 a b b a

9 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 7 Vektorrechnung Warum Vektoren? Manche Größen wie Temperatur oder Masse - skalare Größen - sind allein durch eine Zahl bestimmbar. Andere Größen wie Geschwindigkeit oder Kraft benötigen neben einer Zahl die Angabe der Richtung: Sie können durch einen Pfeil dargestellt werden, der durch Länge und Richtung eindeutig bestimmt ist. Solche Größen nennt man vektorielle Größen.

10 8 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Was ist ein Vektor? Ein Vektor ist anschaulich ein Pfeil in der Ebene R 2 oder im Raum R 3 mit einer Richtung und einer Länge. Mathematisch korrekt versteht man unter einem Vektor einen geordneten 2-Tupel (bzw. einen 3-Tupel) ( x1 x 2 ) R 2 bzw. x 1 x 2 x 3 R 3. y-achse x 2 x 1 x-achse

11 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 9 Rechnen mit Vektoren Mit Vektoren kann man wie folgt rechnen: Addition: Seien x, y R 3 zwei beliebige Vektoren: x 1 x + y = x 2 + = x 3 y 1 y 2 y 3 x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3. Skalare Multiplikation: Sei x R 3 ein beliebiger Vektor und λ R eine beliebige Zahl (=Skalar): λx = λ x 1 x 2 x 3 = λx 1 λx 2 λx 3. Bemerkung: Bei Addition und skalarer Multiplikation im R 2 fehlt entsprechend die dritte Komponente.

12 10 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel Addition: ( ) ( ) }{{}}{{} x y = ( ) = ( ) 8 6 }{{} x+ y y-achse 8 6 x x + y y 2 8 x-achse

13 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 11 Differenz zweier Vektoren y-achse a b a b x-achse

14 12 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel Skalare Multiplikation: 2 ( ) 4 3 }{{} x = ( ) = ( ) 8 6 }{{} 2 x y-achse 6 3 x x x-achse

15 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 13 Länge eines Vektors im R 2 Durch den Satz von Pythagoras erhält man die Länge eines Vektors in der Ebene: ( ) x1 Sei x := R 2, dann ist die Länge des Vektors x 2 x, also der Abstand vom Nullpunkt, gegeben durch x := x x2 2. y-achse x 2 x x 2 2 x 1 x-achse

16 14 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Länge eines Vektors im R 3 Diese Längenberechnung kann man analog im dreidimensionalen Raum ausführen. Sei x := x 1 x 2 x 3 R 3, dann ist die Länge des Vektors x gegeben durch: x := x x2 2 + x2 3. z-achse x 3 y-achse x 2 x 1 x x x2 3 x-achse

17 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 15 Euklidische Norm Die Abbildung : R 2 R + 0 x x, die jedem Vektor eine Länge zuordnet, wird euklidische Norm genannt. Sie besitzt für x, y IR 2 und λ IR folgende Eigenschaften: 1. x 0, 2. x = 0 x = 0, 3. λ x = λ x, 4. x+y x + y Dreiecksungleichung. y-achse x y x + y Dreiecksungleichung für Vektoren x, y x-achse

18 16 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Durch die Norm kann auch ein Abstand zwischen zwei Punkten definiert werden, indem man die Länge der Differenz der beiden Vektoren bestimmt: Gegeben seien zwei Vektoren ( ) x1 x := R 2, y := x 2 ( y1 y 2 ) R 2, dann ist der Abstand zwischen x und y definiert durch x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. Auf Grund der Eigenschaften des Betrages gilt für den Abstand und x, y, z IR 2 : 1. x y 0, 2. x y = 0 x = y, 3. x y = y x, 4. Dreiecksungleichung x y x z + z y.

19 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 17 Skalarprodukt Die Länge eines Vektors können wir nun berechnen. Wie sieht es mit der Richtung aus, d.h. mit dem Winkel des Vektors zur (bspw.) x-achse? Den Winkel zwischen zwei Vektoren kann man mit Hilfe des Skalarprodukts messen: Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren x, y R 2 ist wie folgt definiert:, : R 2 R 2 R, (x, y) x, y, und x, y := x 1 y 1 + x 2 y 2 = 2 x k y k. k=1

20 18 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Skalarprodukt: anschaulich Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren x, y R 2 eine skalare Größe x, y R zu. Anschaulich entspricht dies der Multiplikation der Länge x des Vektors x mit der Länge y cos(x, y) des auf x projizierten Vektors y: x, y = x y cos (x, y) mit (x, y) [0, π], Winkel zwischen x und y. Daraus ergeben sich bereits wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts:

21 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 19 Eigenschaften des Skalarproduktes x, y = 0 (x, y) = π 2, x, y < 0 π 2 < (x, y) < π, x, y > 0 0 < (x, y) < π 2. Der Winkel φ =: (x, y) [0, π) zwischen zwei Vektoren x, y R 2 berechnet sich dann durch: cos(φ) = x, y x y. Dasselbe gilt ganz analog im R 3 (und allgemein im R n ).

22 20 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Skalarprodukt und euklidische Norm Die euklidische Norm kann mit Hilfe des Skalarproduktes wie folgt definiert werden: x = x, x. Es gelten folgende Rechenregeln für das Skalarprodukt: Weitere Eigenschaften des Skalarproduktes Seien x, y, z R 2 und λ, µ R beliebig: Symmetrie: x, y = y, x. Linearität: λx + µy, z = λ x, z + µ y, z. Positive Definitheit: x, x 0 und x, x = 0 x = 0.

23 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 21 cos(φ) = a, b a b = a a, b b Beispiel a = (1, 0), b = 1 2 (1, 1) a = 1 = b cos(φ) = a, b = = φ = π 4 1 y-achse φ b/ b cos(φ) a/ a 1 x-achse

24 22 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Kreuzprodukt im R 3 Benötigt man einen dritten Vektor, der zu zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht, kann man diesen mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnen. Seien also zwei Vektoren x, y R 3 gegeben. Gesucht ist z R 3, so dass z = (z 1, z 2, z 3 ) auf x = (x 1, x 2, x 3 ) und auf y = (y 1, y 2, y 3 ) senkrecht steht, d.h. x, z = 0 y, z = 0 x 1 z 1 + x 2 z 2 + x 3 z 3 = 0 y 1 z 1 + y 2 z 2 + y 3 z 3 = 0

25 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 23 x 1 z 1 + x 2 z 2 + x 3 z 3 = 0 ( y 2 y ) ( 1x 2 z 2 + y 3 x ) 3y 1 z 3 = 0, x 1 x 1 x 1 z 1 + x 2 z 2 + x 3 z 3 = 0 (x 1 y 2 x 2 y 1 )z 2 + (x 1 y 3 x 3 y 1 )z 3 = 0. Wählt man z 2 = (x 1 y 3 x 3 y 1 ) z 3 = x 1 y 2 x 2 y 1, so ist die letzte Gleichung erfüllt und man erhält: x 1 z 1 = x 2 z 2 x 3 z 3 = x 2 x 3 y 1 + x 2 x 1 y 3 x 3 x 1 y 2 + x 3 x 2 y 1, z 1 = x 2 y 3 x 3 y 2.

26 24 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Durch obige Rechnung ist also ein Vektor z senkrecht auf x und y bestimmt: Man schreibt z = x y und bezeichnet z als das Kreuzprodukt von x und y. Definition des Kreuzproduktes : R 3 R 3 R 3 (x, y) x y, wobei x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1. Bemerkung: Im Unterschied zu allen obigen Definitionen, die sich ganz analog in den n-dimensionalen Raum R n übertragen lassen, ist das Kreuzprodukt hier nur im R 3 definiert.

27 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 25 Beispiel = = Probe 1 2 3, = 1 ( 3) ( 3) = , = 4 ( 3) ( 3) = 0

28 26 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Eigenschaften des Kreuzproduktes x y = y x, x, y R 3 schiefsymmetrisch x x = 0, x R 3, (λx) y = λ(x y), λ R, x, y R 3. Sind zwei Vektoren x, y R 3 linear abhängig, d.h. gibt es ein λ R \ {0}, so dass x = λy gilt, dann ist das Kreuzprodukt null: x y = 0.

29 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 27 Lineare Gleichungssysteme Seien a ij, b i R für 1 i m, 1 j n beliebige Konstanten. Dann ist a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2. a m1 x a mn x n = b m. ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Unbekannten und m Gleichungen.

30 28 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Matrix mal Vektor Ein Zahlenschema der Form für reelle Zahlen a ij a 11 a 12 a 1n A := a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn heißt reellwertige (m, n) Matrix. m heißt Zeilenzahl und n heißt Spaltenzahl der Matrix. Für einen Vektor x R n wird die (nichtkommutative) Multiplikation von Matrix und Vektor erklärt durch := a 11 a 12 a 1n a 21. a 22. a 2n. a m1 a m2 a mn x 1 x 2. x n }{{}}{{} A x a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n } {{ } A x

31 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 29 Beispiel Ein lineares Gleichungssystem der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 lautet in Matrix mal Vektor Schreibweise a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3 oder kurz nur Ax = b mit A R (3,3) und x, b R 3.

32 30 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Lösen eines linearen Gleichunssystems Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bleibt unter folgenden Äquivalenzumformungen unverändert: Vertauschen von Gleichungen Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl c 0. Addition einer Gleichung auf eine andere.

33 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 31 Gaußsches Eliminationsverfahren Ziel ist es, das lineare Gleichungssystem durch obige Umformungen auf Dreiecksgestalt zu bringen (m n): ã 11 x 1 + ã 12 x 2 + ã 13 x ã 1n x n = b 1 ã 22 x 2 + ã 23 x ã 2n x n = b 2. ã mm x m + + ã mn x n = b m. oder in Matrix-Vektor-Schreibweise ã 11 ã 12 ã 1n 0 ã 22 ã 2n ã mm ã mn x 1 x 2. x n = b1 b2. bm Dann läßt sich das Gleichungssystem von unten nach oben durch Rückwärtseinsetzen auflösen.

34 32 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Gaußsches Eliminationsverfahren Schritt 1: Die 1. Gleichung wird durch den Koeffizienten a 11 vor x 1 geteilt. Schritt 2: Die 1. Gleichung wird für die Gleichungen 2 bis m mit den Koeffizienten a 21,..., a m1 von x 1 multipliziert und von der entsprechenden Gleichung subtrahiert. Schritt 3: Die 2. Gleichung wird durch den (neuen) Koeffizienten ã 22 vor x 2 geteilt. Schritt 4: Die 2. Gleichung wird für die Gleichungen 3 bis m mit den Koeffizienten ã 32,..., ã m2 von x 2 multipliziert und von der entsprechenden Gleichung subtrahiert. Schritt 5: Die Schritte 1 und 2 (bzw. Schritt 3 und 4) werden so lange wiederholt, bis das Gleichungssystem in Dreiecksform vorliegt. Schritt 6: Die Lösung wird von unten nach oben abgelesen.

35 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 33 Beispiel 1: eindeutige Lösbarkeit x 1 +x 2 +x 3 = 2 2x 1 +3x 2 +4x 3 = 7 3x 1 +5x 2 +8x 3 = 14 x 1 +x 2 +x 3 = 2 x 2 +2x 3 = 3 2x 2 +5x 3 = 8 x 1 +x 2 +x 3 = 2 x 2 +2x 3 = 3 x 3 = 2 Rückwärtseinsetzen x 2 = 3 2x 3 = 1 x 1 = 2 x 2 x 3 = 1

36 34 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Beispiel 2: Gerade als Lösungsmenge x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 x 2 + x 3 = 2 0 x 3 = 0 x 3 ist frei wählbar: Setze x 3 =: λ R. Dann ist x 2 = 2 λ und x 1 = 4 λ. Alle Lösungen dieses Gleichungssystems aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, das durch Äquivalenzumformungen auf Dreiecksform gebracht wurde, liegen auf der folgenden Gerade: x 1 x 2 x 3 = λ 1 1 1, λ R.

37 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 35 Beispiel 3: Ebene als Lösungsmenge x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 0 x x 3 = 0 0 x 3 = 0 x 3 und x 2 sind frei wählbar: Setze x 3 =: λ R und x 2 =: µ R. Dann ist x 1 = 1 2µ 3λ. Alle Lösungen dieses Gleichungssystems aus einer Gleichung mit drei Unbekannten, das durch Äquivalenzumformungen auf Dreiecksform gebracht wurde, liegen auf der folgenden Ebene: x 1 x 2 x 3 = µ λ

38 36 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Parameterdarstellung einer Geraden im R 2 Eine Gerade in der Ebene ist durch zwei Vektoren a = (a 1, a 2 ) und b = (b 1, b 2 ) eindeutig bestimmt: 0 b a a b Es gilt für jeden Punkt (x 1, x 2 ) auf der Geraden, dass ein λ R existiert, so dass gilt: ( ) ( ) ( ) x1 a1 b1 a = + λ 1. x 2 a 2 b 2 a 2 a = Ortsvektor, der auf die Gerade führt b a = Richtungsvektor, der in der Geraden verläuft

39 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 37 Geradengleichung aus Parameterdarstellung Das λ kann eliminiert werden: x 1 a 1 b 1 a 1 = x 2 a 2 b 2 a 2. Auflösen nach x 2 ergibt die Geradengleichung x 2 = mx 1 + b mit der Steigung m = b 2 a 2 b 1 a 1 und b = a 2b 1 a 1 b 2 b 1 a 1.

40 38 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 4 Parameterdarstellung einer Ebene Eine Ebene im Raum ist durch drei Vektoren a, b, c R 3 bestimmt: Es gilt für jeden Punkt x R 3 auf der Ebene, dass λ, µ R existieren, so dass gilt: x = a + λ(b a) + µ(c a), d.h. x 1 x 2 x 3 = a 1 a 2 a 3 + λ b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 + µ c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3. a = Ortsvektor, der auf die Ebene führt b a = Richtungsvektor, der in der Ebene verläuft c a = Richtungsvektor, der in der Ebene verläuft