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1 Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Motivation: IT gestützte Steuerung, Überwachung, Fertigung, Produktion,. : erfordert effiziente Berechnungsvorschriften Ziel: Methoden kennen zu lernen, wie man systematisch die Effizienz eines Algorithmus A bestimmt Ansatz: Bestimmen einer Funktion g, die das Laufzeitwachstum T(n) des Algorithmus A anhängig von den (sehr großen) Eingaben bestimmt: logarithmisch, linear, quadratisch,.. Vorgehen: RAM-Modell, Abstraktion von konkretem Rechner Bestimmen (grob) der Anzahl der Berechnungsschritte bei Eingabe n Beschreiben des Wachstumsverhaltens mittels Abschätzungen: Landau-Funktionen: T(n) = Ө(g), T(n) = O(g), z.b. T(n) = O(n) Kapitel 4: Grundlagen des Algorithmen-Entwurfs Entwurfsprinzipien: Iteration, Teile&Herrsche, Rekursion Rekursion: Beispiel Fakultätsfunktion: fac(n) = n! Frage: Effizienz? AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert Analyse von ausgewählten Algorithmen Beispiel: Berechnung der Fakultät Zur Erinnerung: f(n) = n! = n (n 1) (n 2) Rekursives Programm fact(n) Analyse der Laufzeit T(n): Anweisungen 1 und 2 benötigen O(1). Anweisung 3 benötigt O(1) + T(n-1). D.h mit Konstanten c und d ergibt sich: function fact(n) % Berechnung der Fakultaet 1 if n<=1 2 fact = 1; 3 fact = n*fact(n-1); end ( )= c+t(n-1) n>1 T n d n=1 AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 2 Laufzeitanalyse der Fakultätsfunktion (Forts.) mit n > 2 kann T(n-1) entwickelt werden T(n-1) = c + T(n-2) if n>2 und somit also T(n) = c + T(n-1) = c + c +T(n-2) = 2 c + T(n-2) if n>2 T(n) = 3 c + T(n-3) if n>3 und T(n) = i c + T(n-i) wenn i = n-1 if n>i T(n) = (n-1) c + T(1) = (n-1) c + d, d.h. T(n) = Ο(n) Beispiel: Effiziente Multiplikation Aufgabe: Berechnung des Produktes x y Ansatz 1: Berechnung durch x-fache Addition der Zahl y Erforderlich sind O(x) Additionen Beispiel: y = y 0 ; while x > 0, AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 3 AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 4

2 Aufgabe: Berechnung des Produktes x y Ansatz 2: Links Shift : Multiplikation mit Faktor 2 Rechts Shift: Division durch 2 Beispiel: 4*5 y = y 0 ; While x > 0, if odd(x) { x = x/2; y = 2*y; Aufgabe: Berechnung des Produktes x y Ansatz 2: Links Shift Multiplikation mit Faktor 2 Rechts Shift Division durch 2 Laufzeitverhalten T(n) = O(log x) D.h. Reduktion der Zeitkomplexität von O(x) auf O(log x) y = y 0 ; While x > 0, { if odd(x) { x = x/2; y = 2*y; AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 5 AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 6 Von Folie 12 hierher verschoben Zahlenbeispiel x = 9, y = 17, y z = = y 0 0 ; z = =17; x = 9 1 = 8; x = 8/2 = 4; y = 2*17 = 34; x = 4/2 = 2; y = 2*34 = 68; x = 2/2 = 1; y = 2*68 = 136; z = = 153; x = 1 1 = 0; O(log x) Additionen While x > 0, { if odd(x) { x = x/2; y = 2*y; AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 7 Beispiel: Fibonacci-Reihe Bildungsgesetz mit rekursiver Berechnung f 1 = f 2 = 1 f k = f k-1 + f k-2 für k > 2 F = Fib( k ) Rekursive Berechnung: % Rekursive Berechnung der F = Fib(k 1) + Fib(k 2); T rek (k-1) 3 Operationen T rek (k-2) AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 8

3 Beispiel: k= 8 Erkenntnis: AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 9 AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 10 Fibonacci-Zahlen: gehen zurück auf Leonardo von Pisa (1175) z.b. Bestimmung der Nachkommenschaft eines Kaninchenpaares Jedes Kaninchen wird im Alter von 2 Monaten gebärfähig Jedes Paar bringt von da an ein Paar Kaninchen pro Monat zur Welt Monatliche Entwicklung der Anzahl der Kaninchenpaare: Fibonacci Zahlen Beispiel: Laufzeitanalyse Fibonacci-Zahl-Berechnung Wiederholung: Berechnung f 1 = f 2 = 1, f k = f k-1 + f k-2 für k > 2 Laufzeitanalyse: Berechnung der k-ten Fibonacci-Zahl Wiederholung: Beispiel k=8 für Berechnungsansatz: 1. Monat 2. Monat 3. Monat 4. Monat 5. Monat 6. Monat Nicht gebärfähig gebärfähig AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 11 AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 12

4 Laufzeitanalyse: Berechnung der k-ten Fibonacci-Zahl Berechnung f 1 = f 2 = 1, f k = f k-1 + f k-2 für k > 2 T rek (1) = T rek (2) = 0 F = Fib( k ) T(k) = T rek (k 1) + T rek (k 2) + 3, k 3 T rek (k) + 3 = T rek (k 1) + T rek (k 2) Sei: D(k) = T rek (k) + 3 Neue Rekursionsgleichung D(1) = D(2) = 3 (Rekursionsbeginn) D(k) = D(k 1) + D(k 2), k 3 % Rekursive Berechnung der F = Fib(k 1) + Fib(k 2); AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 13 Rekursive Berechnung der k-ten Fibonacci Zahl erfordert T rek ( k ) = D(k) 3 = 3 (f k 1) Abschätzung für die k te Fibonacci Zahl Operationen k -1 2 k 2 f k k N, k > 2 : 2 2 Die Laufzeit für die Berechnung ist O(2 k ), d.h. exponentieller Rechenaufwand für die rekursive Berechnung der k ten Fibonacci Zahl f k. Für k = 100, sind mehr als Operationen erforderlich. Abschätzung unter Annahme von 1 ns pro Operation liefert über eine Woche Rechenzeit als untere Schranke. Tatsächlich sind es mehr als 8000 Jahre! AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 14 Fazit: Die Entwurfsentscheidung, Rekursion zu verwenden, ist schlecht! Begründung: Rekursive Berechnung von f k-1 ist extrem ineffizient! Exponentielles Wachstum der Rechenzeit, denn durch die Rekursion werden die Teilprobleme f k-1 und f k-2 unabhängig voneinander berechnet. Es ist aber effizienter zur Berechnung von f k-1 auf das Ergebnis von f k-2 und f k-3 zurückzugreifen. Eine effizientere Lösung des Problems lässt sich iterativ erreichen. AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 15 Iterative Berechnung der Fibonacci-Zahlen Idee: Addition der 2 jeweils vorhergehenden Zahlen Einfache Realisierung Beispiel k=8 F = Fibonacci( k ) % iterative Berechnung der { G = 1; for i=3 to k Temp = F + G; G = F; F = Temp; AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 16

5 Abschätzen der Komplexität: Zählen der Anweisungen F = Fibonacci( k ) % iterative Berechnung der { G = 1; for i=3 to k Temp = F + G; G = F; F = Temp; AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 17 Laufzeitanalyse der iterativen Berechnung T iter (1) = T iter (2) = 0 T iter (k) = 3 + T iter (k 1), k 3 Rekursionsgleichung T iter (k) = T iter (k 1) + 3 = T iter (k 2) = = T iter (k i) + 3 i, bis i = k 2 = T iter (k (k 2)) + 3 (k 2), mit T iter (2) = 0 T iter (k) = 3 (k 2) Der Rechenaufwand für die iterative Berechnung der k ten Fibonacci Zahl hat lineare Komplexität O(k). Beispiel: Berechnung von f in einer Sekunde bei 1 µs Rechenzeit pro Operation. AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert Induktion Motivation: Die Beweistechnik des Schließens mittels vollständiger Induktion wird vielfach benötigt, z.b. für Laufzeitanalysen Definition: Induktion bzw. induktives Schließen bezeichnet in der Logik und den Naturwissenschaften das Schließen vom Besonderen auf das Allgemeine zum Zweck des Erkenntnisgewinns. Bem.: bei der Rekursion wird ein Problem durch Abbildung auf Teilprobleme gelöst, während bei der Induktion der umgekehrte Weg gegangen wird. AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 20

6 Vollständige Induktion wird in der Mathematik angewandt, um Aussagen nicht nur für endliche Mengen, sondern auch für unendliche Mengen (z.b. die Menge der natürlichen Zahlen) treffen zu können. Allgemeines Vorgehen: Induktions-Prinzip: Zunächst wird gezeigt, dass die Aussage A für ein festes n (in der Regel n=0 bzw. n=1) gilt (Induktionsanfang). Nun muss noch gezeigt werden, dass wenn für alle Zahlen x n die Aussage A(x) gilt, die Aussage auch für A(n+1) gilt. (Induktionsschritt) Induktionsbeweis zum Beweis einer Annahme: 1. Induktionsanfang 2. Induktionsvoraussetzung 3. Induktionsschritt 4. Induktionsschluss Beispiel 1: Zu beweisende Aussage: Induktionsanfang: n=0 Induktionsschritt: n n+1: AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 21 AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 22 Beispiel 2: Summe der Quadratzahlen Zu beweisende Aussage: Induktionsanfang: n=0 Induktionsschritt: n n+1: Wichtige Anwendung der Induktion: Terminierungsbeweise Definition Terminierung: Ein Algorithmus muss für alle zulässigen Eingabeparameter in endlich vielen Schritten eine Lösung finden. Zum Beweis der Terminierung von rekursiven Funktionen kann die Induktion verwendet werden. Zum Beweis werden so genannte Abstiegsfunktionen verwendet. AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 23 AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 24

7 Beweis der Terminierung durch Abstiegsfunktionen Eine Abstiegsfunktion g bildet die Menge der Eingabeparameter einer vorgelegten Funktion f auf eine natürliche Zahl ab. Wahl der Abstiegsfunktion: sie gibt eine obere Grenze für die Anzahl der rekursiven Aufrufe (Aufruftiefe) an. Es muss gezeigt werden, dass die Funktion f für alle Aufrufe mit Parametern, die auf einen Minimalwert (typischerweise 0 oder 1) abgebildet werden, sofort terminiert. Kann für die gewählte Abstiegsfunktion g bewiesen werden, dass für jeden Aufruf der Wert der Abstiegsfunktion abnimmt und durch den Minimalwert nach unten begrenzt ist, so ist damit auch die Terminierung bewiesen. AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 25 Beweis der Terminierung durch Induktion 1. Induktionsanfang: Terminierung muss für das Minimum der Abstiegsfunktion bei Anwendung auf die zulässigen Argumente (typischerweise 0 oder 1) nachgewiesen werden. 2. Induktionsannahme: Die Terminierung sei für alle Aufrufe mit Argumenten, für die die Abstiegsfunktion einen Wert kleiner gleich n annimmt, nachgewiesen. 3. Induktionsschritt: Aufrufe mit Argumenten, für die die Abstiegsfunktion den Wert n+1 annimmt. Nachzuweisen ist, dass innerhalb dieser Aufrufe nur rekursive Aufrufe mit Argumenten arg auftreten, für die gilt: f(arg) n. Laut Induktionsannahme terminieren aber diese Aufrufe. AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert Induktionsschluss: Die Funktion terminiert auch für Aufrufe mit Argumenten bei denen die Abstiegsfunktion den Wert n+1 annimmt. Somit terminiert die Funktion für alle Aufrufe. Beispiel: Terminierung der Summe function sum(n) Abstiegsfunktion f(n) = n if n =0 then 0 zz: sum(arg) terminiert sofort, oder für alle rekursiven Unteraufrufe n= n+ sum(n-1) mit den Argumenten arg gilt: f(arg) > f(arg ) Induktionsanfang: n = 0, d.h. arg=0, d.h. f(0) = 0 Induktionsannahme: Beispiel: g=fac(n) Induktionsschritt: n n+1 zz f(arg) = n+1, falls arg=n+1 Es gilt: AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 27 AuD, Kapitel 4 Algorithmenentwurf, WS10/11, C. Eckert 28

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