Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr

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1 ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gaz ausführliches Traiig Datei Nr Neu Überarbeitet Stad: 7. Juli 206 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Vorwort Die Texte über Folge wurde sehr erweitert ud überarbeitet. Daher sollte ma sich auch i folgede Texte umsehe: 400 Eiführug Rekursive ud explizite Berechugsformel Die wichtigste Grudlage zu arithmetische ud geometrische Folge Geometrische Folge als Wachstumsfolge (kurze Eiführug) 4002 Arithmetische ud geometrische Folge Viel Übug (Dieser Text) Hier die sehr ausführliche Behadlug dieser Folge 400 Arithmetische Folge 2. Ordug Dies wurde auch scho i 400 agesproche Geometrische Folge als Wachstumsfolge Prozetuales (expoetielles) Wachstum ud Abahme (wie Ziseszisrechug, radioaktiver Zerfall). Hier wird och eimal besproche, was kurz i 400 gezeigt worde ist. Wer es also ausführlicher braucht, lese hier ach! Spezielle Wachstumsfolge Hier geht es um die rekursive Formel u u q r. ud die explizite Berechug der Formel. Zu de Aweduge gehöre auch schwierigere fiazmathematische Vorgäge wie Ratespare, Retezahlug, Darlehesfiazierug. Allgemei beschreibe diese Folge das beschräkte Wachstum. Dazu gehört auch die beschräkte Abahme (Abkühlugsvorgäge u.a.) Arithmetische ud geometrische Reihe Geometrische Figure als geometrische Folge Es komme auch Teilaufgabe zu Reihe vor Aufgabesammlug zu ar./geom. Folge ud Reihe

3 Ihalt Arithmetische Zahlefolge 4. Arithmetische Folge defiiere ud erkee 4.2 Arithmetische Folge rekursiv bereche 6 Traiigsaufgabe 7. Arithmetische Folge: Herleitug eier explizite Formel (Lesestoff) 8.4 Grudaufgabe mit Musterlösuge 2.5 Musterbeispiele mit Lösuge 4 Traiigsaufgabe Schaubilder arithmetischer Folge 7 Traiigsaufgabe ud 4 (Textaufgabe) 9 2 Geometrische Zahlefolge Defiitio ud rekursive Berechug Beispiele rekursiver Berechug 22 Traiigsaufgabe 5, 6 ud Explizite Berechug geometrischer Folge (Lesestoff) Grudaufgabe mit Musterlösuge 28 Traiigsaufgabe 8 4 Weitere Grudaufgabe ud Beispiele 5 Traiigsaufgabe 9 8 Weitere Grudaufgabe ud Beispiele 9 Traiigsaufgabe Schaubilder vo geometrische Folge Mathematische Utersuchuge der geometrische Folge 48. Mootoie 48 Traiigsaufgabe Wie groß oder wie klei werde die Glieder der Folge? Eisatz des CAS-Rechers TI Nspire 5 Traiigsaufgabe 2 56 Traiigsteil: Zusammestellug aller Traiigsaufgabe 57 Alle Lösuge dazu 6 9 Aweduge zu geometrische Folge stehe i de Texte 4009 ud

4 4002 Arithmetische ud geometrische Folge 4 Arithmetische Zahlefolge. Arithmetische Folge defiiere ud erkee Ma ka arithmetische ud geometrische Folge auf uterschiedlichste Weise eiführe. Ich zeige Beispiele dazu im Ahag. Hier greife ich auf die vielleicht gebräuchlichste Defiitio zurück, die auch am beste zur Überprüfug dieser Folge geeiget ist. Beispiel 2 4 a 2; a 6; a 20; a 24;... Bei der Folge ist immer der Nachfolger um 4 größer als der Vorgäger. Dies ka ma als implizite Berechugsgleichug so aufschreibe: a a 4 oder bzw. a a 4 oder a a 4 Ma formuliert das als Pflichtsatz im Heft so: a a 4 mit a = 2 Die Differez zweier aufeiader folgeder Glieder ist kostat (ud zwar hier gleich 4). MERKE: Eie Folge, bei der die Differez aufeiader folgeder Glieder immer gleich groß ist, heißt eie arithmetische Folge. Beispiel WICHTIGER HINWEIS: Rechug: a 20 ; a ; a 42 ; a 7 ;... a a 20 2 a a 42 2 a a Weil die Differeze aufeiader folgeder Glieder gleich groß sid, liegt eie arithmetische Folge vor. Rekursive Darstellug: a a mit a = -20 a a Immer we ma eie Folge aus eiige gegebee Glieder idetifiziert ud eiem Typ zuordet, muss ma eigetlich sage: Es ka sich um eie solche Folge dieses Typs hadel. Es gibt ämlich stets uedlich viele Folge, die i diese gegebee Glieder übereistimme, dahiter aber abweiche! Bei dieser arithmetische Folge ist a 5 = 04. Würde aber ma a 5 = 0 verwede, läge scho keie arithmetische Folge mehr vor. I der Regel aber sid die Aufgabe so gestellt, dass ma sage ka, es liegt eie solche Folge vor. De der Aufgabesteller will ja, dass ma gerade diese Typ idetifiziert. Aber vom Prizip her muss ma wisse, dass es ebe auch adere gibt!

5 4002 Arithmetische ud geometrische Folge 5 Beispiel a 4; a2 4; a 6; a4 6;... Differeze aufeiader folgeder Glieder: a2 a 44 0 a a a a Weil die Differeze aufeiader folgeder Glieder gleich groß sid, liegt eie arithmetische Folge vor. (Dies ist der Pflichtsatz zur Begrüdug des Ergebisses. Ud ma muss alle mögliche Differeze aufeiader folgeder Glieder utersuche! Ud ma eriere sich a de Hiweis!) Diese Folge fällt, weil fortgesetzt 0 subtrahiert, also -0 addiert wird. Ma ka für diese Folge die rekursive Darstellug so aschreibe: a a 0 mit a = 4 Beispiel 4 5 Gegebe ist diese Folge:, 4,, 7, 2 2 Um herauszufide, ob eie arithmetische Folge vorliege ka, berechet ma alle mögliche Differeze: a2 a a a a a Weil die Differeze aufeiader folgeder Glieder gleich groß sid, liegt eie arithmetische Folge vor. Rekursive Darstellug der Folge: 5 a a mit a 2 a a 0 a a 2 Zu arithmetische Folge gibt es atürlich auch explizite Formel, die wir jetzt bestimme wolle. 2

6 4002 Arithmetische ud geometrische Folge 6.2 Arithmetische Folge rekursiv bereche Es gibt prizipiell zwei Arte der Berechug für Zahlefolge:. Art: Bei der rekursive Berechug muss ma eie Afagswert kee ud eie Vorschrift, wie ma de Nachfolger aus dem Vorgäger berechet. 2. Art: Bei der explizite Berechug ka ma direkt jedes beliebige Glied der Folge mittels eies Fuktiosterms bereche. Beispiel : Es sei a 8 ud a a Da folgt: a2 a 8 29 ud daraus: a a ud daraus: a4 a 40 5 usw. Soll ma jedoch a 40 bereche, geht das erst, we ma zuvor alle Glieder bis a 9 berechet hat. Da folgt: a a Das war die rekursive Art der Berechug. Für dieselbe Folge gibt es auch eie Fuktiosterm: a 7 Wir überprüfe dies, idem wir die ermittelte Werte och eimal bereche: a 7 8 a a a Ud sogar: a Ma erket de Vorteil: Hier beötigt ma keie Vorgäger, ka also sofort jedes beliebige Glied bereche, also auch a Dies war die explizite Art der Berechug. Beispiel 2: Es sei a 60 ud a a 6 Im Uterschied zu Beispiel wird i der Berechugsformel der Nachfolger mit a bezeichet ud der Vorgäger mit a -. Ma köte diese Vorschrift auch so schreibe: a a 6. Das ergibt dieselbe Methode ud dieselbe Werte. Die explizite Form für diese Folge ist a 666. Aufgabe: Bereche die folgede Glieder dieser Folge zuerst rekursiv, da explizit: a, 2 a, a, 4 a, 5 a 00 Die Lösug steht auf der ächste Seite.

7 4002 Arithmetische ud geometrische Folge 7 Lösug: Rekursiv: Explizit: Aus a 60 ud a a 6 Aus a 666 folgt a folgt: a2 a a a a a a4 a a a5 a a a00 a99 6? 6? a Es ist atürlich klar, dass ma a 00 icht mehr rekursiv berechet, de ma müsste ja zuvor a bis a 99 kee! Beispiel : Gegebe sei a a 4 ud a4 20. Bereche rekursiv a bis a 6.. Jetzt ket ma plötzlich icht a soder a 4. Zuerst reche wir vo a 4 aus ach obe : a5 a a a Nu müsse wir zurückreche, also die Vorgäger aus de Nachfolger bestimme. Dazu stelle wir die Formel um: Aus a a 4 wird da a a 4. Das ist aber eigetlich klar, de we ma für de Nachfolger immer 4 dazuaddiere muss, da etsteht der Vorgäger aus dem Nachfolger durch Subtraktio vo 4! a a a a a a Traiigsaufgabe () Bereche a 2 bis a 5 zu a) a a 24, a = b) a, a = 2 a 2 (2) Bereche a bis a 6 zu: a) a a 0, a = 00 b) a a 2, a 7 = 6 () Bereche a bis a 6 mit: a) a2 a 0, a = 5 a a, a = - b) (4) Bereche a 2 bis a 4 mittels a a 00. Lösuge am Textede

8 4002 Arithmetische ud geometrische Folge 8. Arithmetische Folge: Herleitug eier explizite Formel (Bitte grüdlich mitdeke ud verstehe!) () Der rote Pfeil zeigt, wohi ma kommt, we ma statt um d gleich um 2d, d, 4d weiter geht: Ma kommt etweder vo a ach a durch a a 2 d, oder vo a ach a 4 durch a4 a d, oder vo a ach a 5 durch a5 a 4 d, usw. Hier erket ma das Lattezauprizip : Zwische der. ud. Latte gibt es 2 Zwischeräume, zwische der. ud 4. Latte gibt es Zwischeräume, zwische der. ud 5. Latte gibt es 4 Zwischeräume, usw. Verallgemeiert heißt das: Zwische der. ud. Latte gibt es (-) Zwischeräume: Ma kommt also vo a ach a durch a a d Dieses Prizip gilt für zwei beliebige Folgeglieder: Ma kommt vo a 2 = 2 ach a 8 = 9 durch a9 a2 9 2 d a 8 d Ma ka also a 2 aus a bereche, idem ma Differeze d dazu addiert: a a d Oder ma erhält a 25 aus a 2 = 5, idem ma 25 2 d 9 dazu addiert: a a d =5 Für arithmetische Folge gilt also diese explizite Berechugsformel: a a d Setze wir hier die Gegebeheite ei, also a = 8 ud d =, da folgt: Umgeformt: Explizite Formel: a 8 a 8 a 5 Damit ka ma jetzt jedes beliebige Glied der Folge bereche.

9 4002 Arithmetische ud geometrische Folge 9 (2) Bei der Folge a 4; a2 ; a 2; a4 5; a5 8 stellt ma fest, dass die Differez aufeiader folgeder Glieder - ist (icht!!!), de der Nachfolger etsteht immer durch Additio der Zahl d = -: d 9 5d 5 6d 8 Die rote Pfeile zeige, wohi ma kommt, we ma statt um d gleich um d bzw. 5d oder 6d weiter geht. Dazu die Rechuge: 5 6 a4 a (4 ) d a a ( 6 ) d a7 a 7 d Wir wolle auch hier eie explizite Berechugsformel, also eie Fuktiosterm erstelle: Will ma a aus a bereche, muss ma zu a (-)-mal d addiere: a a d Ausführlich: a a 7 () Deke Sie mal über diese Grafik ach: a a a a a a a d 2 d d 4 d 5 d 6 d 7 a a2d a7 a5 2d a a d 4 a a d 5 2 a a 5d 6 a a 4d 7 Betrachte wir a6 a2 4d. Dies bedeutet a6 a2 4d. (Zwische der 6. ud der 2. Latte sid 4 Zwischeräume) Oder: a4 a d also a4 a d. (Zwische der. ud 4. Latte sid drei Zwischeräume).

10 4002 Arithmetische ud geometrische Folge 0 (2) Bei der Folge a 4; a2 ; a 2; a4 5; a5 8 stellt ma schell fest, dass die Differez aufeiader folgeder Glieder - ist, d. h. der Nachfolger etsteht immer durch Additio der Zahl d = -: d 9 Die rote Pfeile zeige, wohi ma kommt, we ma statt um d gleich um 5d bzw. 6b oder d weiter geht. Dazu die Rechuge: 5 6 a4 a (4 ) d a a ( 6 ) d a7 a 7 d Wir wolle auch hier eie explizite Berechugsformel, also eie Fuktiosterm erstelle: Wir wolle also a aus a bereche. Dazu muss ma zu a (-)-mal d addiere: a a d Ausführlich: () Allgemeie Darstellug 5d 5 6d 8 a a 7 a a a a a a a d 2 d d 4 d 5 d 6 d 7 a a2d a7 a5 2d a a d 4 a a d 5 2 a a 5d 6 Betrachte wir a6 a2 4d. Dies bedeutet a6 a2 4d. (Zwische der 6. ud der 2. Latte sid 4 Zwischeräume) Oder: a4 a d also a4 a d (Zwische der. ud 4. Latte sid drei Zwischeräume). Allgemeie Berechugsformel: a a d MERKE: a a d bzw. a a 4d 7 a a m d ud m

11 4002 Arithmetische ud geometrische Folge (4) Traiig: Bereche aus der rekursive Formel die explizite Gleichug: Beispiel : Gegebe ist die rekursive Formel a a 4 mit a = 2. Ma erket d a a 4 ud folgert aus a 2 4 d. h. a 24 4 Explizite Formel: a 8 4 Beispiel 2: Gegebe ist a a mit a = -20. a a d: Ma erket d a a a a d a 20 a d. h. 20 Explizite Formel: ud folgert aus a 5 Beispiel : Gegebe ist a a 0 mit a = 4. Beispiel 4: Ma erket d a a 0 ud folgert: a 4 0 a d. h. 400 Explizite Formel: Gegebe ist a a a mit a. 2 2 Ma erket d a a ud folgert: a d. h. a Explizite Formel: a (5) Weitere Beispiele: a) 4; 9; 4; 9; 24;... Es ist a2 a 94 5 Pflichttext: Da die Differez aufeiaderfolgeder a a Glieder kostat ist, ud zwar 5, a4 a 94 5 liegt eie arithmetische Folge vor. ud a5 a Aufstellug der explizite Folge mit der Formel a a d d. h. a 4 5 d. h. a 45 5 a 5 b) 28 ; 2 ; 4 ; 20 ;... Es ist a2 a a a a4 a Aufstellug der explizite Folge mit der Formel d. h. a 28 6 a a 6 44 d. h. Pflichttext: Da die Differez aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist, ud zwar -6, liegt eie arithmetische Folge vor. a a d: