Ferienkurs Experimentalphysik 2 - Donnerstag-Übungsblatt

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1 1 Aufgabe: Entropieänderung Ferienkurs Experimentalphysik 2 - Donnerstag-Übungsblatt 1 Aufgabe: Entropieänderung a) Ein Kilogramm Wasser bei = C wird in thermischen Kontakt mit einem Wärmereservoir bei 100 C gebracht, bis das Wasser die Temperatur 100 C erreicht hat. Wie groß ist die Entropieänderung I des Wärmebades, II des Wassers, III des Gesamtsystems aus Wasser und Wärmebad? b) Wie groß wäre die Entropieänderung des Gesamtsystems, wenn man das Wasser von 0 C auf 100 C heizt, indem man es zuerst mit einem Wärmereservoir bei 50 C und dann (nachdem sich Gleichgewicht eingestellt hat) mit einem Wärmereservoir bei 100 C in Kontakt bringt? c) Überlegen Sie sich, wie man das Wasser von 0 C auf 100 C heizen kann, ohne dass sich die Entropie des Gesamtsystems ändert. 1.1 Lösung a) I Die Temperatur des Reservoir bleibt konstant nach dem thermischen Kontakt. S R = m H 2 Oc V T H2 O T R 4, 2kJ/K 100K = 373K Diese ist negativ, da das Reservoir Wärme abgibt. = 1, 12kJ/K (1) II Die Temperatur von Wasser ändert sich beim Kontakt mit dem Reservoir TR ( ) m S W = H2 O c V dt H2O TR = m H2 O c V ln (2) T H2O,c T H2O T H2O,c ( ) 373K S W = 4, 2kJ/K ln = 1, 3kJ/K (3) 273K III Die Änderung der Gesamtentropie ist S a) = S R + S W = 180J/K (4) b) Jetzt mit zwei Schritten: T 0 := T c = 273K, := 323K, T 2 := T R = 373K S 1 = m ( ) H 2 O c V ( T 0 ) T1 + m H2 O c V ln = 56J/K (5) T 0 S 2 = m ( ) H 2 O c V (T R ) TR + m H2 O c V ln = 56J/K (6) S b) = S 1 + S 2 = 97J/K < S a) (7) 1

2 3 Aufgabe: Zimmerheizung 2 Aufgabe - Phasenübergang 100g flüssiger Stickstoff bei seiner Siedetemperatur von 77,3K wird in einen isolierten Becher gekippt, wo sich 200g Wasser mit einer Temperatur von 5 C befindet. Wenn der Stickstoff, sobald gasförmig, die Lösung verlässt, wieviel Wasser ist gefroren? Die Verdampfungswärme von Stickstoff beträgt 200 J g, die Schmelzwärme von Wasser beträgt 333 J kj g, seine Wärmekapazität 4, 2 kg K 2.1 Lösung gegeben: m N2, m H2 O, f l, N2, H2 O, c H2 O, T H2 O, f l Q N2 = Q H2 O (8) m N2 N2 = m H2 O, f l c T H2 O, f l + m H2 O,ice H2 O (9) m H2 O,ice = m N 2 N2 m H2 O, f l c T H2 O, f l H2 O = 47g (10) 3 Aufgabe: Zimmerheizung Eine Wärmepumpe wird benutzt, um im Winter ein Zimmer der Temperatur T h = 293K mit Hilfe von kalter Außenluft der Temperatur T c zu heizen. Die maximale mechanische Leistung der Wärmepumpe sei P = 100W. Der Wärmeverlust des Zimmers (also die Rate, mit der Wärme durch die isolierung nach außen fließt) sei proportional zur Temperaturdifferenz zwischen innen und außen mit dem Koeffizienten L = 7W/K. Berechne die minimale Temperatur, die die Außenluft im Idealfall haben darf, damit die Zimmertemperatur aufrechterhalten kann. 3.1 Lösung Die Wärmepumpe entnimmt dem kalten Reservoir (Außenluft) die Wärme Q L und führt unter Aufwand der Arbeit W die Wärme Q h = Q c + W dem heißen Reservoir (Zimmerluft) zu. Dabei ist der Wirkungsgrad η = Nutzen Au f wand = Q h W Ein idealer Prozess ist der umgekehrte Carnot-Kreisprozess, also kann man die zugeführte Wärmemenge damit berechnet werden. Q h = Q h = (11) T h T h T c W (12) T h T h T c P (13) 2

3 4 Aufgabe: Kreisprozesse Andererseits ist die Wärmeverlustrate des Zimmers gemäß Angabe Q out = L(T Z T L ) (14) Nun können wir im Gleichgewicht die eingebrachte und ausströmende Wärmemenge gleichsetzen. Auflösen nach T h : Q out = Q h, L(T h T c ) = T h T h T c P (15) T c = T h T h P/L = 228, 3K (16) 4 Aufgabe: Kreisprozesse ν Mol 1atomiges ideales Gas wird durch den dargestellten Kreisprozess geführt (2 Isotherme, 2 Isochore). Wie effizient ist dieser Prozess? 4.1 Lösung Schauen wir uns die vier Teilprozesse an I Isotherme Kompression bei T i Q I,c = W = Vi II Isochore Temperaturerhöhung von T i 3T i 2V i νrt i dv V = νrt iln(2) Q II = νc V T = νc V 2T i = ν3r III Isotherme Expansion bei 3T i Q III,h = W = 2Vi V i νr3t i dv V = νr3t iln(2) 3

4 5 Aufgabe: Ottomotor IV Isochore Temperaturerniedrigung von 3T i T i η = W = Q IV = νc V T = νc V 2T i = ν3r IV Q i = Q III,h + Q I,c = νr2t i ln(2) (17) i I W Q h + Q II = 5 Aufgabe: Ottomotor νr2t i ln(2) νr3t i ln(2) + ν3r = 2ln2 3(ln2 1) Der Kreisprozess im Ottomotor kann durch folgende idealisierten Prozess angenähert werden: I Adiabatische Kompression des idealen 2-atomigen Arbeitsgases mit Temperatur und Druck p 1 vom Volumen V 1 V 2. II Isochore Druckerhöhung, indem das mit einem Wärmebad der Temperatur T 3 in Berührung gebracht wird und der Temperaturausgleich abgewartet wird. III Adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V 1 IV Isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p 1, wobei das Gas durch Kontakt mit einem zweiten Wärmebad der Temperatur abgekühlt wird. a) Wie sieht das pv-diagramm des Kreisprozesses aus? Berechne Drücke, Volumina und Temperaturen für die Anfangspunkte der 4 Teilprozesse. Zahlenwerte: V 1 = 1, 5dm 3, Kompressionsverhältnis ɛ = V 1 V 2 = 8, = 303K, p 1 = 1bar, T 3 = 1973K. b) Welche Leistung gibt ein Motor bei der Drehfrequenz f = 4500min 1 ab? c V soll bei der Rechnung als konstant angenommen werden. c) Wie groß ist der effektive Wirkungsgrad des Motors? Zeige, dass ν ɛ. Vergleiche ihn mit dem Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine. (18) 5.1 Lösung a) I Adiabate V κ 1 1 = T 2 V2 κ 1, V 2 = V 1 3 = 1,5dm3 8 = 0, 1875dm 3 ( ) V1 T 2 = = ɛ κ 1 = 303K 8 0,4 = 696K (19) V 2 p 2 = p 1 ɛ κ = 1 8 1,4 bar = 18, 4bar (20) 4

5 5 Aufgabe: Ottomotor II Isochor III Adiabate IV Isochor p 2 = p 3 T 3 p 3 = p 2 = 18, K bar = 52, 1bar (21) T 2 T 3 T 2 696K ( ) V3 p 4 = p 3 V 4 = p 3 = 2, 84bar (22) ɛκ T 4 = p 4 p 1 = 859K (23) V[dm 3 ] 1,5 0,1875 0,1875 1,5 p[bar] 1,0 18,38 52,10 2,84 T[K] b) IV i=i Q i = IV i=i I,III: Q I,III = 0 (Adiabaten) Aufgenommene Wärmemenge: Q II = νc V (T 3 T 2 ) > 0 Abgegebene Wärmemenge: Q IV = νc V ( T 4 ) < 0 W i ν = p 1V 1 νc V = p 1V 1 cv R R = p 1V 1 c V c p c V = p 1V 1 1 Nm = 1, 238 κ 1 K (24) Damit folgt für die Leistung des Motors Q II = 1580J, Q IV = 688J (25) W = ( Q II + Q IV ) = 892J (26) p = W f = 892J s = 33, 5kW (27) 5

6 7 Aufgabe: Luftpumpe c) Thermodynamischer Wirkungsgrad η Ottomotor η Ottomotor = W QII = Q II + Q IV Q II = 1 + Q IV Q II = 1 + T 4 T 3 T 2 (28) ( ) κ 1 ( ) κ 1 V2 V2 = T 2, T 4 = T 3 (29) V 1 V 1 η Ottomotor = 1 1 = 56, 5% (30) ɛκ 1 Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine: η Carnot = 1 T 3 = 84, 6% 6 Aufgabe: Kugel im Eis Ein Gewehrkugel (Masser m, Temperatur T b,h ), wird mit einer Geschwindigkeit v in einen großen Eisblock geschossen, dessen Temperatur 0 C beträgt. Die Kugel bleibt im Eis stecken. Wie lässt sich berechnen, wieviel Wasser dadurch schmelzen wird? Welche Werte brauchen wir für diese Berechnung? 6.1 Lösung Was wir noch brauchen Q b = Q H2 O (31) Q b = E kin,b + Q b = 1 2 mv2 + mc V,b (T b,h 0 C) }{{} T m H2 O, f l = (32) Q H2 O = m H2 O, f l H2 O,Schmelz (33) 1 H2 O,Schmelz spezifische Schmelzwärme von Wasser H2 O,Schmelz spezifische Wärmekapazität von der Kugel c V,b ( 1 2 mv2 + mc V,b T) (34) 7 Aufgabe: Luftpumpe Eine zylindrische Luftpumpe mit der Länge L = 45cm und dem Durchmesser d = 4cm ist bei dem Druck p 1 = 1013mbar (Umgebungsdruck) und der Temperatur = 296K (Umgebungstemperatur) mit Helium (1-atomig, ideales Gas) gefüllt. a) Der Kolben wird um x = 10cm in die Luftpumpe hereingedrückt, so dass ein Druck p 2 entsteht. Dieser Vorgang ist so schnell, dass dabei kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden kann. Berechne die Temperatur T 2 am Ende des Vorgangs. 6

7 7 Aufgabe: Luftpumpe b) Der Kolben wird solange festgehalten, bis ein Temperautrausgleich mit der Umgebung stattgefunden hat. Berechne den Druck p 3, der sich am Ende dieses Schrittes einstellt. c) Der Kolben wird wieder losgelassen, so dass sich der Druck wieder dem Umgebungsdruck anpasst. Auch dieser Prozessschritt ist wieder so schnell, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden kann. Berechne die Temperatur T 4 und das Volumen V 4 am Ende des Schrittes. d) Der Kolben wird losgelassen und es wird gewartet, bis ein Temperaturausgleich mit der Umgebung stattgefunden hat. Berechnen Sie das Volumen am Ende V 5 dieses Prozessschrittes. e) Stelle den Prozess im pv-diagramm dar. 7.1 Lösung a) V 1 = adiabatische Kompression ( ) d π L = 566cm 3, V 2 = 2 V κ 1 1 = T 2 V2 κ 1 ( ) d π (L x) = 440cm 3 2 T 2 = ( V1 V 2 ) 2/3 = 350K (35) b) T 3 = = 296K und V 2 = V 3 p 2 V 2 T 2 = p 3V 2 T 3, p 3 = p 2 T 3 T 2 = 1303mbar (36) c) adiabatische Expansion p 4 = p 1 p 3 V κ 3 = p 4 V κ 4, V 4 = V 3 T 4 = T 3 ( V3 V 4 ( p3 p 4 ) 3/5 = 512cm 3 (37) ) 2/3 = 268K (38) d) Isobare Expansion, p = const V T = const., T 5 = = 296K ( ) T3 V 5 = V 4 = 566cm 3 (39) e) T 4 7

8 7 Aufgabe: Luftpumpe 8