Gewöhnliche Autokorrelationsfunktion (ACF) eines stationären Prozesses {X t } t Z zum Lag h

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1 5. Die partielle Autokorrelationsfunktion 5.1 Definition, Berechnung, Schätzung Bisher: Gewöhnliche Autokorrelationsfunktion (ACF) eines stationären Prozesses {X t } t Z zum Lag h ρ X (h) = Corr(X t, X t h ) misst die lineare Abhängigkeit zwischen den Prozessvariablen X t und X t h Dabei spielen die Abhängigkeiten der dazwischen liegenden Prozessvariablen X s, t h < s < t, eine wichtige Rolle 166

2 Beispiel: (I) Betrachte den stationären AR(1) P rozess X t = φx t 1 + ɛ t mit φ < 1 und ɛ t WR(0, σ 2 ) Wissen aus Satz 3.6 (Folien 73, 74) ρ X (h) = φ h für h 0 und damit speziell ρ X (2) = Corr(X t, X t 2 ) = φ 2 > 0 X t und X t 2 sind korreliert 167

3 Beispiel: (II) X t und X t 2 hängen aber nicht direkt voneinander ab Die Korrelation Corr(X t, X t 2 ) = φ 2 ergibt sich indirekt, da X t mit X t 1 und X t 1 mit X t 2 korreliert sind Offensichtlich: Die gewöhnliche ACF erfasst sämtliche (d.h. alle direkten und indirekten) Korrelationen zwischen X t und X t h Idee: Betrachte nur die direkten Korrelationen zwischen X t und X t h Partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) 168

4 Definition 5.1: (Partielle Autokorrelationsfunktion (PACF)) Es sei {X t } t Z ein stationärer Prozess. Unter der partiellen Autokorrelation zum Lag h für h 2, in Zeichen π X (h), verstehen wir die direkte Korrelation zwischen X t und X t h unter Konstanthaltung der dazwischen liegenden Zufallsvariablen X s mit t h < s < t. Zur Vervollständigung setzen wir π X (0) = 1, π X (1) = ρ X (1), π X (h) = π X ( h) für h <

5 Frage: Wie berechnet man die PACF eines stochastischen Prozesses {X t } t Z? Satz 5.2: (Berechnung der theoretischen PACF) Es sei {X t } t Z ein stationärer Prozess. Die partielle Autokorrelation π X (h) für h 2 ist gleich dem Koeffizienten α h aus der optimalen linearen Prognose von X t auf Basis der Beobachtungen X t 1,..., X t h : ˆX t 1,1 = α 1 X t α h X t h. (Beweis: Schlittgen & Streitberg, 2001) 170

6 Bemerkung: Es gibt ein spezielles mathematisches Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten α 1,..., α h aus Satz 5.2 (Levinson-Durbin Rekursion) theoretische partielle Autokorrelation π X (h) = α h Jetzt: Schätzung der PACF auf der Basis einer zufälligen Stichprobe X 1,..., X T (vgl. Kapitel 4) 171

7 Schätzverfahren: (I) Es sei X 1,..., X T eine Stichprobe (Trajektorie) aus dem theoretischen Prozess {X t } t Z Man betrachte die folgende Regressionsgleichung: X t = β 0 + β 1 X t β h X t h + u t (u t ist ein klassischer Regressionsstörterm) Führe eine klassische Kleinste-Quadrate-Schätzung für die unbekannten Parameter β 0,..., β h durch 172

8 Schätzverfahren: (II) Dann wird π X (h) durch den KQ-Schätzer ˆβ h der obigen Regression geschätzt, d.h. ˆπ X (h) = ˆβ h Es gilt approximativ V ar [ˆπ X (h)] 1 T 173

9 Bemerkungen: Analytisch geschlossene Formeln für die PACF π X (h), h 0, eines beliebigen ARMA(p, q)-prozesses existieren im Allgemeinen nicht Die theoretischen ACF und PACF von ARMA(p, q)-prozessen zeigen das folgende qualitative Muster: 174

10 Prozess ACF (ρ X (h)) PACF (π X (h)) AR(p) unendlich endlich (gedämpfte Exponenti- π X (h) = 0 für h > p alfkt. oder Sinuswellen) MA(q) endlich unendlich ρ X (h) = 0 für h > q (gedämpfte Exponentialfkt. oder Sinuswellen) ARMA(p, q) wie bei AR(p) ab h > q wie bei MA(q) ab h > p 175

11 5.2 Interpretation von ACF und PACF Bemerkungen: Die geschätzten ACF und PACF einer Zeitreihe können in bestimmten Fällen zur Identifikation des zugrundeliegenden datenerzeugenden Prozesses verwendet werden Dabei vergleicht die geschätzten ACF und PACF mit den Mustern der theoretischen ACF und PACF (vgl. die Tabelle auf Folie 175) Für ARMA(p, q)-modelle mit niedrigen Ordnungen (z.b. für p + q 2) ist diese Identifikationsstrategie oft erfolgreich (vgl. Stralkowski et al., 1974) Für gemischte ARMA(p, q)-modelle höherer Ordnungen ist sie oft nicht zielführend 176

12 Beispiele: Für ɛ t GWR(0, 1) betrachte die geschätzten ACF und PACF der Prozesse X t = ɛ t 0.8ɛ t 1 X t = 0.8X t 1 + ɛ t MA(1) AR(1) X t = 1.3X t 1 0.4X t 2 + ɛ t + 0.4ɛ t 1 ARMA(2, 1) (vgl. Folien 58, 77, 122) 177

13 1.0 Geschätzte ACF eines MA(1)-Prozesses h Geschätzte PACF eines MA(1)-Prozesses h

14 1.0 Geschätzte ACF eines AR(1)-Prozesses h Geschätzte PACF eines AR(1)-Prozesses h

15 1.0 Geschätzte ACF eines ARMA(2,1)-Prozesses h 1.0 Geschätzte PACF eines ARMA(2,1)-Prozesses h