Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

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1 Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA

2 Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X) = E([X E(X)] 2 i ) = [x E(X)] 2 f(x) dx, wenn X stetig Standardabweichung Sta(X) bzw. σ: Sta(X) = Var(X) Kombinatorik Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter Beispiel: Diskrete Verteilung x f(x) : Var(X) = (0 1) (1 1) (2 1)2 1 4 = 1 2 Beispiel: Für eine exponentialverteilte Zufallsvariable X (Dichte siehe Erwartungswert) folgt ( )2 Var(X) = (x E(X))f(x)dx = λ x 1 λ e λx dx ( 0 = e λx x 2 + 2x λ ( ) ) 1 2 λ 2 λ 2 2x λ + 2 λ 2 0 ( = ( 1 λ ) 2 ) = 1 λ 2 140

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4 Rechenregeln für die Varianz Verschiebungssatz: Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 Beispiel: Diskrete Verteilung x f(x) E(X 2 ) = = 3 2 E(X 2 ) [E(X)] 2 = = 1 2 = Var(X) : Kombinatorik Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter Lineare Transformation: Var(a + bx) = b 2 Var(X) Summenbildung gilt nur, wenn die X i unabhängig! Dann: ( n ) n Var X i = Var(X i ) i=1 i=1 141

5 Erwartungswerte und Varianzen wichtiger Verteilungen Verteilung von X E(X) Var(X) Binomialverteilung B(n; p) np np(1 p) Hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N, M, n n M N n M N N M N n N N 1 Kombinatorik Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter Poisson-Verteilung P(λ) λ λ Gleichverteilung in [a; b] mit a < b a + b 2 Normalverteilung N(µ; σ) µ σ 2 (b a)

6 Kovarianz und Korrelation Kovarianz: Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y E(Y))] = E(X Y) E(X) E(Y) (Verschiebungssatz) Kombinatorik Zufall und Wahrscheinlichkeit Korrelationskoeffizient: ρ(x, Y) = Cov(X, Y) Var(X) Var(Y) Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter Bemerkungen: ρ ist r nachgebildet ρ [ 1; 1] ρ = 1 Y = a + bx (mit b 0) ρ = 0 X, Y unkorreliert Varianz einer Summe zweier ZV: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y) 143

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8 : Table of Contents 1 Statistik: Einführung 2 Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie 4 Induktive Statistik 4 Induktive Statistik

9 der induktiven Statistik Beispiel Vollerhebung of unmöglich, Deshalb: Beobachte Teilgesamtheit und schließe auf Grundgesamtheit Warensendung von 1000 Stück; darunter M Stück Ausschuss. M ist unbekannt. Zufällige Entnahme von n = 30 Stück ( Stichprobe ). Darunter 2 Stück Ausschuss. Denkbare Zielsetzungen: 2 Schätze M durch eine Zahl (z.b = 66,67) Schätze ein Intervall für M (z.b. M [58; 84]) Teste die Hypothese, dass M > 50 ist. 145

10 Grundbegriffe Grundgesamtheit (G): Menge aller relevanten Merkmalsträger. Verteilung von G: F(x) = P(X x) = Wahrscheinlichkeit, dass ein Merkmalsträger ausgewählt wird, der beim untersuchten Merkmal maximal die Ausprägung x aufweist. Uneingeschränkte (reine) Zufallsauswahl: Jedes Element von G hat die selbe Chance, ausgewählt zu werden. Stichprobenumfang (n): Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe. Einfache Stichprobe: Uneingeschränkte Zufallsauswahl und unabhängige Ziehung. Alle Stichprobenvariablen X 1,..., X n sind iid. Stichprobenergebnis: n-tupel der Realisationen der Stichprobenvariablen, (x 1,..., x n). 146

11 Wichtige Stichprobenfunktionen Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n, mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ 2 Beliebige Verteilung, Stichprobenfunktion V Bezeichnung E(V) Var(V) n X i Merkmalssumme nµ nσ 2 i=1 X = 1 n σ 2 X i Stichprobenmittel µ n n i=1 X µ n Gauß-Statistik 0 1 σ 1 n 2 mittlere quadratische (X i µ) σ n Abweichung bezüglich µ 2 i=1 1 n 2 mittlere quadratische n 1 (X i X) n Abweichung n σ2 i=1 S 2 = 1 n (X i X) 2 Stichprobenvarianz σ 2 n 1 i=1 S = Stichproben- S 2 Standardabweichung X µ n S t-statistik 147

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13 Auswirkungen der Stichprobengröße Ziehen von Stichproben (jeweils vom Umfang n) und Berechnung der Stichprobenmittel (Verteilung: zwei überlagerte Gleichverteilungen): 148

14 Auswirkungen der Stichprobengröße 149

15 Auswirkungen der Stichprobengröße 150

16 Ein unbekannter Parameter ϑ der Verteilung von G soll auf Basis einer Stichprobe geschätzt werden. Zum Beispiel: σ von N(10; σ) Schätzwert: ˆϑ Vorgehen: Verwendung einer Schätzfunktion ˆΘ = g(x 1,..., X n ) Beachte: Der Schätzwert ˆϑ ist die Realisierung der ZV (!) ˆΘ. Frage: Welche Stichprobenfunktion ist zur Schätzung geeignet? Kriterien für die Beurteilung/Konstruktion von Schätzfunktionen! Im Folgenden: Vorliegen einer einfachen Stichprobe, d.h. X 1,..., X n iid. 156

17 Erwartungstreue und Wirksamkeit Eine Schätzfunktion ˆΘ = g(x 1,..., X n ) heißt erwartungstreu oder unverzerrt für ϑ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt: Beispiel E( ˆΘ) = ϑ Sind ˆΘ = X, ˆΘ = X 1+X n 2, ˆΘ = 1 n 1 a) ˆΘ: E( X) = µ ˆΘ ist erwartungstreu. b) ˆΘ : E ( X 1 +X n 2 ˆΘ ist erwartungstreu. ( c) ˆΘ : E n ) X i n 1 n 1 i=1 n X i erwartungstreu für µ? i=1 ) = 1 2 [E(X 1) + E(X n)] = 1 2 = 1 n 1 i=1 ˆΘ ist nicht erwartungstreu E(X i ) = 1 n 1 (µ + µ) = µ n i=1 µ = n n 1 µ µ 157

18 Erwartungstreue und Wirksamkeit Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen ˆΘ, ˆΘ ist besser? Von zwei erwartungstreuen Schätzfunktionen ˆΘ, ˆΘ für ϑ heißt ˆΘ wirksamer als ˆΘ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt: Var( ˆΘ) < Var( ˆΘ ) Beispiel: ( ˆΘ = X, Wegen Var( ˆΘ) = Var( X) Var( ˆΘ ) = Var ( X 1 +X n 2 ˆΘ = X 1+X n 2 ) ) = 1 = σ2 n 4 (σ2 + σ 2 ) = σ2 2 (falls n > 2) ist ˆΘ wirksamer als ˆΘ. Var( ˆΘ) < Var( ˆΘ ) 158

19 Für einen unbekannten Verteilungsparameter ϑ soll auf Basis einer Stichprobe ein Intervall geschätzt werden. Verwendung der Stichprobenfunktionen V u, V o, so dass V u V o und P(V u ϑ V o) = 1 α stets gelten. [V u; V o] heißt Konfidenzintervall (KI) für ϑ zum Konfidenzniveau 1 α. Beachte: Das Schätzintervall [v u; v o] ist Realisierung der Zufallsvariablen (!) V u, V o. Irrtumswahrscheinlichkeit α (klein, i.d.r. α 0,1) Frage: Welche Konfidenzintervalle sind zur Schätzung geeignet? Hängt von Verteilung von G sowie vom unbekannten Parameter (µ, σ 2 ) ab! Im Folgenden: Einfache Stichprobe X 1,..., X n mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ 2 159

20 Wichtiger Spezialfall: Symmetrische Konfidenzintervalle Symmetrisch heißt nicht, dass die Dichte symmetrisch ist, sondern übereinstimmende Wahrscheinlichkeiten für Über-/Unterschreiten des Konfidenzintervalls, d.h. f(x) P(V u > ϑ) = P(V o < ϑ) = α 2 0,1 0, Wichtig: Eine Verkleinerung von α bewirkt eine Vergrößerung des Konfidenzintervalls. x 160