VU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz

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1 VU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz Gruppe A: Bernhard Stader, Georg Ziegler, Andreas Zugaj 10. November 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Transformation einer Max-Flow- in eine Min-Cost-Circulation Instanz Das Maximalen Flussproblem oder Max-Flow Problem Das kostenminimalen Zirkulationsproblem oder Min-Cost-Circulation Problem Transformation in Min-Cost-Circulation Cycle-Cancelling-Algorithmus an einem Beispiel Algorithmus Cycle Cancelling Beispiel Ergebnis Laufzeitüberlegungen 5 1 Transformation einer Max-Flow- in eine Min- Cost-Circulation Instanz Die Problemstellung der Aufgabe ist: Der Algorithmus Cycle Canceling aus der Vorlesung berechnet eine kostenminimale Zirkulation in einem Graphen. Gegeben ist nun eine Instanz eines Maximalen Flussproblems. 1. Zeigen Sie, wie Sie Ihre Instanz in ein kostenminimales Flussproblem transformieren können. 2. Nun wenden Sie den Algorithmus Cycle Canceling auf die transformierte Instanz an. Was bedeutet dies für die Originalinstanz? Leiten sie daraus einen Algorithmus für das Maximale Flussproblem ab. 1

2 1.1 Das Maximalen Flussproblem oder Max-Flow Problem 2 Eine kurze Wiederholung des Maximalen Flussproblems und des kostenminimalen Zirkulationsproblems folgt nun. 1.1 Das Maximalen Flussproblem oder Max-Flow Problem Gegeben: ein gerichteter Graph G = (V, E) wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten ist. Kapazität u(v, w) 0 für (v, w) E Quelle s V Senke t V Ein Fluss f ist eine Zuordnung von Werten auf die Kanten sodass die Bedingung f(v, w) u(v, w) für alle Kanten (v, w) und die Flusserhaltungsbedingung w:(v,w) E f(v, w) = w:(v,w) E f(w, v) für alle Knoten v ausser s und t erfüllt ist. Vorwärts-Kanten heissen Kanten, die längs eines Pfades von der Quelle zur Senke zeigen und Rückwärts-Kanten die von der Senke zur Quelle gerichtet sind. Falls jeder von der Quelle zur Senke führende Pfad in einem Netzwerk eine volle Vorwärts-Kante oder leere Rückwärts-Kante aufweist, ist der Fluss maximal. Für jeden Schnitt, der das Netzwerk in zwei Teile zerlegt, können wie den Fluss durch den Schnitt messen. Wenn der Fluss durch einem Schnitt gleich dem Gesamtfluss ist wissen wir das nicht nur der Fluss maximal, sondern auch der Schnitt minimal ist.dies wird auch der Satz über den maximalen Fluss und den minimalen Schnitt(maxflow-mincut theorem) genannt. 1.2 Das kostenminimalen Zirkulationsproblem oder Min- Cost-Circulation Problem Wie wir aus der Vorlesung wissen kann man ein Problem der minimalen Kosten in ein kostenminimales Zirkulationsproblem konvertieren. 1.3 Transformation in Min-Cost-Circulation Das Problem des maximalen Flusses ist eine Spezialfall des minimalenkosten Zirkulationsproblems. Wenn man zu einer Instanz des maximalen Flussesproblems eine Kante zwischen s und t hinzufügt und definiert das u(t, s) =,u(s, t) = 0,c(t, s) = 1 = c(s, t) und c(v, w) = 0 für alle (v, w) (s, t). Gruppe A: Stader, Ziegler, Zugaj 2

3 2. Cycle-Cancelling-Algorithmus an einem Beispiel 3 Wenn man die Kapazitäten auf der Kante (s, t) betrachtet muss f(t, s) 0 sein damit der Fluss von t nach s geht. Weiters besteht eine 1 zu 1 Korrespondez zwischen den Zirkulationen in diesem transformierten Graphen und den Flüssen im Ausgangsgraphen die alle Bedingungen der Flusserhaltung in V \{s, t} erfüllt. Ausserdem sind die Kosten jeder Zirkulation dieses transformierten Graphen gleich dem negativen Fluss aus s (oder nach t) im Ausgangsgraph. Daraus schliesst man, das das Problem des maximalen Flusses im Ausgangsgraphen äquivalent ist zu dem Problem der kostenminimalen Zirkulation im transformierten Graphen. Abbildung 1: Max-Flow Ausgangsgraph Abbildung 2: Transformierter Graph Hier nochmal wie wir von unserem Ausgangsgraphen 1 auf den transformierten Graphen 2 kommen. Wir wenden folgende Schritte auf den Ausgangsgraphen 1 an: Füge eine Kante (s, t) ein mit u(s, t) = 0 und Kosten 1 Füge eine Kante (t, s) ein mit u(t, s) = und Kosten c(t, s) = 1 Setze für alle Kanten im Originalgraph c(v, w) = 0, (v, w) E MaxFlow = δ = f(t, s) und erhalten den transformierten Graphen 2. 2 Cycle-Cancelling-Algorithmus an einem Beispiel Der Cycle Canceling Algorithmus von Klein bekannt aus der Vorlesung: f ist eine beliebige Zirkulation While G f hat einen negativen Kreis Γ do push δ = min (v,w) Γ u f(v, w) längs Γ Bei dem transformierten Graphen muss jeder Kreis mit negativen Kosten über einen Pfad von s zu t und dem Bogen (t, s)führen, da der einzige negative Bogen (t, s) ist. Gruppe A: Stader, Ziegler, Zugaj 3

4 2.1 Algorithmus Cycle Cancelling Algorithmus Cycle Cancelling Netzwerk n CycleCancelling(Netzwerk n): circulation c = transformiere(n); Solange ( Kreis C mit neg. Kosten in c) { δ = min{u f (v, w) (v, w) C}; für alle ( (v, w) C ) push(δ); fluss + = δ; } n = rücktransformiere(c); return n; circulation c = transformiere(n); while ( findnegcycle(c)){ delta = min(u(v,w)); for each (u(v, w)c) { push(delta); } fluss += delta; } n = ruecktransformiere(c); return n;\\ 2.2 Beispiel Abbildung 3: Erste Iteration Abbildung 4: Zweite Iteration Abbildung 5: Dritte Iteration Abbildung 6: Vierte Iteration 2.3 Ergebnis Nach der Rücktransformation des transformierten Graphen (Ergebnisgraph)8 kann man anhand des schon erwähnten Satzes über den maximalen Fluss und den minimalen Schnitt(maxflow-mincut theorem) schliessen das der Fluss wirklich maximal ist. Gruppe A: Stader, Ziegler, Zugaj 4

5 3. Laufzeitüberlegungen 5 Abbildung 7: Fünfte Iteration Abbildung 8: Ergebnisgraph 3 Laufzeitüberlegungen C ist die obere Schranke der absoluten Werte der Kosten. U ist die obere Schranke der absoluten Werte der Kapazitäten. wenn c,u ganzahlig: c, u ganzzahlig O(mCU) C = max{c(v, w) (v, w) E} = 1 O(mU) U = max{u(v, w) (v, w) E} U: jede Kante um mindestens 1 augmentieren m : m = E Wenn c,u irrational sind dann kann das maxflow-problem laut Edmonds und Karp auf das finden eines Pfades von s nach t mit der maximalen residualen Kapazität. Dies geht in O(mlogU) Iterationen, mit Komplexität O(m) pro Iteration. Dies führt zu der Komplexität des Algorithmus von O(m 2 logu). Literatur [EK72] J. Edmonds and R.M. Karp. Theoretical improvments in algorithmic efficiency for network flow problems. Journal of the ACM, [Sed02] Robert Sedgewick. Algoritmen. Addison-Wesley, Gruppe A: Stader, Ziegler, Zugaj 5