1.1.8 Radialsymmetrisches elektrisches Feld, Coulomb-Gesetz; Kapazität des Kugelkondensators

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1 8 Raialsymmetrisches elektrisches Fel, Coulomb-Gesetz; Kapazität es Kugelkonensators Die Felstärke im raialen Fel - as Coulombsche Gesetz Am Ene es letzten Kapitels wure ie Grungleichung es elektrischen Feles D = ε 0 E (im Vakuum) hergeleitet Mit Hilfe ieser Gleichung soll jetzt as raialsymmetrische Fel um eine Punktlaung ermittelt weren Versuch: * - --* p Um eine isolierte gelaene Konuktorkugel mit er Laung un em Raius R weren zwei ungelaene Halbkugeln gestülpt un zu einer Hohlkugel mit em größeren Raius r zusammengefügt Dann weren ie Kraft F auf ie Probelaung P vor un nach em Überstülpen sowie ie influenzierte Laung * gemessen Ergebnisse: F un amit as Fel ist unabhängig von er Größe er laungsführenen Kugeln 2 = *, = -* Erklärung: Die Laungen er Konuktorkugel influenzieren auf er Innenseite er ungelaenen Hohlkugeln eine entgegengesetzt gleiche Influenzlaung -*, so ass auf er Außenseite eine Laung * übrig bleibt, ie in Größe un Vorzeichen mit er ursprünglichen Laung er Konuktorkugel übereinstimmt Im Grune wir as Fel er influenzierten Laung * gemessen, eren Flächenichte σ wesentlich kleiner ist als ie er ursprünglichen Laung Am Fel außerhalb er Kugel änert ies aber offenbar nichts! Seite --8-

2 In einem hinreichen kleinen Bereich können ie weiter oben für as homogene Fel erhaltenen Gesetzmäßigkeiten auch hier angewant weren Es gilt aher für ie Flächenichte er influenzierten Laung in er Entfernung r vom Kugelmittelpunkt: = & A = 0 $ E bzw = 0 $ E, woraus sofort E = folgt & 4$ $ & 4$ $ 0 $ Anmerkung: Das Ergebnis zeigt, ass ie Felstärke nicht avon abhängt, auf welcher Kugel ie Laung verteilt ist; man kann sich aher eine auf einer Kugel verteilte Laung auch im Kugelmittelpunkt konzentriert enken! Mit er Gleichung F = p E folgt für ie Kraft F, ie von einer Punktlaung im Abstan r von einer Probelaung p auf iese wirkt, F = P$ 4$ $ 0 $ Zusammenfassung: Die Felstärke E außerhalb einer Kugel, ie an ihrer Oberfläche gleichmäßig gelaen ist, hängt nicht vom Kugelraius R, sonern von er Laung er Kugel un von er Entfernung r es Felpunktes vom Kugelmittelpunkt M ab In er Entfernung r vom Kugelmittelpunkt M gilt für ie Felstärke E: 4$ $ 0 $ E = Die Kraft F, mit er zwei kugel- oer punktförmige Laungen un p aufeinaner wirken, ist gegeben urch F = p$ 4$ $ 0 $r 2 Die Kraft F zeigt in Richtung er Verbinungslinie er beien Kugelmitten un ist je nach Vorzeichen anziehen oer abstoßen Arbeit, Spannung un Potential im raialen Fel Bei er Einführung er Begriffe Arbeit, Potential un Spannung erhielten wir ie Gleichungen W = p $ E(r) $ r un = W p Im raialen Fel lassen sich beie Größen nach Kenntnis von E(r) leicht berechnen: Die Arbeit bei er Verschiebung er Probelaung p von P zu P 2 lässt sich in zwei Teilwege s un s 2 zerlegen Längs es Weges s stehen Kraft- un Wegvektor aufeinaner senkrecht, ie Teilarbeit W ist eshalb gleich Null Längs es Weges s 2 sin Kraft- un Wegvektor parallel, aber ie Kraft F ist längs es Weges nicht konstant, h Seite --8-2

3 W 2 = P $ E(r) $ s = P $ E(r) $ r s P s2 r2-r P2 r r2 r2-r Die Verschiebungsarbeit W 2 reuziert sich ann auf W 2 = p $ E(r)r = p $ r r = p$ 2 $ r 2 r = p$ $ [ r r ] 2 r bzw W 2 = p$ $ ( 2 ) Für as Potential es Punktes P mit P 2 als Bezugspunkt bzw ie Spannung U 2 zwischen P un P 2 finet man wegen 2 = W 2 p : 2 = $ ( 2 ) = U 2 Der Term vereinfacht sich noch wesentlich, wenn man en Bezugspunkt P 2 "ins Unenliche" verschiebt ( g 2 0): = $ Veranschaulichung: Φ r Zusammenfassung: Im "Coulomb-Fel" gilt für ie Arbeit W 2 bei er Überführung er Probelaung p vom Punkt P zum Punkt P 2 : W 2 = p$ $ ( 2 ) Seite --8-3

4 Die Spannung U 2 zwischen P un P 2 ist gegeben urch U 2 = $ ( 2 ) Für as Potential Φ am Ort P bei unenlich fernem Bezugspunkt gilt = $ Die Kapazität es Kugelkonensators Im raialen Fel gelten ie oben angeschriebenen Gleichungen für ie Arbeit bzw ie Spannung Für eine gelaene Kugel mit Raius R kann ihre Kapazität "gegen Unenlich" inuktiv ermittelt weren Es gilt unter Zuhilfenahme er bekannten Konensatorgleichung C = : U R C = : (wegen = R!) bzw C = 4 π ε 0 R Die Beziehung C ~ R kann mit folgenem Versuch leicht bestätigt weren: Versuch: Eine Metallkugel mit em Raius R wir möglichst weit von er geereten Umgebung entfernt an einem isolierten Faen aufgehängt Dann wir ie Kugel urch ie Spannung U gelaen un anschließen über en Messverstärker entlaen Dieser Versuch wir mit Kugeln mit verschieenen Durchmessern urchgeführt Ergebnisse: ~ U 2 ~ R Folgerung: ~ U R bzw U = C π R Besteht ein Kugelkonensator aus zwei konzentrischen Kugelschalen mit ri ra en Raien r i un r a (vgl Skizze!), so gilt wegen i a = ra r i r i $r a für ie Kapazität C: C = U = $ r i$r a r a r i Führt man weiterhin für en Abstan zwischen en beien Kugelflächen = r a - r i, Seite --8-4

5 ferner r = r a $ r i als geometrisches Mittel aus en beien Kugelraien ein, so nimmt ie Gleichung für ie Kapazität C es Kugelkonensators ie Form C = an Überlegt man noch, ass 4 π ie Oberfläche er zwischen en beien Kugeln gelegenen Kugelschale mit em mittleren Raius r ist, ann erhält man für ie Kapazität es Kugelkonensators C = 0 $ A, einen Zusammenhang, er formal ientisch ist mit er Gleichung für ie Kapazität es Plattenkonensators Anmerkung: Man kann sich einen Plattenkonensator aus einem Kugelkonensator entstanen enken, wenn man aus letzterem bei unenlich großem Raius einen Kegel herausschneiet, essen Spitze im Kugelmittelpunkt liegt! Zusammenfassung: Ein Kugelkonensator mit einem mittleren Kugelraius r un einem Kugelschalenabstan hat ie Kapazität C = Seite --8-5