BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

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1 BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c = c + bc gilt. Dbei muss klr sein, dss ein Ausdruck (b + kein Befehl zum Auflösen der Klmmern ist: mnchml ist ds Auflösen der Klmmern nützlich, mnchml nicht. So wird mn bei 7 (8 + 2) erst die Klmmer usrechnen und dnn mit 7 multiplizieren, weil leichter zu berechnen ist ls 7 (8 + 2) = 7 30 = 20 7 (8 + 2) = = = 20. Umgekehrt wird mn bei eher usklmmern ls den ersten 7 Summnden uf den Huptnenner 7 zu bringen, denn dnn wird die Sche gnz einfch: ( 7 = 45 ) = = Es sei bemerkt, dss mn 45 6 m besten mit dem Assozitivgesetz usrechnet: 45 6 = 45 (2 3) = (45 2) 3 = 90 3 = 270. Bei Produkten zweier Zhlen, von denen eine gerde ist, knn mn immer einen Fktor verdoppeln und den ndern hlbieren, ohne dss ds Produkt sich ändert: so wäre etw = 50 2 = 00 8 = 600. Größen in () wie ds Produkt b können wir ls Flächeninhlt eines Rechtecks mit den Seiten und b interpretieren; in diesem Zusmmenhng besgt ds Distributivgesetz () nur, dss die Fläche eines Rechtecks, ds durch eine Prllele zu seinen Seiten in zwei Teile geteilt wird, die Summe der Flächen der Teile ist: Aufgbe. Interpretiere die Gleichung (b + c + d) = b + c + d geometrisch.

2 2 FRANZ LEMMERMEYER Abbildung. Ds Distributivgesetz Etws schwieriger wird die Sche, wenn mn zwei Summen miteinnder multipliziert: ws ist ( + b)(c + d)? Wenn wir zur Abkürzung c + d = C setzen, dnn finden wir (+b)(c+d) = (+b)c = C+bC = (c+d)+b(c+d) = c+d+bc+bd, wobei wir ds gewöhnliche Distributivgesetz zweiml ngewndt hben. Die geometrische Interprettion der Gleichung (2) ( + b)(c + d) = c + d + bc + bd ist vielleicht noch überzeugender: Abbildung 2. Ds Distributivgesetz für zwei Summen Aufgbe 2. Bestimme (+b)(c+d+e) und interpretiere ds Ergebnis geometrisch. Wichtige Bemerkung. Neben dem Distributivgesetz ist für ds Rechnen mit Zhlen und Termen noch ds Assozitivgesetz wichtig (wir

3 BINOMISCHE FORMELN 3 hben oben schon ein Beispiel dfür gegeben). Im Flle der Addition besgt es, dss die Summe von drei (oder mehr) Summnden nicht von der Klmmerung bhängt, dss lso 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 ist, oder llgemein + (b + = ( + b) + c = + b + c. Genusowenig wie mn beim Addieren 2+(3+4) = 5+6 = rechnen drf, knn mn dies beim Multiplizieren tun: es ist uch dort 2 (3 4) = (2 3) 4 = und eben nicht 2 (3 4) = 6 8! Ds Assozitivgesetz der Multipliktion (b = ( b) c = b c lässt sich geometrisch interpretieren: Die Formel bc beschreibt ds Volumen eines Quders mit den Knten, b und c, und ds Assozitivgesetz besgt, dss dieses Volumen nicht dvon bhängt, welche Fläche des Quders mn ls Grundfläche benutzt (Abb. 3). Abbildung 3. Ds Assozitivgesetz der Multipliktion () Berechne: (2) Berechne:. Übungen ) 3( + 4x) b) 5(b + 2cd) ( + b d) rs(r + s) ) ( + b)( + b) ( 2b)(b 2) (r s) r( s) d) ( + b) b( + b) (3) Klmmere so viel us wie möglich: ) 2x + 8y b) 24xy 30x x 2 + 2bx d) 2rs 2 5r 2 s

4 4 FRANZ LEMMERMEYER (4) Fsse zusmmen: ) x 7 y 2 (5) Fsse zusmmen: ) + b + b (6) Fsse zusmmen: ) b 3b 2 b) d) x + 2x 3 b) + b d) b b) b b d) x 2 x (7) Fsse zusmmen: ( ) + ) x b) x ( 3 2x 2x 5 ) d) 4x (8) Vereinfche: ) x 2 : x b) x 2 : 2 2 : d) 3 2 : b 2 ( x + ) (x + y) y ( x ) (x y) y (9) Vereinfche: ) : b x y : x x b) d) b : b b : 2 b (0) Rechne uf zwei verschiedene Arten: ) 2 ( ) b) 3 ( ) 5 ( ) d) 8 ( )

5 BINOMISCHE FORMELN 5 Die Binomischen Formeln. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen oft vorkommende Spezilfälle von (2). Setzt mn dort nämlich c = und d = b, so wird drus ( + b)( + b) = 2 + b + b + b 2 = 2 + 2b + b 2. Auch diese Formel lässt sich geometrisch interpretieren (Abb. 4 links). Diese binomische Formel ist nur dnn hilfreich, wenn mn dmit uch z.b. (x + 2y) 2 usrechnen knn: hier ist = x und b = 2y, lso (x + 2y) 2 = x x 2y + (2y) 2 = x 2 + 4xy + 4y 2. Die Klmmer bei (2y) 2 ist wichtig, denn ohne die Klmmer würde hier nur 2y 2 = 2 y 2 stehen nsttt 4y 2. Die Formel Abbildung 4. Binomische Formeln (3) ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 heißt die erste binomische Formel. Wichtig ist dbei, ds Mittelglied 2b nicht zu vergessen, denn (+b) 2 ist eben gnz und gr nicht gleich 2 + b 2. Anders sieht ds ntürlich bei der Multipliktion us: Dort gilt in der Tt ( b) 2 = bb = 2 b 2, ws sich nicht so einfch geometrisch vernschulichen lässt, weil uf beiden Seiten der Gleichung ein Produkt von Flächen steht. Die zweite binomische Formel erhält mn, wenn mn in der ersten b durch b ersetzt: ( b) 2 = ( + ( b)) 2 = 2 + 2( b) + ( b) 2 = 2 2b + b 2.

6 6 FRANZ LEMMERMEYER Die dritte binomische Formel ( + b)( b) = 2 + b b b 2 = 2 b 2 ist interessnter; ihre geometrische Vernschulichung ist in Abb. 4 zu sehen: Die gefärbte Fläche in der mittleren Figur ht den Inhlt 2 b 2 ; schiebt mn ds Rechteck links oben uf die Spitze der rechten gefärbten Fläche, erhält mn ein Rechteck mit Grundseite b und Höhe + b. Also ist 2 b 2 = ( b)( + b). Zusmmenfssend hben wir lso die drei binomischen Formeln ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2, ( b) 2 = 2 2b + b 2, ( + b)( b) = 2 b 2. Diese muss mn in beiden Richtungen beherrschen, d.h. mn muss sowohl mühelos (!) (2x + 3y) 2 = (2x) 2 + 2(2x)(3y) + (3y) 2 = 4x 2 + 2xy + 9y 2 rechnen können, ls uch umgekehrt sehen (und ds ist schwieriger), dss z.b. gilt. x 2 4xy + 4y 2 = (x 2y) 2 und 4c 2 9d 2 = (2c + 3d)(2c 3d) 2. Anwendungen Binomische Formeln erleichtern ds Kopfrechnen, etw ds Bestimmen von Qudrtzhlen. So ist 4 2 = (40 + ) 2 = = = 68 oder uch = (40 2)(40 + 2) = = = 396. Ein beknnter Rechentrick zur Bestimmung der Qudrte von Zhlen, die uf 5 enden, funktioniert so: um etw 65 2 uszurechnen, hängt mn n 6 (6 + ) = 6 7 = 42 eine 25 n und erhält 65 2 = Entsprechend ist 85 2 = 7225 wegen 8 9 = 25. Hinter diesem Trick steckt die erste binomische Formel: 65 2 = (60 + 5) 2 = = oder gnz llgemein = 60(60 + 0) + 25 = = , (0+5) 2 = = = 00(+)+25.

7 () Berechne (2) Berechne BINOMISCHE FORMELN 7 3. Übungen ) (x + 2y) 2 b) (2r 5s) 2 (3x 2 d) (2b + ) 2 ) ( 2b) 2 b) (2b ) 2 ( 2b) 2 d) ( 2b) 2 (3) Berechne ( ) + )( b ) b) ( b b + b ) 2 d) ( b ) 2 ( b ) 2 4 (4) Berechne (lle vorkommenden Terme sind positiv): ) 9x 2 b) 4x 6x 2 ( + b)( b) + b 2 d) 9x2 + 72xy + 44y 2 (5) Berechne uf zwei verschiedene Arten: (6) Berechne ) ( ) 2 b) ( ) 2 ( ) 2 d) ( ) 2 ) (3 2)(3 + 2) b) ( 5 + )( 5 ) ( 6 5)( 6 + 5) d) ( 3 )( 3+ ) (7) * Mche die Nenner rtionl (Hinweis: Betrchte die vorhergehende Aufgbe): 3 ) b) d) (8) * Berechne die folgende Summe (Hinweis: Mche die Nenner rtionl):

8 8 FRANZ LEMMERMEYER (9) Berechne mit der binomischen Formel: (0) Berechne ) 23 2 b) d) 38 2 ) 79 8 b) d) 39 4 () Interpretiere die Formel ( + 2b) 2 = 2 + 4b + 4b 2 geometrisch, indem du ds Qudrt mit Kntenlänge + b + b betrchtest. (2) Berechne (+b+ 2 und interpretiere ds Ergebnis geometrisch. (3) Berechne 38 2 mit der ersten, und dnch 37 39, und 35 4 mit der dritten binomischen Formel. (4) Berechne 45 2, 75 2 und 05 2 mit dem Rechentrick. (5) Ziehe die Qudrtwurzel: ) 625 b) ,25 d) 0,3025 (6) Berechne 8 2, und dnch und (7) Berechne und (8) Vereinfche ) (x + ) 2 (x ) 2 b) (x + y) 2 (x y) 2 2 ( + b)( b) d) (x + ) 2 (9) Schreibe ls binomische Formel: ) x 2 + 6xy + 9y 2 b) 4x 2 + 8xy + 4y 2 2 4c + 4c 2 d) 4p 2 25q 2 (20) Beweise die Formel ( + b ) 2 ( b ) 2. b = 2 2 Wie knn mn dmit 3 7 oder usrechnen? (2) Beweise, dss die folgende Gleichung richtig ist: ( 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (c bd) 2 + (d + b 2.

9 BINOMISCHE FORMELN 9 (22) Beweise, dss die folgende Gleichung richtig ist: ( 2 + 2b 2 )(c 2 + 2d 2 ) = (c 2bd) 2 + 2(d + b 2. (23) Stelle eine Vermutung uf, wie sich ( 2 + 3b 2 )(c 2 + 3d 2 ) ls Summe eines Qudrts und des Dreifchen eines Qudrts schreiben lässt und rechne nch, dss die Gleichung stimmt. (24) Zeige, dss gilt: (m 2 ) 2 + (2m) 2 = (m 2 + ) 2. (25) Löse folgende Gleichungen (Brth et l., Algebr ): ) (2x + 3)(2x 3) = (2x + 3) 2 b) (x + 3) 2 + 2(2x + )(2x ) = (5 3x) 2 (x 3) 2 x 2 = 3 3(x + 2) (26) Welche Formel wird hier vernschulicht?

10 0 FRANZ LEMMERMEYER 4. Routineufgben Die folgenden Aufgben sind erst vorwärts zu mchen, später uch in der umgekehrten Reihenfolge (von der Lösung zur Aufgbe). 4.. Binomische Formeln I. () (4 + 6b) 2 = (7 + 2b) 2 = (b) (4 + 8b) 2 = (4 + b) 2 = ( (6 + 9b) 2 = (7 + 2b) 2 = (d) (6 + b) 2 = (2 + 8b) 2 = (e) (4 + 9b) 2 = (5 + 8b) 2 = (f) (2 + 6b) 2 = (4 + 3b) 2 = (g) (6 + b) 2 = (3 + 2b) 2 = (h) (7 + 7b) 2 = (4 + 3b) 2 = (i) (7 + 3b) 2 = (4 + 4b) 2 = (j) (5 + 3b) 2 = (2 + 5b) 2 = (k) (9 + 6b) 2 = (9 + 7b) 2 = (l) ( + 2b) 2 = ( + 2b) 2 = (m) (2 + 6b) 2 = (3 + 7b) 2 = (n) (3 + 9b) 2 = (3 + 6b) 2 = (o) ( + 9b) 2 = ( + 7b) 2 = 4.2. Binomische Formeln II. () (2 9b) 2 = (4 9b) 2 = (b) (3 4b) 2 = (9 6b) 2 = ( (2 6b) 2 = (7 7b) 2 = (d) (5 7b) 2 = (3 5b) 2 = (e) ( 7b) 2 = (8 4b) 2 = (f) ( 6b) 2 = (2 9b) 2 = (g) (7 5b) 2 = (5 3b) 2 = (h) (3 9b) 2 = (2 b) 2 = (i) (6 9b) 2 = (3 2b) 2 = (j) (6 6b) 2 = (5 2b) 2 = (k) (9 4b) 2 = (7 6b) 2 = (l) ( 7b) 2 = (8 9b) 2 = (m) (7 2b) 2 = (4 2b) 2 = (n) (3 6b) 2 = (7 6b) 2 = (o) (5 7b) 2 = (7 5b) 2 =

11 BINOMISCHE FORMELN 4.3. Binomische Formeln III. () (6 b)(6 + b) = (8 b)(8 + b) = (b) (3 6b)(3 + 6b) = (2 6b)(2 + 6b) = ( (7 7b)(7 + 7b) = (3 8b)(3 + 8b) = (d) (9 b)(9 + b) = ( 7b)( + 7b) = (e) (6 4b)(6 + 4b) = (5 6b)(5 + 6b) = (f) (6 3b)(6 + 3b) = (3 b)(3 + b) = (g) ( 6b)( + 6b) = (3 8b)(3 + 8b) = (h) (9 2b)(9 + 2b) = (4 9b)(4 + 9b) = (i) (5 8b)(5 + 8b) = (4 8b)(4 + 8b) = (j) (3 2b)(3 + 2b) = (6 2b)(6 + 2b) = (k) (5 7b)(5 + 7b) = (6 5b)(6 + 5b) = (l) (9 7b)(9 + 7b) = (5 9b)(5 + 9b) = (m) (4 6b)(4 + 6b) = (8 4b)(8 + 4b) = (n) (7 5b)(7 + 5b) = (3 9b)(3 + 9b) = (o) (8 4b)(8 + 4b) = ( b)( + b) =

12 2 FRANZ LEMMERMEYER Lösungen 4.. Binomische Formeln I () b + 36b b + 4b 2 (b) b + 64b b + b 2 ( b + 8b b + 4b 2 (d) b + b b + 64b 2 (e) b + 8b b + 64b 2 (f) b + 36b b + 9b 2 (g) b + b b + 4b 2 (h) b + 49b b + 9b 2 (i) b + 9b b + 6b 2 (j) b + 9b b + 25b 2 (k) b + 36b b + 49b 2 (l) 2 + 4b + 4b b + 4b 2 (m) b + 36b b + 49b 2 (n) b + 8b b + 36b 2 (o) 2 + 8b + 8b b + 49b Binomische Formeln II () b + 8b b + 8b 2 (b) b + 6b b + 36b 2 ( b + 36b b + 49b 2 (d) b + 49b b + 25b 2 (e) 2 4b + 49b b + 6b 2 (f) 2 2b + 36b b + 8b 2 (g) b + 25b b + 9b 2 (h) b + 8b b + b 2 (i) b + 8b b + 4b 2 (j) b + 36b b + 4b 2 (k) b + 6b b + 36b 2 (l) 2 4b + 49b b + 8b 2 (m) b + 4b b + 4b 2 (n) b + 36b b + 36b 2 (o) b + 49b b + 25b 2

13 4.3. Binomische Formeln III () 36 2 b b 2 (b) b b 2 ( b b 2 (d) 8 2 b b 2 (e) b b 2 (f) b b 2 (g) 2 36b b 2 (h) 8 2 4b b 2 (i) b b 2 (j) 9 2 4b b 2 (k) b b 2 (l) b b 2 (m) b b 2 (n) b b 2 (o) b 2 2 b 2 BINOMISCHE FORMELN 3 Hinweis: Auf knn mn binomische Formeln online üben.