K2 - Klausur Nr. 1. Lage von Geraden und Ebenen zueinander. keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

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Erica Kneller
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1 K2 - Klausur Nr. 1 Lage von Geraden und Ebenen zueinander Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Gegeben sind die Ebenen und mit : bzw. : Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat diese Gerade? / 3 2. Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und. Die Ebene ist parallel zu und und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene bestimmen kann. / 3 bitte wenden

2 3. Die Gerade verläuft parallel zur x 1 -Achse durch den Punkt P(0/2/0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6/4/0) und B(1/4/0) einen rechten Winkel hat. / 4 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

3 Wahlteil K2 - Klausur Nr. 1 Lage von Geraden und Ebenen zueinander Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 4. Die Skizze zeigt das Dach eines Gebäudes. In dem gezeichneten Koordinatensystem haben die Punkte A, B,, K folgende Koordinaten: A(24/0/0), B(24/9/0), C(0/9/0), D(0/0/0), E(24/4,5/6), F(0/4,5/6), G(9/9/0), H(9/15/0), I(0/15/0) und K(4,5/15/4). Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. a) Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E 1, in der die Punkte B, C, F und E liegen. Der zur x 2 -Achse parallel verlaufende Dachfirst des kleinen Dachteils trifft im Punkt L auf die Fläche BCFE des Daches. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L. Berechnen Sie den Neigungswinkel der in der Ebene E 1 liegenden Dachfläche. (Teilergebnis: E 1 : und L(4,5/6/4) ) b) Die in der Ebene BCFE liegende Dachfläche soll neu gedeckt werden. Berechnen Sie den Inhalt der Dachfläche. 19 Sonnenstrahlen fallen entlang der Richtung des Vektors 12 ein. 8 Zeigen Sie, dass der Schatten des Punktes K auf der Strecke BG liegt. Wie viel Prozent der neu gedeckten Dachfläche liegen dann im Schatten? c) Im Dachraum soll ein zylinderförmiger Wassertank installiert werden, dessen Grundkreis mit Radius 1,00m in der x 1 x 2 -Ebene liegt und die Kante AB berührt. Wie hoch kann der Zylinder höchstens werden, wenn er von der Dachfläche mindestens 1,30m Abstand haben soll? / 7 / 7 / 4 Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe Viel Erfolg! Schule Notengebung m12_1_1112_lage-geraden-ebenen.pdf von 30 Rückgabe am 28. Oktober 2011 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:

4 Erwartungshorizont Lage von Geraden und Ebenen zueinander Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Gegeben sind die Ebenen und mit : bzw. : Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat diese Gerade? / 3 Subtraktion der beiden Gleichungen liefert 6. Eingesetzt in F erhält man Sei dann erhält man Damit lautet eine Geradengleichung : 12 3,. 0 1 Die Gerade ist parallel zur x 2 x 3 -Ebene. 2. Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und. Die Ebene ist parallel zu und und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene bestimmen kann. / 3 Man wählt zwei beliebige Punkte P und Q auf bzw.. Man bestimmt den Mittelpunkt M der Strecke PQ. Mit einem Normalenvektor der Ebenen und erhält man als Normalengleichung für die gesuchte Ebene : 0. bitte wenden

5 3. Die Gerade verläuft parallel zur x 1 -Achse durch den Punkt P(0/2/0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6/4/0) und B(1/4/0) einen rechten Winkel hat / : 2 0, 0 0 Punkt C auf g: C(r/2/0) Mehrere Lösungsmöglichkeiten (eine genügt natürlich ): 1. Rechter Winkel bei A (oder B): Da AB parallel zu g verläuft muss die x 1 -Koordinate von C mit der von A (bzw. B) übereinstimmen, dann gilt 0 (bzw. 0). Der gesuchte Punkt C lautet daher C 1 (6/2/0) (bzw. C 2 (1/2/0)). 2. Rechter Winkel bei C: 6 1 Wegen 0 gilt 2 2 0, also also r = 2 oder r = 5 und damit C 1 (2/2/0) (bzw. C 2 (5/2/0)).

6 Erwartungshorizont Wahlteil 4. Die Skizze zeigt das Dach eines Gebäudes. In dem gezeichneten Koordinatensystem haben die Punkte A, B,, K folgende Koordinaten: A(24/0/0), B(24/9/0), C(0/9/0), D(0/0/0), E(24/4,5/6), F(0/4,5/6), G(9/9/0), H(9/15/0), I(0/15/0) und K(4,5/15/4). Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. a) Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E 1, in der die Punkte B, C, F und E liegen. Setzt man allgemein an: : und setzt die Koordinaten dreier Punkte (z.b. B, C und F) ein, erhält man das folgende LGS: ,5 6 mit der Lösung, und 0. Also ist für z.b. 36 eine mögliche Ebenengleichung: : Der zur x 2 -Achse parallel verlaufende Dachfirst des kleinen Dachteils trifft im Punkt L auf die Fläche BCFE des Daches. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L. Aus den Koordinaten von K ergibt sich sofort L(4,5/x 2 /4). Einsetzen in E 1 liefert 6. L hat also die Koordinaten L(4,5/6/4). Berechnen Sie den Neigungswinkel der in der Ebene E 1 liegenden Dachfläche. Für den Schnittwinkel zwischen E 1 und der x 1 x 2 -Ebene gilt: cos 0,6 daher 53,1 b) Die in der Ebene BCFE liegende Dachfläche soll neu gedeckt werden. Berechnen Sie den Inhalt der Dachfläche.

7 Aus der Gleichschenkligkeit des Dreiecks GCL ergibt sich P(4,5/9/0). Für den Inhalt A 1 der zu deckenden Dachfläche gilt: 24 7, ,5 Der gesuchte Flächeninhalt beträgt also 157,5m². 19 Sonnenstrahlen fallen entlang der Richtung des Vektors 12 ein. 8 Zeigen Sie, dass der Schatten des Punktes K auf der Strecke BG liegt. Der Lichtstrahl durch K liege auf der Gerade g mit: 4,5 19 : 15 12,. 4 8 Die Bedingung 0 führt auf 0,5 und damit auf K (14/9/0). Wie viel Prozent der neu gedeckten Dachfläche liegen dann im Schatten? Für den Anteil A 2 der im Schatten liegt gilt: ,5. Der Anteil der im Schatten liegenden Dachfläche ist,, 0,079 also etwa 8%. c) Im Dachraum soll ein zylinderförmiger Wassertank installiert werden, dessen Grundkreis mit Radius 1,00m in der x 1 x 2 -Ebene liegt und die Kante AB berührt. Wie hoch kann der Zylinder höchstens werden, wenn er von der Dachfläche mindestens 1,30m Abstand haben soll?

8 Das Dreieck ABE ist gleichschenklig. Damit besitzt der Mittelpunkt M der Grundfläche des Zylinders die Koordinaten M(23/4,5/0). Der Punkt R(23/5,5/h) der Deckfläche des Zylinders liegt der Dachfläche, die in E 1 liegt, am nächsten. Für den Mindestabstand a des Punktes R von E 1 gilt:, 1,30. Hieraus ergibt sich oder 2,5. Der Punkt für liegt nicht im Dachraum, also darf der Wassertank maximal 2,50m hoch werden.

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