KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen

Transkript

1 KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe Kovergezkriterie Absolut kovergete Reihe Lerziele 8 Eigeschafte der geometrische Reihe, Begriffe: Reihe, Folge, Partialsumme, Kovergez der Reihe, Recheregel für kovergete Reihe, geometrische Reihe, Itegralkriterium, Vergleichskriterium I ud II, otwediges Kovergezkriterium, Divergez-Test für Reihe, Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe, absolute Kovergez, bedigte Kovergez, Quotiete- ud Wurzelkriterium 5

2 8 Zahlereihe Defiitio 8. Die aus der Zahlefolge {a k } 0 gebildete Folge {S N } N 0 mit S := a k = a + a a, 0, heißt uedliche Reihe, sie wird mit a k bezeichet. Die Zahle a k heiße Glieder der Reihe ud die Summe S := a k -te Partialsumme der Reihe. Ma sagt, dass die Reihe kovergiert bzw. divergiert, we die Folge der Partialsumme kovergiert bzw. divergiert. Im Fall S = S R { } { } et ma S de Wert oder die Summe der uedliche Reihe ud schreibt a k = S. Bemerkug 8.2 Die Kovergezsätze für Zahlefolge übertrage sich auf Reihe, da die Kovergez eier Reihe, die Kovergez der Folge der Partialsumme ist. Beispiel 8.3 Die Reihe hat die Partialsumme + 0, + 0, 0 + 0, , = S = ( Diese köe wir güstig ausreche: S ( 0 S = ) S = 0 = + ( 2 ( ) 3 ( ) 0 0) ( ( ) ( S = ) k ( 0 ) k ) 2 (... 0 ) ( 0 ) + S = ( 0 0 ) + ) +. 52

3 8. Geometrische Reihe Damit erhält ma für de Grezwert der Folge der Partialsumme ( S ( ) + ) 0 = = = Damit ist ( 0 ) k = 0 9. Allgemei gilt für die 8. Geometrische Reihe Satz 8.4 Die Reihe q k mit dem allgemeie Glied a k := q k, k N 0 heißt geometrische Reihe. Für die Summe der Reihe gilt, falls q, S = q k =, falls q <, q diverget, falls q. Beweis: Für die Folge der Partialsumme gilt S = q k = + q + q 2 + q q q (q 0), qs = q Deshalb ist q k = q + q 2 + q 3 + q q + S qs = ( q)s = q N+ S = q+ q (q 0, q ). Das Verhalte der Folge der Partialsumme ergibt sich u aus der Kovergez/Divergez vo q+ (siehe Beispiel 7.8 auf Seite 32. Für q = 0 kovergiert die Reihe offesichtlich gege ud für q = ist die Reihe diverget. # 53

4 8 Zahlereihe Beispiel 8.5 Die geometrische Reihe mit q = 2 hat die Reihesumme 3 Beispiel 8.6 Die uedliche Reihe ( 2 3 ) k = ( ) = = 9 ( ) hat die Folge der Partialsumme S = 9 0 ( ud die Reihesumme ist deshalb ) , = = 9 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) = 9 0 = Kovergezkriterie A der geometrische Reihe sehe wir, dass die Reihe ur da kovergiert, we die Partialsumme i jedem Schritt immer weiger wächst. Würde die Zuwächse irgewa kostat bleibe, da würde die Reihe (bestimmt) divergiere. Geauer gilt das folgede otwedige Kovergezkriterium Notwediges Kovergezkriterium Satz 8.7 (Notwediges Kovergezkriterium) Die Glieder eier kovergete Reihe bilde eie Nullfolge. Beweis: Kovergez, d.h. a k = S = S = L ud damit ist a = (S S ) = S S = L L = 0.# Die Folge {S } 0 ud {S + } 0 habe de gleiche Grezwert, da sie ab S idetisch sid. 54

5 8.2 Kovergezkriterie Bemerkug 8.8 Es hadelt sich um ei otwediges Kovergezkriterium, d.h. auch we dieses Kriterium erfüllt ist, muss die Reihe icht kovergiere, ist es aber icht erfüllt, so divergiert die Reihe. Satz 8.9 (Divergez-Test für Reihe) Gilt a 0, da divergiert die Reihe a. =0 Beweis: Das otwedige Kovergezkriterium ist icht erfüllt. # Beispiel 8.0 Die Reihe divergiert, da a! = keie Nullfolge ist:! =0! = 2 3 = 0. Eie adere Möglichkeit eie Reihe auf Kovergez zu utersuche ohe de Grezwert zu bereche, liefert das Itegralkriterium Satz 8. (Itegralkriterium) Ist f (x) auf [m, ), m gazzahlig, positiv ud mooto falled, so habe f () =m gleiches Kovergezverhalte. ud m f (x) dx Im Prizip beruht der Beweis auf der folgede Skizze: 55

6 8 Zahlereihe f(x) ist positiv, stetig ud mooto falled 0,5 X X a k = f(k) k= k= Z f(x)dx X X f(k) = k=2 k=2 a k Itegralkriterium Damit die Skizze richtig ist, muss die Fuktio positiv sei, asoste etspricht des Itegral zwar dem vorzeichebehaftete Flächeihalt, muss aber icht gleich dem Flächeihalt sei. Damit wir problemlos itegriere köe, muss f stetig sei. Weil die Obersumme f (k) größer als die Utersumme vorausgesetzt. Geauer: f (k) = k=2 k= f (k + ) sei muss, wird f als mooto falled k= Beweis: Es gilt f () f (x) f ( + ) für alle x [, + ] ud jede gaze Zahl k m. Nach Itegratio über [, + ] folgt f () + Die Summatio über vo m bis N ergibt N f () =m N+ m f (x) dx f (x) dx f ( + ). N f ( + ) = =m + =m+ Aus dem Mootoie-Kriterium für Zahlefolge ud damit Zahlereihe sowie der Kovergez/Divergez ueigetlicher Itegrale folgt die Behauptug des Satzes.# f (). Beispiel 8.2 Eie hilfreiche Reihe zum Vergleiche ist = { p = koverget, falls p >, diverget, falls 0 < p. Wir werde dies mit dem Itegralkriterium achweise. Für die etsprechede uei- 56

7 8.2 Kovergezkriterie getliche Itegrale gilt: x p dx = A A x p dx = A ( p) x p A = { diverget, 0 < p <, α, p >. Auch im Fall p = ergibt sich x dx = A A x dx = ud das ubestimmte Itegral ist diverget. l A x A = l A = A Vergleichskriterium I Satz 8.3 (Vergleichskriterium I) Besteht für die Reiheglieder die Abschätzug 0 a k b k für k k 0, da gilt Ist die Reihe b k koverget, so ist auch die Reihe a k koverget. Divergiert die Reihe a k =, so divergiert auch die Reihe b k =. Die Folge der Partialsumme ist mooto wachsed, ist sie zusätzlich beschräkt, da kovergiert die Reihe, ist die Folge der Partialsumme bestimmt diverget, da divergiert die Reihe. # Beispiel 8.4 Die Reihe k= si(k 3 +3) 2k 3 +2k+ ist koverget, da (da 2k 3 + 2k + > 2k 3 ) ist ud die Reihe si(k 3 + 3) 2k 3 + 2k + 2k 3, für k wege koverget ist. 2k 3 2k 3 k 2 57

8 8 Zahlereihe Beispiel 8.5 Die Reihe Wie ma leicht sieht gilt k! = +! + 2! + 3! ! = 2, 3! = ,...,! = , d.h. 0 < a k = k! b k = 2 k für k 2. Weil die Reihe b k = k= k= 2 k = 2 k = 2 kovergiert, kovergiert auch die Reihe k! Vergleichskriterium II Satz 8.6 (Vergleichskriterium II) Sid a > 0 ud b > 0 für alle > N, ud existiert der Grezwert a = L b ud ist edlich ud positiv, d.h. 0 < L <, da kovergiere etweder beide Reihe a ud b oder beide Reihe divergiere. = = Beweis: Wege a > 0 ud b > 0 ud a = L b gibt es ei M > 0 mit 0 < a b < L +, für alle > M. 58

9 8.2 Kovergezkriterie Deshalb gilt 0 < a < (L + )b ud aus dem Vergleichskriterium (siehe Satz 8.3) folgt, dass sich aus der Kovergez der Reihe b die Kovergez der Reihe a ergibt bzw. aus der Divergez der Reihe = sich die Divergez der Reihe = b ergibt. = Aalog folge Divergez bzw. Kovergez aus Damit ist der Satz bewiese. Beispiel 8.7 Die verallgemeierte harmoische Reihe = divergiert, da die harmoische Reihe b = a L., a > 0, a, b R, a + b = divergiert. Mit a = a+b ud b = gilt b > 0 ud a > 0 für > b. Weiterhi ist a a+b Deshalb divergiere beide Reihe gleichzeitig. = a + b = = a + b = a > 0. a = Mit Hilfe dieses Kriteriums ka ma komplizierte algebraische Reihe mit der Reihe vergleiche: = p Reihe Vergleichsreihe Ergebis beide Reihe kovergiere = = = = = = = = 3 beide Reihe divergiere beide Reihe kovergiere Beispiel 8.8 Wir utersuche die Reihe = versuche das Vergleichskriterium I bzw. II azuwede. +. Alle Glieder der Reihe sid positiv, wir köe deshalb 59

10 8 Zahlereihe Offesichtlich gilt ud die Reihe = + < ist ach dem Itegralkriterium diverget. Das Vergleichskriterium I liefert keie Aussage, da mit eier divergete Reihe ach obe abgeschätzt wurde. Auch das Vergleichskriterium II ist so icht awedbar, da + = + = 0. Offesichtlich hilft es icht de Bruch aders rum zu schreibe, da da + + = = ud das Vergleichskriterium II auch hierfür keie Aussage liefert. Wir habe mit der falsche Reihe abgeschätzt bzw. vergliche! Damit das Vergleichskriterium I hier fuktioiert müsse wir etweder mit eier kovergete Reihe ach obe oder mit eier divergete Reihe ach ute abschätze. Wege 2 = + > + > 2 schätze wir mit eier divergete Reihe ach ute ab, 2 = < +, = so dass auch die Reihe = + divergiert. Beim Vergleichskriterium II habe wir die falsche Vergleichsreihe gewählt. Bei der Auswahl sollte ma immer die höchste Potez i im Zähler ud Neer wähle ud aschließed de Bruch kürze, bei der vorliegede Reihe geügt es, die höchste Potez im Neer zu wähle ud wir erhalte als Vergleichsreihe die Reihe. Das Vergleichskriterium II = ergibt u Folglich habe die Reihe Reihe = + = + =. + ud das gleiche Kovergezverhalte, d.h. da die divergiert, divergiert auch die Reihe = +. Als Schlussfolgerug aus dem Beispiel ergibt sich: 60

11 8.2 Kovergezkriterie Bemerkug 8.9 Vergleichskriterie ermögliche sowohl Aussage über Kovergez als auch Divergez. Eie sivolle Awedug des Vergleichskriteriums I besteht dari, etweder mit eier kovergete Reihe ach obe oder mit eier divergete Reihe ach ute abzuschätze. Beim Vergleichskriterium II ist es wichtig mit der richtige Reihe zu vergleiche. Die Glieder der Reihe wachse bzw. falle proportioal zu de Glieder der Vergleichsreihe, deshalb ergibt sich auch das gleich Kovergezverhalte, d.h. beide Reihe kovergiere oder divergiere gleichzeitig. Um eie geeigete Vergleichsreihe zu fide, ehme ma die höchste Potez im Zähler bzw. im Neer ud kürze de Bruch aschliessed (siehe auch Tabelle zum Vergleichskriterium II) Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe Satz 8.20 (Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe) Für jede mooto fallede Nullfolge a 0 a a kovergiert die alterierede Reihe ( ) a = a 0 a + a 2 a 3 ±.... =0 Beweis: Wir betrachte die Teilfolge der Folge der Partialsumme {s 2l } ud {s 2l+ }. Da gilt 2l s 2l+ = ( ) a = (a 0 a ) + (a 2 a 3 ) (a 2l a 2l+ ), =0 da a a + ist die Folge {s 2l } mooto wachsed. Adererseits gilt 2l s 2l+ = ( ) a = a 0 (a a 2 ) (a 3 a 4 )... (a 2l a 2l ) a 2l+ a 0 a 2l+ a 0 =0 ud die Folge s 2l+ ist ach obe durch a 0 beschräkt ud kovergiert folglich gege eie Grezwert C. Weiterhi ist 2l s 2l = ( ) k a k = s 2l+ a 2l+. 6

12 8 Zahlereihe Deshalb kovergiert auch die Teilfolge s 2l gege C. Isgesamt kovergiert deshalb die Folge der Partialsumme gege C. # Beispiel 8.2 Die alterierede harmoische Reihe = ( )+ ud es ist = ( )+ = l 2. Beispiel 8.22 Auf die alterierede Reihe ±... = ist das Leibiz-Kriterium icht awedbar, da kovergiert ach dem Leibiz-Kriterium ( ) + ( + ) = a = ( + ) = ( + ) = ( ) + = e 0 ist. D.h. das otwedige Kovergezkriterium ist icht erfüllt ud die Reihe ist folglich diverget. Beispiel 8.23 Auf die alterierede Reihe ± ±... = ( ) + a = mit a 2k = k 3 ud a 2k =, k =, 2,..., k + ist das Leibiz-Kriterium icht awedbar, da wege < für k 2 die Folge der Glieder k 3 k+ (a ) icht mooto falled ist. Beispiel 8.24 Die alterierede Reihe l 2 l 3 + l 4 ±... = = ( ) + l( + ) ist koverget ach dem Leibiz-Kriterium, da die Folge der Glieder (a ) mit a = eie mooto fallede Nullfolge ist. l(+) Cauchy-Kriterium Das Cauchysche Kovergezkriterium macht eie Aussage über Kovergez bzw. Divergez der uedliche Reihe ahad der Glieder der Folge der Partialsumme, es ist icht otwedig die Reihesumme zu bereche. 62

13 8.2 Kovergezkriterie Satz 8.25 (Cauchysches Kovergezkriterium für Reihe) Die Reihe a k ist geau da koverget, we es zu jeder och so kleie Zahl ɛ > 0 eie Idex N(ɛ) gibt, so dass s s m = a m+ + a m a < ɛ für alle m, N(ɛ). Idee des Cauchysche Kovergezkriteriums s ε =0, 4 0 =6 ε =0, 2 0 = 5 ε =0, 0 = Recheregel für kovergete Reihe Satz 8.26 (Recheregel für kovergete Reihe) Für alle c R ud kovergete Reihe a k = a ud b k = b, a, b R, gilt (a k ± b k ) = a ± b ud (c a k ) = ca Welche Umformuge sid i.allg. icht erlaubt? Elemetare Umformuge, die bei edliche Summe de Summewert icht veräder, sid bei uedliche Reihe ( uedliche Summe ) icht ugeschräkt erlaubt!. Es ist i. Allg. icht erlaubt Klammer wegzulasse. Beispiel: Die Reihe a k mit a k = ( ) = 0 ist koverget. Lässt ma aber die Klammer weg, so divergiert die Reihe = b k mit b k = ( ) k. 63

14 8 Zahlereihe 2. Ma darf i. Allg. aber auch keie Klammer setze. Im vorige Beispiel ka ma dadurch aus eier divergete Reihe durch Klammerug eies kovergete Reihe. 3. Eie Umordug der Reiheglieder ist ohe Zusatzvoraussetzuge icht erlaubt. Beispiel 8.27 Wir betrachte das folgede Beispiel: Aber: + l 2 = l 2 = l 2 = Umordug = l 2 Satz 8.28 I eier kovergete Reihe darf ma beliebig Klammer setze: s = a 0 + a + a = (a a k ) + (a k a k2 ) Beweis: Die Partialsumme s = (a a k ) (a k a k ) der geklammerte Reihe bilde eie Teilfolge der kovergete Folge der Partialsumme s ud kovergiere deshalb gege deselbe Grezwert. # 8.3 Absolut kovergete Reihe Defiitio 8.29 Die Reihe a k heißt absolut koverget, we die Reihe der Beträge a k = a 0 + a + a kovergiert. Reihe, die zwar kovergiere, aber icht absolut kovergiere, et ma bedigt koverget. 64

15 8.3 Absolut kovergete Reihe Beispiel 8.30 Die alterierede harmoische Reihe ( ) k+ k k= ist eie bedigt kovergete Reihe, da die Reihe selbst ach dem Leibiz-Kriterium kovergiert, die Reihe der Beträge, d.h. die harmoische Reihe, ist aber diverget. Satz 8.3 (Eigeschafte absolut kovergeter Reihe). Jede absolut kovergete Reihe ist koverget, d.h. kovergiert die Reihe a k so kovergiert auch die Reihe a k. 2. Die Reihe a k ist geau da absolut koverget, we die Folge der Partialsumme beschräkt ist. S := a k = a 0 + a + a a Der Beweis zu. folgt aus dem Cauchysche Kovergezkriterium (siehe Satz 8.25). 2. ergibt sich daraus, dass die Folge der Partialsumme eie mooto wachsede Folge ist. # Die u folgede Kriterie sid die i der Praxis am häufigste agewadte zur Utersuchug vo Reihe. Sie basiere auf der geometrische Reihe Quotietekriterium Ei besoderes ützliches Kriterium ist das Satz 8.32 (Quotietekriterium) Ist a k 0 für alle k k 0 ud kovergiert die Folge der Quotiete Ist a k+ k a k Ist dagege a k+ a k <, da ist die Reihe a k absolut koverget. a k+ k a k >, da ist die Reihe a k diverget., da gilt: 65

16 8 Zahlereihe Bemerkug 8.33 Im Fall = ka ma keie Aussage treffe, die Reihe ka (bedigt) koverget a k+ k a k oder auch diverget sei. Dies ka leicht mit der alterierede harmoische bzw. der harmoische Reihe belegt werde. De es ist k k k + =. Wobei wie bereits gezeigt, die alterierde harmoische Reihe kovergiert, die harmoische Reihe selbst aber divergiert. Beweis: Wir weise die Kovergez ach. Gilt a k+ k a k <, so gibt es eie reelle Zahl q mit 0 < q <, so dass a k+ a k < q für alle k 0 N. Da ka ma aber abschätze: a 0 +k q a 0 +k q 2 a 0 +k 2... q k a 0 ud die Reihe mit dem allgemeie Glied b 0 +k = q k a 0 ist eie kovergete Majorate, da b l = b l + a 0 q l 0 = b l + a 0 q l = b l + a 0 q. l=0 l=0 l= 0 l=0 Nachweis der Divergez: Uter de obige Aahme ist (a ) 0 keie Nullfolge.# Bemerkug 8.34 Aus a 0 +k q k a 0 mit 0 < q < folgt automatisch, dass das otwedige Kovergezkriterium erfüllt ist, da a 0 +k k k qk a 0 = a 0 k qk = 0. Beispiel 8.35 Die Reihe = Beispiel 8.36 Die Reihe + (+)! (+) +2 (+2)! + (+)! l=0 ist ach dem Quotietekriterium diverget, da ( ( + ) +2 ( + )! = ( + 2)! + = + ) ( + ) = e > ! + 4 3! + 8 4! + 6 5! +... = ist ach dem Quotietekriterium koverget, da 2 + (+2)! 2 (+)! =0 2 ( + )! l=0 2 + ( + )! 2 = ( + 2)!2 = + 2 = Wurzelkriterium Aalog ka ma das Wurzelkriterium achweise: 66

17 8.3 Absolut kovergete Reihe Satz 8.37 (Wurzelkriterium) k Ist ak <, da ist die Reihe k a k absolut koverget. k Ist dagege ak >, da ist die Reihe k a k diverget. Bemerkug 8.38 Wie beim Quotietekriterium ka der Fall k k ak =, sowohl für kovergete als auch für divergete Reihe erfüllt sei. I diesem Fall ist also kei Aussage über das Kovergezverhalte möglich. Beweis: Nachweis der Kovergez: Gilt k k ak <, so gibt es eie reelle Zahl q mit 0 < q <, so dass k ak < q a k < q k für alle k 0 N ud damit ist a k a k 0 = a k + 0 k= 0 q k = a k + q 0 0 q k = a k + q 0 0 k= 0 q k 0 a k + q 0 q. Nachweis der Divergez: Uter de obige Aahme ist (a ) 0 keie Nullfolge.# Bemerkug 8.39 Aus a k < q k, 0 < q <, folgt automatisch, dass (a k ) eie Nullfolge ist ud damit das otwedige Kovergezkriterium erfüllt ist. Beispiel 8.40 Die Reihe 3 + ( ) 2 ( ) 3 ( ) = ist ach dem Wurzelkriterium koverget, da ( k= 2 + ) = ( = = 2 <. Beispiel 8.4 ( Die Reihe 2 ) k ( ) 3 + (k 2 ) k ist ach dem Wurzelkriterium diverget, da k (2 ) k ( k 3 + k ) (k 2 ) ) ( ) ( 2 = + ) k = 2 e, 8 >. k 3 k 3 67

18 8 Zahlereihe Cauchy-Produkt ud Umordugssatz Ohe Beweis zwei ur für absolut kovergete Reihe gültige Recheregel: Satz 8.42 (Cauchy-Produkt) Für absolut kovergete Reihe a k ud b k gilt die Produktformel ( ) ( ) ( ) a k b k = a k b k = a 0 b 0 +(a 2 b 0 +a 0 b )+(a 2 b 0 +a b +a 0 b 2 )+.... =0 Satz 8.43 (Umordugssatz) Ist die Reihe a k absolut koverget mit dem Summewert s, da kovergiert jede aus a k durch Umordug der Glieder etstadee Reihe ebefalls gege s. Bemerkug 8.44 Vorgehe bei der Kovergezutersuchug vo Zahlereihe a :. Ist a = 0? We dem icht so ist, da divergiert die Reihe ach dem Divergez-Test (siehe Satz 8.9 auf Seite 55). 2. Ist die Reihe eie spezielle Reihe: geometrische Reihe (siehe Satz 8.4 auf Seite 53), vom Typ (siehe Beispiel 8.2 auf Seite 56) oder alteriered (siehe = p Satz 8.20 auf Seite 6)? 3. Ka das Quotietekriterium (siehe Satz 8.32 auf Seite 65), das Wurzelkriterium (siehe Satz 8.37 auf Seite 67) güstig agewadt werde? 4. Ka die Reihe mit eier spezielle Reihe vergliche werde? (Siehe Vergleichkriterium I, Satz 8.3 auf Seite 57, oder Vergleichskriterium II, Satz 8.6 auf Seite 58, sowie das Beispiel 8.8 auf Seite 59.) =0 68

19 8.3 Absolut kovergete Reihe Beispiel 8.45 Reihe Kriterium Ergebis + Divergez-Test Reihe divergiert 3+ = ( π ) geometrische Reihe q = π < Reihe koverget 6 6 = Vergleichstest II Vergleich mit 3+. = Reihe sid diverget. ( ) ( 3 4+) Leibiz-Kriterium alterierede Reihe, Reihe kovergiert.! 0 Quotietekriterium Für! ist diese Kriterium vorteilhaft. Reihe ist koverget. ( 2+) Wurzelkriterium Reihe ist koverget. = = = = 69

20 8 Zahlereihe Kriterium bzw. Name der Reihe Reihe Bedigug(e) für die Kovergez Bedigug(e) für die Divergez Bemerkuge otwediges Kriterium = a a 0 Nicht zum Nachweis der Kovergez verwedbar geometrische Reihe q < aq q Reihesumme =0 aq a = q =0 = p > p Nützlich beim p Vergleichskriterium Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe ( ) a = 0 < a + a ud a = 0 Nicht gültig für adere Reihe Itegralkriterium (f stetig, positiv ud mooto falled) a, =m a = f () 0 m f (x) dx kovergiert m f (x) dx divergiert Das ueigetliche Itegral kovergiert, we der Grezwert A A m f (x)dx existiert ud edlich ist. Wurzelkriterium a = a < a > Keie Aussage für a = Quotietekriterium a = a+ a < a+ a > Keie Aussage für a+ = a Vergleichskriterium I 0 < a b ud 0 < b a ud (a, b > 0) = a b kovergiert = b divergiert = Vergleichskriterium II (a, b > 0) a > 0, b > 0 a = a 0 < = L < b ud b kovergiert a > 0, b > 0 a 0 < = L < b ud b divergiert Für 0 < L < sid beide Reihe etweder koverget oder diverget = = 70

21 8.3 Absolut kovergete Reihe 7