Flächenberechnung. Aufgabe 1:

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1 Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die zu erechnende Fläche. Ws fällt Ihnen uf?... Lösung: Der Wert der eiden Integrle f ( ) d ist 8 8, zw. -. Beide Integrle geen orientierten Flächeninhlt n. Liegt eine zu erechnende Fläche unterhl der -Achse, erhlten ei der Berechnung des Integrls einen negtiven Wert. D Flächenmßzhlen er nicht negtiv sein können, müssen wir ei der Berechnung von Flächen, die unterhl der -Achse liegen, den Betrg des Integrls nehmen, d.h. A = 8 8 d = - = FE Wir sprechen dnn vom soluten Flächeninhlt. Aufge : Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von ) f() = ) f() = c) f() = d) f() = Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die zu erechnende Fläche. Ws fällt Ihnen uf?... Berechnet mn die Integrle f ( ) d mit Hilfe des. Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung, so erhält mn ei ) und c) den Wert. Der schrffierte Flächeninhlt ist er eindeutig ungleich. Es heen sich die negtiven und positiven Werte ei der Berechnung des Integrls uf, d.h. der orientierte Flächeninhlt knn sein, owohl die Flächenmßzhl größer ls sein muss. Um den soluten Flächeninhlt zu erechnen, müssen wir ds Intervll so unterteilen, dss wir die Beträge von Teilintegrlen ddieren können. Wichtig ist dher zuerst die Ermittlung der Nullstellen der Funktion. Unter: finden Sie ds Progrmm intfl.ee, ds den Unterschied zwischen Integrl und Fläche verdeutlicht. Im L-S, S. 68 finden Sie in den Beispielen und eine usführliche Anleitung zum Them.

2 Aufge : Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgrphen der Funktionen f und g mit f() = und g() = - +,75 und der positiven -Achse. Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die gesuchte Fläche. Welche Besonderheit liegt hier vor und ws edeutet dies für die Rechnung?... Wird die Fläche von mehreren Funktionsgrphen egrenzt, müssen ei der Bildung von Teilintervllen nicht nur Nullstellen, sondern uch Schnittpunkte der Grphen erücksichtigt werden. Lösungshinweise: Nullstellen: f() =,lso:. = g() =,lso:. =,75 Schnittstelle von f und g: f() = g(), lso: = -,5 und =,5 Berücksichtigung der Aufgenstellung ergit, dss die Lösung,5 nicht in Frge kommt.,5 A= d + ( +,75) d,75,5 Aufge 4: ) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgrphen der Funktionen f und g mit f() = und g() = im Intervll [; ]. Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die gesuchte Fläche. Lösungshinweise: Nullstelle von g: = Nullstelle von f: nicht vorhnden, f ist für = nicht definiert (Polstelle) Schnittstelle: f() = g() für = A = d + oerhl der -Achse liegen A = FE d, woei die Betrgsstriche uch entfllen können, d eide Flächen

3 ) Berechnen Sie die Fläche der oigen Funktionen im Intervll [; ], mit R. c) Wie müsste die rechte Grenze gewählt werden, dmit die Flächenmßzhl FE wird? A = = LK-Zustz: d) Welche Mßzhl knn der Flächeninhlt höchstens nnehmen, d.h. wie groß ist der Flächeninhlt, wenn die rechte Grenze unendlich groß wird? A = 5 d + lim ( ( = + lim (- +) = FE Betrgsstriche können entfllen, d die 4 4 Teilflächen lle oerhl der -Achse liegen. Ist eine Integrtionsgrenze unendlich groß, d.h. ildet mn einem uneigentlichen Integrl. lim f ( ) d, spricht mn von e) Welche Mßzhl ht der Flächeninhlt der Fläche zwischen dem Funktionsgrphen von h mit h() = und der -Achse im Intervll [; ]? Für = ist die Funktion h nicht definiert, der. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung ließe sich lso nicht nwenden. Eine Üertrgung der Idee des uneigentlichen Integrls für unendlich große Integrtionsgrenzen führt uf die Idee, den Grenzwertprozess zu Hilfe zu nehmen. Sttt des Grenzwertes müssten wir jetzt llgemein ls untere Grenze einsetzen und dnn gegen gehen lssen. D.h. zuerst wird der Flächeninhlt im Intervll [;4] llgemein erechnet und nschließend der Grenzwertprozess ngewendet.

4 4 A = lim ( d) = lim [4 ] 4 = lim (4 4-4 ) = 8 - lim 4 = 8 FE Die Betrgsstriche können entfllen, d der Funktionsgrph oerhl der -Achse liegt.. f)welche Mßzhl ht der Flächeninhlt der Fläche zwischen dem Funktionsgrphen von f mit f() = und der -Achse im Intervll [; ]? Bei = liegt eine Polstelle, so dss der Funktionswert von f n dieser Stelle nicht eistiert. Auch hier liegt ein uneigentliches Integrl vor, llerdings muss der Grenzwert von -> etrchtet werden: A = lim ( ) d = lim [- - ] = (- lim - (- )) = - + lim nicht, lso lässt sich uch keine Flächenmßzhl ngeen. dieser Grenzwert eistiert Fläche zwischen Funktionsgrphen Aufge 5: ) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgrphen der Funktionen f und g mit f() = und g() = - +,75. Beknnt ist die Fläche zwischen f, g und der positiven -Achse (siehe Aufge ), jetzt soll die von f und g eingeschlossene Fläche erechnet werden. Dzu müssen erst die Schnittpunkte der eiden Funktionen ermittelt werden, indem die Funktionsterme gleichgesetzt werden. Die so ermittelten -Koordinten,5 und,5 ilden die Integrtionsgrenzen. Wir erechnen:,5 A = ( +,75) d - d =,67 FE,5,5,5 ) Berechnen Sie:,5,5 (( +,75) ) d

5 Ws fällt Ihnen uf?... Aufge 6: Zeigen Sie, dss für stetige Funktionen f und g mit f() g() für [;] gilt, dss die Flächenmßzhl A zwischen den Funktionsgrphen von f und g folgendermßen erechnet wird: A = ( f ( ) d und dss die Nullstellen von f oder g nicht erücksichtigt werden müssen. Anwendung des. Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung Aufge 7: Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgrphen von f und g mit f() =,5 + 4 und g() =,5 +. Schnittpunkte ei = - und = Üerprüfen, welche Funktion im Intervll [-;] größer ist 5 A = FE Aufge 8: Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgrphen von f und g mit f() = 7 und g() =. Schnittpunkte für =, = und = - ermitteln Üerprüfen, welche Funktion im Intervll [-;] und [;] jeweils größer ist A = ( g( ) f ( d + ( g( ) f ( d = 6 FE

6 Aufge 9: Berechnen Sie: ( f ( ) d + ( f ( ) d Ws fällt Ihnen uf?... Aufge : Zeigen Sie, dss die Fläche zwischen Funktionsgrphen erechnet wird, indem der Betrg des Integrls der Differenzfunktion zwischen den Schnittstellen erechnet wird A = ( f ( ) d, woei und die Schnittstellen der Funktionen f und g sind Dei ist es unerhelich, o f() > g() üer [;] ist oder f oder g Nullstellen in diesem Intervll hen. A = ( f ( ) d = [F() G()] = F() F() (G() G()) Fllunterscheidung:. f() > g() für [;]: die Betrgsstriche können entfllen. f() < g() für [;]: eim Auflösen der Betrgsstriche muss der Term, der innerhl der Betrgsstriche steht, mit multipliziert werden A = - (F() F() (G() G())) = G() G( (F() F()) = ( g ( ) f ( d