BSZ für Bau- und Oberflächentechnik des Landkreises Zwickau Außenstelle Limbach-Oberfrohna STOCHASTIK

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1 . Ordnen Sie die in den folgenden Bildern dargestellten Wahrscheinlichkeitsfunktionen nach den Erwartungswerten ihrer Zufallsgröße X mit x, 2,, 4, 5 größten Erwartungswert. i. Beginnen Sie mit dem Bild mit dem Man sieht (Deutung als Schwerpunkt aller Säulen): - im Bild rechts oben muss EX = sein. - im Bild links oben muss EX deutlich kleiner als sein - im Bild rechts unten muss gelten EX > - im Bild links unten gilt EX <, aber EX größer als im Bild links oben rechts unten rechts oben links unten links oben 2. Es wird ein Spiel nach den folgenden Regeln gespielt: Der Einsatz pro Spiel beträgt 2. Der Spieler setzt zuerst eine der Zahlen, 2,,..., 6. Anschließend wirft er dreimal einen Würfel. Fällt die gesetzte Zahl nicht, ist der Einsatz verloren. Fällt die gesetzte Zahl einmal, so erhält er seinen Einsatz zurück. Fällt die gesetzte Zahl zweimal, so erhält er den doppelten Einsatz. Fällt die gesetzte Zahl dreimal, so erhält er den dreifachen Einsatz. Eine Zufallsgröße X soll den tatsächlichen Gewinn (Gewinn beim Spiel abzüglich Einsatz) beschreiben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und geben Sie an, ob es sich um ein faires Spiel handelt.

2 x i (in EUR) EX 2 0, 00EUR Es handelt sich um kein faires Spiel, da der Spieler durchschnittlich pro Spielrunde,00 EUR verliert.. In 70% aller Fälle fällt ein beschmiertes Marmeladenbrot auf die belegte Seite. Berechnen Sie die zu erwartende Anzahl an Butterbroten, die auf die belegte Seite fallen, wenn man 4 Brote fallen lässt! x i , 40, 7 0, , 7 0, 40, 7 0, 07, 4 EX,,,,,,,,, Im Mittel sind 2,8 Brote, die auf die belegte Seite fallen zu erwarten. 4. In einer Lostrommel befinden sich drei weiße und 7 schwarze gleich große Kugeln. Man zieht zufällig ohne Zurücklegen eine Kugel nach der anderen. 4. Mit wie viel Zügen ist im Mittel zu rechnen bis die erste weiße Kugel gezogen ist? x i EX 2 8 2, Im Mittel werden 2,75 Züge benötigt.

3 4.2 Nach wie vielen Zügen hat man im Mittel mindestens eine Kugel von jeder Sorte? x i EX 0 2 8, Im Mittel werden,25 Züge benötigt. 5. Eine Firma stellt Teile her, die zu 95 % einwandfrei sind. Die Herstellungskosten betragen 0,- pro Teil. Ist ein Teil nicht einwandfrei, so darf der Kunde es behalten und er bekommt kostenlos ein einwandfreies Teil. Zu welchem Preis muss die Firma ihre Teile anbieten, wenn sie pro Teil einen Gewinn von 0,50 erzielen will. Es sei p der Preis pro Stück x i p-0 p-20 0, 95 0, 05 Die Firma erwartet einen Gewinn von 0,50 pro Stück. (EX ist also mit 0,50 gegeben) p 0 0,95 p 20 0,05 0,50 p 0,50 0,50 p Der Preis pro Stück muss,- betragen. 6. Bei einem Spiel wird ein regelmäßiges Tetraeder (siehe Bild), welches auf den vier Seitenflächen die Augenzahlen bis 4 trägt zweimal geworfen. Der Einsatz je Spielrunde beträgt,-. Fällt keine 2, erhält der Spieler die Augensumme der beiden Würfe in ausbezahlt, fällt mindestens einmal die 2, so muss er zu dem Einsatz noch die Augensumme in bezahlen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen? Ist das Spiel fair?

4 Zahlenpaare Reingewinne in EUR Wahrscheinlichkeiten (,) 2 (,2) 6 (,) 4 (,4) 5 2 (2,) 6 (2,2) 4 7 (2,) 5 8 (2,4) 6 9 (,) 4 (,2) 5 8 (,) 6 (,4) 7 4 (4,) 5 2 (4,2) 6 9 (4,) 7 4 (4,4) 8 5 Man gewinnt in allen Fällen, in denen der Reingewinn positiv ist. P Gewinn 8 2 EX

5 Im Mittel hat man pro Spielrunde einen Verlust von 2,- EUR zu erwarten, d.h. das Spiel ist unfair. 7. Die Tabelle zeigt die Anzahl der Kinder in sächsischen Familien (in 000) auf Grundlage der Angaben des Statistischen Landesamtes für das Jahr 20 Anzahl der Kinder Anzahl der sächsischen Familien (in 000) 26,2 2,4 88,2 22, 4,2 Mit welcher Anzahl von Kindern ist bei der willkürlicher Auswahl einer sächsischen Familie auf der Grundlage der Daten im Mittel zu rechnen? Die Daten beziehen sich auf eine Befragung von n 26,2 2, 4 88,2 22, 4, befragte Familien x i , ,42 0,42 0,0289 0,08 EX 0 0, , ,42 0, ,08 0,8045 Im Mittel sind 0,8045 Kinder zu erwarten.

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