Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen

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1 Die Familie der χ (n)-verteilungen Sind Z 1,..., Z m für m 1 unabhängig identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so genügt die Summe der quadrierten Zufallsvariablen χ := m Z i = Z Z m einer sog. Chi-Quadrat-Verteilung mit m Freiheitsgraden, in Zeichen χ χ (m). Offensichtlich können χ (m)-verteilte Zufallsvariablen nur nichtnegative Werte annehmen, der Träger ist also [0, ). Ist χ χ (m), so gilt E(χ ) = m sowie Var(χ ) = m. Als Abkürzung für α-quantile der χ (m)-verteilung verwenden wir (wie üblich) χ m;α. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 141

2 Grafische Darstellung einiger χ (m)-verteilungen für m {3, 5, 10, 5} f(x) χ (3) χ (5) χ (10) χ (5) x Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 14

3 Tests für die Varianz Für Aussagen über die Varianz von Y (als mittlere quadrierte Abweichung vom Erwartungswert) auf Basis einer einfachen Stichprobe X 1,..., X n zu Y naheliegend: Untersuchung der quadrierten Abweichungen (X 1 µ),..., (X n µ) bei bekanntem Erwartungswert µ = E(Y ) bzw. bei unbekanntem Erwartungswert der quadrierten Abweichungen vom Stichprobenmittelwert (X 1 X ),..., (X n X ). Man kann zeigen: Ist Y N(µ, σ ), so gilt n (X i µ) σ = (X 1 µ) σ (X n µ) σ χ (n) bzw. mit der Abkürzung S := 1 n n (X i µ) für die mittlere quadratische Abweichung vom bekannten Erwartungswert aus der Stichprobe n S σ χ (n). Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 143

4 Hieraus lassen sich analog zu den Tests für den Mittelwert Tests auf Abweichung der Varianz Var(Y ) von einer vorgegebenen Soll-Varianz σ 0 entwickeln: Überschreitet die tatsächliche Varianz von Y die (unter H0 angenommene) Soll-Varianz σ 0, so verschiebt sich die Verteilung der Größe χ := n S σ0 offensichtlich nach rechts. Unterschreitet die tatsächliche Varianz von Y die (unter H0 angenommene) Soll-Varianz σ 0, so verschiebt sich die Verteilung der Größe χ := n S σ0 offensichtlich nach links. Gilt Y N(µ, σ ) und ist der Erwartungswert µ unbekannt, so kann weiter gezeigt werden, dass n (X i X ) σ = (X 1 X ) σ (X n X ) σ χ (n 1) bzw. mit der bekannten Abkürzung S = 1 n 1 n (X i X ) für die Stichprobenvarianz (n 1)S σ χ (n 1) gilt, woraus ebenfalls Tests für die Varianz abgeleitet werden können. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 144

5 Bemerkungen Bei der Konstruktion der kritischen Bereich ist zu beachten, dass die Testgrößen χ = n S σ0 bzw. χ (n 1)S = σ0 nur nichtnegative Wert annehmen können. Durch die fehlende Symmetrie sind viele von Gauß- und t-tests bekannte Vereinfachungen nicht mehr möglich. Insbesondere darf χ m;α nicht durch χ m;1 α ersetzt werden, kann die Berechnung des p-werts im zweiseitigen Test nicht vereinfacht werden. Wichtig! Die Normalverteilungsannahme Y N(µ, σ ) ist für den Chi-Quadrat-Test für die Varianz wesentlich. Weicht die Verteilung von Y deutlich von einer Normalverteilung ab, unterscheidet sich die Verteilung der Testgröße χ (auch unter H 0 für σ = σ 0!) wesentlich von einer χ (n) bzw. χ (n 1)-Verteilung. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 145

6 Quantile der χ -Verteilungen: χ n;p n\p Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 146

7 Zusammenfassung: χ -Test für die Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert Anwendungsvoraussetzungen exakt: Y N(µ, σ ), µ R bekannt, σ R ++ unbekannt X 1,..., X n einfache Stichprobe zu Y Nullhypothese H 0 : σ = σ0 H 0 : σ σ0 H 0 : σ σ0 Gegenhypothese H 1 : σ σ0 H 1 : σ > σ0 H 1 : σ < σ0 Teststatistik χ = n S Verteilung (H 0) Benötigte Größen S = 1 n σ 0 χ (für σ = σ 0) χ (n)-verteilt n (X i µ) Kritischer Bereich [0, χ n; α ) (χ n;1 α, ) [0, χ n;α) zum Niveau α (χ n;1 α, ) p-wert min { F χ (n)(χ ), 1 F χ (n)(χ ) F χ (n)(χ ) 1 F χ (n)(χ ) } Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 147

8 Beispiel: Präzision einer Produktionsanlage Untersuchungsgegenstand: Bei einer Produktionsanlage für Maßbänder soll geprüft werden, ob die Herstellerangabe für die Produktionsgenauigkeit korrekt ist. Laut Hersteller ist die Länge der produzierten Maßbänder normalverteilt mit Erwartungswert 00 [mm] und Varianz σ = 0.1. Der Betreiber der Anlage vermutet eine Abweichung der Präzision. Annahmen: Länge Y N(00, σ ) mit σ unbekannt. Stichprobeninformation: Realisation einer einfachen Stichprobe vom Umfang n = 16 zu Y liefert S = (X i 00) = Gewünschtes Signifikanzniveau: α = 0.10 Geeigneter Test: Zweiseitiger Chi-Quadrat-Test für Varianz bei bekanntem Erwartungswert 1 Hypothesen: H 0 : σ = σ0 = 0.1 gegen H 1 : σ σ0 = 0.1 Teststatistik: χ = n S χ (16), falls H σ0 0 gilt (σ = σ0 ) 3 Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.10: K = [0, χ 16;0.05 ) (χ 16;0.95, ) = [0, 7.96) (6.96, ) 4 Realisierter Wert der Teststatistik: χ = = Entscheidung: χ K H 0 wird abgelehnt; Test kommt zur Entscheidung, dass die Präzision von der Herstellerangabe abweicht. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 148

9 Beispiel: p-wert bei zweiseitigem χ -Test (Grafik) Produktionsmaschinenbeispiel, realisierte Teststatistik χ = , p-wert: f χ (16) (x) p 1 p = = p = χ 16, 0.05 χ 16, 0.5 χ 16, 0.95 χ = x Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 149

10 Zusammenfassung: χ -Test für die Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekanntem Erwartungswert Anwendungsvoraussetzungen exakt: Y N(µ, σ ), µ R unbekannt, σ R ++ unbekannt X 1,..., X n einfache Stichprobe zu Y Nullhypothese H 0 : σ = σ0 H 0 : σ σ0 H 0 : σ σ0 Gegenhypothese H 1 : σ σ0 H 1 : σ > σ0 H 1 : σ < σ0 Teststatistik χ (n 1)S = Verteilung (H 0) χ (für σ = σ0) χ (n 1)-verteilt Benötigte Größen S = 1 ( n n ) (X i X ) n 1 = 1 Xi nx n 1 mit X = 1 n X i n Kritischer Bereich [0, χ n 1; α ) (χ n 1;1 α, ) [0, χ n 1;α) zum Niveau α (χ n 1;1 α, ) p-wert min { F χ (n 1)(χ ), 1 F χ (n 1)(χ ) F χ (n 1)(χ ) 1 F χ (n 1)(χ ) } Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 150 σ 0

11 Beispiel: Präzision einer neuen Abfüllmaschine Untersuchungsgegenstand: Für eine neue Abfüllmaschine wird geprüft, ob sie präziser als die alte Anlage arbeitet. Bei der alten Maschine beträgt die Standardabweichung des Füllgewichts um den eingestellten Wert 5 [g]. Annahmen: Füllgewicht Y N(µ, σ ) mit µ, σ unbekannt. Stichprobeninformation: Realisation einer einfachen Stichprobe vom Umfang n = 0 zu Y liefert Stichprobenmittel x = und mittleres Quadrat x = , damit also s = n n 1 ) (x x = Gewünschtes Signifikanzniveau: α = 0.01 Geeigneter Test: Linksseitiger Chi-Quadrat-Test für Varianz bei unbekanntem Erwartungswert 1 Hypothesen: H 0 : σ σ 0 = 5 gegen H 1 : σ < σ 0 = 5 Teststatistik: χ = (n 1)S χ (19), falls H σ0 0 gilt (σ = σ0 ) 3 Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.01: K = [0, χ 19;0.01 ) = [0, 7.633) 4 Realisierter Wert der Teststatistik: χ = = Entscheidung: χ / K H 0 wird nicht abgelehnt; Test kommt zur Entscheidung, dass es keine ausreichende statistische Evidenz für eine bessere Präzision der neueren Maschine gibt. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 151

12 Beispiel: p-wert bei linksseitigem χ -Test (Grafik) Abfüllmaschinenbeispiel, realisierte Teststatistik χ = 11.45, p-wert: 0.09 f χ (19) (x) p = p = χ 19, 0.01 χ = x Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 15

13 8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1 Chi-Quadrat-Anpassungstest Ziel: Konstruktion eines Tests zur Überprüfung, ob Zufallsvariable Y einer bestimmten Verteilung (oder später allgemeiner: einer bestimmten Verteilungsklasse) folgt, ohne mögliche Verteilungen von Y bereits durch (parametrische) Verteilungsannahme eingrenzen zu müssen. Eine Möglichkeit: Chi-Quadrat-Anpassungstest Grundlegende Idee: Vergleich der empirischen Häufigkeitsverteilung aus der Stichprobenrealisation (X 1,..., X n ) mit den (theoretischen) Wahrscheinlichkeiten der hypothetischen (d.h. unter H 0 angenommenen) Verteilung von Y. Hierzu nötig: Erstellen der empirischen Häufigkeitsverteilung bei diskreter hypothetischer Verteilung mit vielen Trägerpunkten bzw. stetiger hypothetischer Verteilung nach erfolgter Klassierung Berechnen der theoretischen Punkt- bzw. Klassenwahrscheinlichkeiten unter der hypothetischen Verteilung. Offensichtlich: Große Abweichungen der empirischen (in der Stichprobe beobachteten) Häufigkeiten von den theoretischen Wahrscheinlichkeiten sprechen eher gegen die hypothetische Verteilung von Y, kleine Abweichungen eher dafür. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 153

14 8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1 Noch nötig: Geeignete Testgröße zur Zusammenfassung der Abweichungen sowie Verteilungsaussage für die Testgröße bei Gültigkeit von H 0. (X 1,..., X n ) sei (wie immer) eine einfache Stichprobe vom Umfang n zu Y. Bezeichnen k die Anzahl der Ausprägungen bzw. Klassen der empirischen Häufigkeitsverteilung, ni für i {1,..., k} die in der Stichprobe aufgetretenen (absoluten) Häufigkeiten für Ausprägung i bzw. Klasse i, p 0 i die bei Gültigkeit der hypothetischen Verteilung für Y tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten für Ausprägung i bzw. Klasse i, so werden die Abweichungen n i n p0 i (beim Vergleich relativer Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten) bzw. n i npi 0 (beim Vergleich absoluter Häufigkeiten und erwarteter Häufigkeiten) mit der Testgröße χ := n k ( ni n ) p0 i pi 0 = ( k ni npi 0 zusammengefasst. Ist H 0 gültig, so konvergiert die Verteilung von χ mit wachsendem n gegen die χ (k 1)-Verteilung. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 154 np 0 i )

15 8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1 Offensichtlich: Große Werte von χ entstehen bei großen Abweichungen zwischen beobachteten Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten bzw. erwarteten Häufigkeiten und sprechen damit gegen H 0. Sinnvoller kritischer Bereich zum Signifikanzniveau α also (χ k 1;1 α ; ). χ -Anpassungstest ist immer approximativer (näherungsweiser) Test. Vernünftige Näherung der Verteilung von χ (unter H 0 ) durch χ (k 1)-Verteilung kann nur erwartet werden, wenn npi 0 5 für alle i {1,..., k} gilt. Berechnung der pi 0 zur Durchführung des Chi-Quadrat-Anpassungstest je nach Anwendung sehr unterschiedlich: Bei diskreter hypothetischer Verteilung mit endlichem Träger in der Regel (falls npi 0 5 für alle i {1,..., k}) besonders einfach, da keine Klassierung erforderlich ist und sich alle pi 0 direkt als Punktwahrscheinlichkeiten ergeben. Bei diskreter hypothetischer Verteilung mit unendlichem Träger bzw. bei Verletzung der Bedingung npi 0 5 für alle i {1,..., k} Klassierung (trotz diskreter Verteilung) erforderlich, so dass Bedingung erfüllt wird. Bei stetiger hypothetischer Verteilung Klassierung stets erforderlich; Durchführung so, dass Bedingung npi 0 5 für alle i {1,..., k} erfüllt ist. Sobald pi 0 (ggf. nach Klassierung) bestimmt sind, identische Vorgehensweise für alle Verteilungen. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 155

16 8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1 Chi-Quadrat-Anpassungstest zur Anpassung an eine hypothetische Verteilung Hypothesenformulierung z.b. über Verteilungsfunktion F 0 der hypothetischen Verteilung in der Form: H 0 : F Y = F 0 gegen H 1 : F Y F 0 Allgemeine Vorgehensweise: Bilden von k Klassen durch Aufteilen der reellen Zahlen in k Intervalle K 1 = (, a 1 ], K = (a 1, a ],..., K k 1 = (a k, a k 1 ], K k = (a k 1, ) und Berechnen der theoretischen Klassenwahrscheinlichkeiten pi 0 als = F 0 (a k ) F 0 (a k 1 ) mit a 0 := und a k :=, also p 0 i p 0 1 = F 0 (a 1 ) F 0 ( ) = F 0 (a 1 ), p 0 = F 0 (a ) F 0 (a 1 ),. p 0 k 1 = F 0 (a k 1 ) F 0 (a k ), p 0 k = F 0 ( ) F 0 (a k 1 ) = 1 F 0 (a k 1 ). Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 156

17 8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1 Zusammenfassung: Chi-Quadrat-Anpassungstest zur Anpassung an eine vorgegebene Verteilung Anwendungsvoraussetzungen approximativ: Y beliebig verteilt X 1,..., X n einfache Stichprobe zu Y k 1 Klassengrenzen a 1 < a <... < a k 1 vorgegeben Nullhypothese H 0 : F Y = F 0 Gegenhypothese H 1 : F Y F 0 ( k Teststatistik χ (n i npi 0 ) k ni n = = n p0 i np 0 i p 0 i ) = ( 1 n k n i p 0 i Verteilung (H 0) χ ist näherungsweise χ (k 1)-verteilt, falls F Y = F 0 (Näherung nur vernünftig, falls npi 0 5 für i {1,..., k}) Benötigte Größen p 0 i = F 0(a i ) F 0(a i 1 ) mit a 0 :=, a k :=, n i = #{j {1,..., n} x j (a i 1, a i ]}, i {1,..., k} Kritischer Bereich (χ k 1;1 α, ) zum Niveau α p-wert 1 F χ (k 1)(χ ) ) n Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 157

18 8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1 Vereinfachung bei diskreter hypothetischer Verteilung mit k Trägerpunkten Einfachere Notation bei Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests meist möglich, falls hypothetische Verteilung diskret mit k Trägerpunkten a 1,..., a k. Bezeichnet p 0 die Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypothetischen Verteilungen und gilt n p 0 (a i ) 5 für alle i {1,..., k}, so ist keine echte Klassierung erforderlich (1 Trägerpunkt pro Klasse ). Man erhält dann die hypothetischen Punktwahrscheinlichkeiten pi 0 als pi 0 = p 0 (a i ). Hypothesen meist direkt über Vektor der Punktwahrscheinlichkeiten p := (p 1,..., p k ) := (p Y (a 1 ),..., p Y (a k )) in der Form: H 0 : p = (p 1,..., p k ) = (p 0 1,..., p 0 k) =: p 0 gegen H 1 : p p 0 Chi-Quadrat-Anpassungstest kann so auch auf Merkmale angewendet werden, deren Ausprägungen noch nicht Zufallsvariablen-konform durch (reelle) Zahlenwerte ausgedrückt (kodiert) worden sind, beispielsweise bei Wochentagen: a1= Montag, a = Dienstag,... Produktmarken: a1= Automarke A, a = Automarke B,... Monaten: a1= Januar, a = Februar,... Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 158

19 8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1 Beispiel: Verteilung Auftragseingänge auf 5 Wochentage Montag Freitag (diskrete hypothetische Verteilung) Untersuchungsgegenstand: Sind die Auftragseingänge in einem Unternehmen gleichmäßig auf die 5 Arbeitstage Montag Freitag verteilt, d.h, ist der Anteil der Auftragseingänge an jedem Wochentag gleich 0.? [ p 0 = (0., 0., 0., 0., 0.)] Stichprobeninformation: Einfache Stichprobe von 400 Auftragseingängen liefert folgende Verteilung auf Wochentage: Mo Di Mi Do Fr n i Gewünschtes Signifikanzniveau: α = 0.05 Geeigneter Test: Chi-Quadrat-Anpassungstest 1 Hypothesen: H 0 : p = p 0 = (0., 0., 0., 0., 0.) H 1 : p p 0 Teststatistik: k χ (n i npi 0 = ) np 0 ist unter H 0 approximativ χ (k 1)-verteilt; i Näherung vernünftig, falls npi 0 5 für alle i gilt. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 159

20 8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Chi-Quadrat-Anpassungstest Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.05: K = (χ k 1;1 α, + ) = (χ 4;0.95, + ) = (9.488, + ) 4 Berechnung der realisierten Teststatistik: a i n i p 0 i np 0 i (n i np 0 i ) np 0 i Mo Di Mi Do Fr Σ χ = Es gilt npi 0 5 für alle i {1,..., 5} Näherung ok. 5 Entscheidung: χ = (9.488, + ) = K H 0 wird abgelehnt! (p-wert: 1 F χ (4)(χ ) = 1 F χ (4)(1.075) = = ) Test kommt zur Entscheidung, dass die Auftragseingänge nicht gleichmäßig auf alle 5 Arbeitstage (Montag-Freitag) verteilt sind. Schließende Statistik (WS 014/15) Folie 160

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