Allgemeine Relativitätstheorie. Schwarzschildlösung und Anwendung

Transkript

1 Allgemeine Relativitätstheorie Schwarzschildlösung und Anwendung

2 Previously, on... Letztes Mal: Einsteingleichung und die Geodätengleichung Wir werden die Schwarzschild-Lösung der Einsteingleichung im Folgenden plausibel machen.

3 Schwarzschild Metrik Schwarzschild - Metrik Die Motivation der Schwarzschild Metrik ist es, ein Gegenstück zum Newtonschen Zentralpotential in der ART zu finden. Wir fordern eine statische Lösung: Alle Metrik-Komponenten sollen zeitunabhängig sein Keine Ort-Zeit-Mischterme, damit die Metrik zeitinvariant ist Wir fordern eine kugelsymmetrische Lösung: Es genügt Terme ähnlich der Minkwoski-Metrik in Kugelkoordinaten anzusetzen Wir suchen eine Lösung im Vakuum: Die Energie des Vakuums ist null. Damit vereinfacht sich die Einsteingleichung zu Hinweis: Wir werden stets in natürlichen Einheiten mit c = 1 rechnen.

4 Schwarzschild Metrik Setze Lösung ähnlich der Minkwoski-Metrik in Kugelkoordinaten an: Wir setzen die Koeffizienten als Exponentialfunktionen an, damit die Signatur der Metrik erhalten bleibt. 1. Schritt: Koordinatentransformation 2. Schritt: Umbenennung der Koordinaten 3. Schritt: Berechnung der Christoffelsymbole 4. Schritt: Berechnung des Riemann-Tensors 5. Schritt: Berechnung des Ricci-Tensors aus dem Riemann-Tensor 6. Schritt: Einsetzen in die Einstein-Feldgleichung im Vakuum

5 Schwarzschild Metrik 1. Schritt: Koordinatentransformation Damit wird unser Ansatz zu: Dieser Schritt ist nicht äquivalent zum Gleichsetzen der Exponentialfunktion zu 1, denn das wäre eine Aussage über die Metrik.

6 Schwarzschild Metrik 2. Schritt: Benenne Koordinaten um Damit wird unser Ansatz zu Dieser Ansatz ist genauso allgemein wie unser vorheriger Ansatz. Nun sind mithilfe der Einsteingleichung nur zwei Funktionen α und β zu bestimmen.

7 Schwarzschild Metrik 3. Schritt: Berechnung der Christoffelsymbole z.b. 4. Schritt: Berechnung des Riemann-Tensors z.b. 5. Schritt: Berechnung des Ricci-Tensors aus dem Riemann-Tensor z.b.

8 Schwarzschild Metrik 6. Schritt: Einsetzen in die Einstein-Feldgleichung im Vakuum Es gilt: Und damit:

9 Schwarzschild Metrik Betrachte nun Kettenregel Und setze dies ein in unseren alten Ansatz: Damit folgt die Schwarzschild-Metrik: Welche physikalische Bedeutung hat die Integrationskonstante R s?

10 Schwarzschild Metrik Die Integrationskonstante R s bezeichnet den Schwarzschild-Radius. Im newtonschen Grenzfall, also kleine Geschwindigkeiten, für die gilt und kleinen Massen können wir die Metrik als Minkowskimetrik mit kleiner Störung ansetzen. Durch Vergleich der Ergebnisse zeigt sich der obige Zusammenhang.

11 Geodäten der Schwarzschild - Metrik Geodäten der Schwarzschild Metrik Einsetzen der Metrik in die Geodätengleichungen (4 Komponenten) gibt:

12 Geodäten der Schwarzschild - Metrik Geodäten der Schwarzschild Metrik Einsetzen der Metrik in die Geodätengleichungen (4 Komponenten) gibt: Wir gehen einen anderen Weg und berechnen einen Teil der Bewgungsgleichungen über Symmetrien. Zur mathematischen Formulierung dieser Symmetrien verwenden wir Killing-Vektoren. Die eigentliche Bewegungsgleichung für die radiale Richtung soll uns im Folgenden genügen und wird über das Skalarprodukt der Geschwindigkeitsvektoren hergeleitet.

13 Einschub: Killing-Vektoren Killing-Vektoren dienen der Formulierung von Symmetrien. Inifinitesimale Verschiebungen entlang eines Killingvektors lassen die Metrik invariant. Somit gehört zu jedem Killing-Vektor eine Symmetrie. (s. Noether- Theorem) Für solche Killing-Vektoren gilt: Das Ergebnis dieses Ausdrucks ist ein (0, 0)-Tensor und somit eine Invariante.

14 Geodäten der Schwarzschild Metrik Da unser Problem sphärisch symmetrisch ist, setzen wir den Winkel Θ auf π / 2 fest. Nun betrachten wir zwei Killing-Vektoren (Bedeutet: Metrik ist zeitinvariant)

15 Geodäten der Schwarzschild Metrik (Bedeutet: Metrik ist invariant bei solcher Drehung) E und L sind hier zunächst Konstanten. Skalarprodukt:

16 Geodäten der Schwarzschild Metrik Einsetzen in die Gleichung für das Skalarprodukt gibt schlussendlich: mit Das eingeführte γ ist definiert als

17 Geodäten der Schwarzschild Metrik Frage: Gibt es stabile Radien im Potential V(r)? Für zeitartige Geschwindigkeiten gilt ε = 1. Newton ART Damit sind die Lösungen:

18 Geodäten der Schwarzschild Metrik Die beiden Lösungen für die Allgemeine Relativitätstheorie fallen zusammen, wenn der Radikant der analytischen Lösung verschwindet: Damit gilt für alle stabilen Radien:

19 Geodäten der Schwarzschild Metrik Plot des Newtonschen Gravitationspotentials in radialer Richtung Plot des Radialpotentials der Allgemeinen Relativitätstheorie Für den Plot gilt: GM = 1

20 Schwarze Löcher Schwarze Löcher Erinnerung an die Lichtkegel! Hier gilt: Beim Schwarzschildradius r=2gm tritt hier eine Singularität auf. Dies ist lediglich ein Problem der gewählten Koordinaten. Quelle: Sean Carrol, Spacetime and Geometry

21 Schwarze Löcher Aus dem Unendlichen sieht es so aus, als würde sich das Testpartikel immer langsamer auf den Ereignishorizont zu bewegen. Quelle: Sean Carrol, Spacetime and Geometry Die Skizze zeigt einen Sateliten, der immer wieder Signale aussendet. Diese Singularität können wir umgehen, indem wir eine Koordinatentransformation durchführen. Wir werden hier nur das Ergebnis dieser Transformation diskutieren.

22 Schwarze Löcher Quelle: Sean Carrol, Spacetime and Geometry Die Lichtkegel kippen ab. Gut zu sehen ist, dass es innerhalb des Ereignishorizonts keine zukunftsgerichteten Geodäten gibt, die aus dem Innern des Schwarzen Lochs herausführen. Das Schwarze Loch ist somit eine Region der Raumzeit, die durch einen Ereignishorizont vom Rest der Raumzeit getrennt ist.

23 Schwarze Löcher Schwarze Löcher können allerdings noch zwei weitere Eigenschaften tragen: Spin und Ladung. Zur Beschreibung der Auswirkungen dieser Eigenschaften auf die Raumzeit gibt es verschiedene Metriken. Schwarzschild Kerr Reissner-Nordström Kerr-Newman

24 Kosmologische Konstante Kosmologische Konstante Bisher: Newtonsche Mechanik Jetzt: Bewegung wird durch absoluten Wert des Potentials, bzw. durch die Form des Raumes beeinflusst. Zu diesem Zweck benötigen wir eine Vakuumsenergie. Aufteilung des Energie-Impuls-Tensors:

25 Kosmologische Konstante Der Energie-Impuls Tensor des Vakuums soll unter Lorentz-Transformation invariant sein. Der einzige Lorentz-invariante (0,2)-Tensor in lokalen Koordinaten ist die Minkowski-Metrik. Verallgemeinert auf eine belieblige Raumzeit gilt damit: Einsetzen in die Einsteingleichung liefert: Die Kosmologische Konstante kann sowohl als Vakuumsenergie, als auch als Form des Raumes aufgefasst werden.

26 Kosmologische Konstante Spotlight on History: Einstein hat die Konstante eingeführt, da er an einer Beschreibung eines statischen Universums interessiert war. Aus der Rotverschiebung interpretierte Geschwindigkeiten führten zu der Feststellung, dass das Universum nicht statisch ist. Die Konstante wurde unnötig. Da das Universum sich allerdings ausdehnt, wurde die Kosmologische Konstante wieder zur Theorie hinzugefügt. Sie ist heute noch Thema der Forschung.

27 Experimentelle Bestätigung - Merkur Experimentelle Bestätigung Quelle: r_orbit_periheldrehung.png Wir starten mit der bekannten Bewegungsgleichung: Wir lösen die Bewegungsgleichung durch Störungsrechnung: Klassischer Ausdruck! Damit ist die Winkeldifferenz nach einer Umdrehung:

28 Experimentelle Bestätigung - Rotverschiebung Vorüberlegung: Quelle: Sean Carrol, Spacetime and Geometry Es gilt:

29 Experimentelle Bestätigung - Rotverschiebung EEP: Eine lineare Beschleunigung ist nicht von der Wirkung eines Gravitationsfeldes zu unterscheiden. Explizite Berechnung: Quelle: Sean Carrol, Spacetime and Geometry

30 Experimentelle Bestätigung - Rotverschiebung Gleiches Ergebnis erhalten wir mit der Berechnung über die Schwarzschildlösung. Der Geschwindigkeitsvektor eines in seinem Bezugsystem ruhenden Beobachters hat nur in der Zeitkomponente einen von null verschiedenen Wert: Damit ergibt sich die gemessene Energie zu:

31 Experimentelle Bestätigung - Rotverschiebung Da E eine Erhaltungsgröße ist, ergibt sich für ein Photon von r 1 nach r 2 eine Rotverschiebung von: Was genau dem Wert entspricht, den wir durch Anwendung des EEP erhalten haben!

32 Zeitdilatation Zeitdilatation Schwarzschildmetrik Vernachlässige Erddrehung. Damit folgt bei gleichbleibedendem Abstand r. Damit folgt für einen Satelliten in km Höhe:

33 Robertson-Walker-Metrik Robertson-Walker-Metrik Alle bisher besprochenen Metriken beschreiben kein realistisches Universum, für das gelten soll: Raum: homogen und isotrop Zeit: fortschreitend Damit können wir die Raumzeit darstellen als Weiterhin soll die Raumkrümmung aufgrund der Isotropie räumlich konstant sein. Damit folgt die Robertson-Walker-Metrik:

34 Robertson-Walker-Metrik a(t) ist ein dimensionsloser Skalenfaktor. Er ist definiert über den Skalenfaktor: κ definiert die Krümmung. Es gibt drei Möglichkeiten konstanter Krümmung. κ > 0 κ = 0 κ < 0

35 Frage: Wie findet man nun den Skalenfaktor? Friedmann-Gleichungen Antwort: Lösung der Einstein-Feldgleichungen. Diese reduzieren sich auf Differentialgleichungen für den Skalenfaktor. Diese Gleichungen sind die Friedmann-Gleichungen. Die Energieerhaltung wird in diesem Fall zu:

36 Friedmann-Gleichungen Man definiert: Hubble-Konstante und Hubble-Gesetz: (eigentlich zeitabhängig, Aber ändert sich kaum auf menschlichen Skalen ) Dichteparameter:

37 Friedmann-Gleichungen Aus den Gleichungen kann man nun den Skalenfaktor a(t) berechnen: Dichte Stahlung Materie Vakuum Skalenfaktor Die Vakuum-Lösung ist auch bekannt als de- Sitter-Universum. Heute macht ein Materie- oder Strahlungsdominiertes Universum wenig Sinn. Das Vakuum ist somit Hauptenergieliferant.