Was ist RaumZeit? Ohne Gravitation ist die Welt flach. Max Camenzind Akademie Heidelberg November 2014

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1 Was ist RaumZeit? Ohne Gravitation ist die Welt flach Max Camenzind Akademie Heidelberg November 2014

2 Hermann Minkowski führt 1908 den Begriff der RaumZeit ein Metrik, kausale Struktur. Linienelement auf gekrümmten Flächen nach Gauß 2-Sphäre als Prototyp. Theorema Egregium von Gauß. Inhalt Verallgemeinerung auf beliebige n-dimensionale Mannigfaltigkeiten durch Bernhard Riemann im Jahre 1854 erst 1876 publiziert. 1915: Die RaumZeit von Albert Einstein beschreibt die Gravitation mit Gravitation ist die Welt gekrümmt.

3 Hermann Minkowski Mathematiker war Einsteins Lehrer ETH ging 1907 nach Göttingen 1908 Minkowski zur SR:»Ach, der Einstein? Der schwänzte doch immer die Vorlesungen dem hätte ich das gar nicht zugetraut.«einstein:»überflüssige Gelehrsamkeit«

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5 Aus dem Vorwort Der Vortrag über Raum und Zeit, den Hermann Minkowski auf der Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte zu Köln gehalten hat, bildet die letzte seiner genialen Schöpfungen. Leider ist es ihm nicht beschieden gewesen, den feineren Ausbau seines kühnen Entwurfs einer Mechanik, in welcher die Zeit den drei Dimensionen des Raumes koordiniert ist, zu vollenden. Denn ein tragisches Geschick hat den als Mensch und Forscher gleich geschätzten Verfasser auf der Höhe seines Lebens und Schaffens am 12. Januar d. J. der Wissenschaft, seinen Lieben und Freunden jäh entrissen. Halle a. S., den 20. Februar 1909 A. Gutzner

6 Hermann Minkowski: Raum und Zeit Ich respektiere aber noch das Dogma, daß Raum und Zeit je eine unabhängige Bedeutung haben. Ich will einen Raumpunkt zu einem Zeitpunkt, d. i. ein Wertsystem x,y,z,t einen Weltpunkt nennen. Die Mannigfaltigkeit aller denkbaren Wertsysteme x,y,z,t soll die Welt heißen. Ich könnte mit kühner Kreide vier Weltachsen auf die Tafel werfen. Schon eine gezeichnete Achse besteht aus lauter schwingenden Molekülen und macht zudem die Reise der Erde im All mit, gibt also bereits genug zu abstrahieren auf; die mit der Anzahl 4 verbundene etwas größere Abstraktion tut dem Mathematiker nicht wehe. Um nirgends eine gähnende Leere zu lassen, wollen wir uns vorstellen, daß aller Orten und zu jeder Zeit etwas Wahrnehmbares vorhanden ist. Um nicht Materie oder Elektrizität zu sagen, will ich für dieses Etwas das Wort Substanz brauchen. Wir richten unsere Aufmerksamkeit auf den im Weltpunkt x,y,z,t vorhandenen substantiellen Punkt und stellen uns vor, wir sind imstande, diesen substantiellen Punkt zu jeder anderen Zeit wieder zu erkennen. Einem Zeitelement dt mögen die Änderungen dx,dy,dz der Raumkoordinaten dieses substantiellen Punktes entsprechen.

7 Hermann Minkowski: Raum und Zeit Wir erhalten alsdann als Bild sozusagen für den ewigen Lebenslauf des substantiellen Punktes eine Kurve in der Welt, eine Weltlinie, deren Punkte sich eindeutig auf den Parameter t von bis + beziehen lassen. Die ganze Welt erscheint aufgelöst in solche Weltlinien, und ich möchte sogleich vorwegnehmen, daß meiner Meinung nach die physikalischen Gesetze ihren vollkommensten Ausdruck als Wechselbeziehungen unter diesen Weltlinien finden dürften.

8 Hermann Minkowski: Weltlinie x µ (l) = (ct(l),x(l),y(l),z(l)) µ = 0,1,2,3

9 Länge einer euklidischen Kurve ist invarinat unter Rotationen ds² = dx² + dy² + dz²

10 Länge einer Weltlinie ist invariant unter Lorentz-Transformationen ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² = c²dt ² - dx ² - dy ² - dz ²

11 Die in einem beliebigen Weltpunkte vorhandene Substanz kann stets bei geeigneter Festsetzung von Raum und Zeit als ruhend aufgefaßt werden. Das Axiom bedeutet, daß in jedem Weltpunkte stets der Ausdruck F = c²dt² - dx² - dy² - dz² positiv ausfällt oder, was damit gleichbedeutend ist, daß jede Geschwindigkeit v stets kleiner als c ausfällt. Es würde danach für alle substantiellen Geschwindigkeiten c als obere Grenze bestehen und hierin eben die tiefere Bedeutung der Größe c liegen. In dieser anderen Fassung hat das Axiom beim ersten Eindruck etwas Mißfälliges. Es ist aber zu bedenken, daß nun eine modifizierte Mechanik Platz greifen wird, in der die Quadratwurzel aus jener Differentialverbindung zweiten Grades eingeht, so daß Fälle mit Überlichtgeschwindigkeit nur mehr eine Rolle spielen werden, etwa wie in der Geometrie Figuren mit imaginären Koordinaten.

12 Der Mensch ist ein 4-dim. Wesen

13 Durch das Weltpostulat wird eine gleichartige Behandlung der vier Bestimmungsstücke x,y,z,t möglich. Dadurch gewinnen, wie ich jetzt ausführen will, die Formen, unter denen die physikalischen Gesetze sich abspielen, an Verständlichkeit. Vor allem erlangt der Begriff der Beschleunigung ein scharf hervortretendes Gepräge. Ich werde mich einer geometrischen Ausdrucksweise bedienen, die sich sofort darbietet, indem man im Tripel x,y,z stillschweigend von z abstrahiert. Einen beliebigen Weltpunkt O denke ich zum Raum-Zeit- Nullpunkt gemacht. Der Kegel Fig. 2 c2t2 x2 y2 z2=0 mit O als Spitze (Fig. 2) besteht aus zwei Teilen, einem mit Werten t<0, einem anderen mit Werten t>0. Der erste, der Vorkegel von O, besteht, sagen wir, aus allen Weltpunkten, die Licht nach O senden, der zweite, der Nachkegel von O, aus allen Weltpunkten, die Licht von O empfangen.

14 Kausale Struktur der RaumZeit Moderne Sprechweise Zeitartig Lichtartig, Null Raumartig 3-Raum In jedem Ereignis ist ein Lichtkegel definiert, der die RaumZeit aufteilt.

15 Nennen wir in Analogie zum Vektorbegriff im Raume jetzt eine gerichtete Strecke in der Mannigfaltigkeit der x,y,z,t einen Vektor, so haben wir zu unterscheiden zwischen den zeitartigen Vektoren mit Richtungen von O nach der Schale +F=1, t >0 und den raumartigen Vektoren mit Richtungen von O nach F=1. Die Zeitachse kann jedem Vektor der ersten Art parallel laufen. Ein jeder Weltpunkt zwischen Vorkegel und Nachkegel von O kann durch das Bezugsystem als gleichzeitig mit O, aber ebensogut auch als früher als O oder als später als O eingerichtet werden. Jeder Weltpunkt diesseits O ist notwendig stets früher, jeder Weltpunkt jenseits O notwendig stets später als O. Dem Grenzübergang zu c= würde ein völliges Zusammenklappen des keilförmigen Einschnittes zwischen den Kegeln in die ebene Mannigfaltigkeit t = 0 entsprechen. In den gezeichneten Figuren ist dieser Einschnitt absichtlich mit verschiedener Breite angelegt.

16 1915 Einsteins Grund-Idee: Gravitation ist keine Kraft, Gravitation ist Geometrie der 4-dimensionalen RaumZeit Μεδεις αγεωμέτρητος εισιτω μον τήν στήγων. Let none ignorant of geometry enter my door. Legendary inscription over the door of Plato s Academy

17 Raffael: Die Schule von Athen, Alles ist Geometrie, Vatikan / Camenzind

18 Flächentheorie von Gauß Göttingen Carl Friedrich Gauß, Fürst der Mathematik,

19 Fläche in E³ ist Mannigfaltigkeit Abbildung Fläche: (u,v) (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) Frage: Wie misst man Abstände? Wie sehen Geodäten aus? Wie berechne ich Fläche?

20 Fläche in E³ (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) (u,v)

21 Beisp.: Kleinsche Flasche entsteht durch Parametrisierung

22 Kleinsche Flasche nicht-orientierbare Fläche

23 Flächen werden in Computergrafik eingesetzt

24 Zentrale Frage: Wie messe ich den Abstand zwischen 2 Punkten auf dem Globus?

25 Messen auf der Kugelfläche S² rdq Sphäre mit Radius r Winkel df (Rektaszension) Großkreise Winkel q (Deklination) r sin(q) df Nach Pythagoras: ds² = r² dq² + r²sin²q df² ds² = g 11 dq² + g 22 df² Metrische Funktionen: g 11 = r², g 22 = r²sin²q

26 Winkelsumme > 180 Grad

27 1. Fundamentalform einer Fläche = induzierte Metrik g ik der Fläche ds² = E du² + 2F du dv + G dv² (nach Gauß) = g 11 (u,v) du² + 2 g 12 (u,v) du dv + g 22 (u,v) dv² Länge einer Flächenkurve Geodäten auf einer Fläche Inhalt einer Fläche Winkel zwischen Tangenten

28 Großkreise sind die Geodäten auf 2-Sphäre

29 Geodäten auf Bulls Horn

30 Krümmung von Flächen

31 Gauß: Krümmung von Flächen Haupt- Krümmungs- Ebenen Normale Gauß-Krümmung: K = 1/(R 1 R 2 ) = R Tangenten- Ebene R 1,R 2 : Krümmungsradien

32 Gauß-Krümmung von Flächen Gauß-Krümmung

33 Theorema Egregium Während Gauß in den Jahren 1821 bis 1825 das Königreich Hannover vermessen hatte, vermutete er, dass sich die Krümmung der Erdoberfläche allein durch die Längen- und Winkelmessung bestimmen lässt. Tatsächlich brauchte Gauß noch einige Zeit, um diese Aussage zu beweisen. Auch war sein Beweis alles andere als unkompliziert und einfach. Aus diesem Grunde bezeichnete er den Satz als egregium Theorema, hervorragend wichtigen Lehrsatz. Die Gaußsche Krümmung K hängt lediglich von den Koeffizienten der Matrix g ik (u,v) der ersten Fundamentalform und deren ersten und zweiten Ableitungen ab.

34 3-Sphäre mit Radius R in E 4 Fläche: x 0 ² + x 1 ² + x 2 ² + x 3 ² = R²

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36 Kindheit Bernhard Riemann wurde 17. September 1826 in Breselenz bei Dannenberg geboren. Sein Vater war dort Pastor. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Vortrag Johanneum Lüneburg 2006

37 Studium und Mathematik Göttingen Carl Friedrich Gauß, Fürst der Mathematik,

38 Studium und Mathematik Berlin Steiner Jacobi Dirichlet dieser folgt 1855 Gauß nach, ihm folgt 1859 Riemann auf den Lehrstuhl in Göttingen

39 Die von Herrn Riemann eingereichte Schrift legt ein bündiges Zeugniß ab von den gründlichen und tief eindringenden Studien des Verf. in demjenigen Gebiete, welchem der darin behandelte Gegenstand angehört; von einem strebsamen ächt mathematischen Forschungsgeiste, und von einer rühmlichen productiven Selbstthätigkeit. Der Vortrag ist umsichtig und concis, theilweise selbst elegant: der größte Theil der Leser möchte indeß wohl in einigen Theilen noch eine größere Durchsichtigkeit der Anordnung wünschen. Das Ganze ist eine gediegene werthvolle Arbeit, das Maaß der Anforderungen, welche man gewöhnlich an Probeschriften zur Erlangung der Doctorwürde stellt, nicht bloß erfüllend, sondern weit überragend. Das Examen in der Mathematik werde ich übernehmen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Vortrag Johanneum Lüneburg 2006 Gauss schreibt das Gutachten für Riemanns Dissertation

40 Weg zur Mannigfaltigkeit Wissenschaftliche Arbeiten bei Gauß Dissertation 1851 Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Größe Habilitationsschrift 1853 Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe ein halbes Jahr vor Gauß Tod Habilitationsvortrag 1854 Die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Erfindung der Riemannschen Mannigfaltigkeiten. absolut genial! Erst 1876 in den gesammelten Werken publiziert.

41 Der Begriff der Mannigfaltigkeit geht auf Bernhard Riemann zurück. In seinem Habilitationsvortrag Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, den er 1854 unter anderem vor Carl Friedrich Gauß hielt, führte er den Begriff der Mannigfaltigkeiten ein. Er spricht von discreten und stetigen Mannigfaltigkeiten, die n-fach ausgedehnt sind, beschränkt sich zu dieser Zeit also auf Gebilde, die in den R n eingebettet sind. Auf diesen Mannigfaltigkeiten kann man Winkel und Abstände messen. In späteren Arbeiten entwickelte er die riemannschen Flächen, die wahrscheinlich die ersten abstrakten Mannigfaltigkeiten waren. Mannigfaltigkeiten werden zur Abgrenzung manchmal abstrakt genannt, um auszudrücken, dass sie keine Teilmengen des euklidischen Raums sind, sondern eigenständige Gebilde.

42 Die Riemannsche Mannigfaltigkeit Um auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit von Längen, Abständen, Winkeln und Volumen zu sprechen, benötigt man eine zusätzliche Struktur. Eine Riemannsche Metrik g (auch Metrischer Tensor genannt) definiert im Tangentialraum jedes Punktes der Mannigfaltigkeit ein Skalarprodukt. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer riemannschen Metrik heißt Riemannsche Mannigfaltigkeit. Durch die Skalarprodukte sind zunächst Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren definiert, davon ausgehend dann auch Längen von Kurven und Abstände zwischen Punkten auf der Mannigfaltigkeit, sowie Geodäten als die kürzeste Verbindung zwischen 2 Pt.

43 Die Sphäre S² ist eine 2-dimensionale Riemann-Mannigfaltigkeit sie kann durch 2-dimensionale Karten dargestellt.

44 2-Torus ist eine Riemann- Mannigfaltigkeit

45 Flächen in E n sind Mannigfaltigkeiten. Umgekehrt: Ist jede Mannigfaltigkeit als Fläche in einem E n einbettbar? Versuchen Sie, es rauszufinden!

46 Affine Struktur der Kugel Tangentenebenen in verschiedenen Punkten haben a priori nichts miteinenander zu tun. Zur Deckung gebracht durch Rotation 2 Rotationsmatrizen A Dies definiert affinen Zusammenhang: V(x+n) = V(x) + A n V(x)

47 Transport von Vektoren längs Kurven Parallelverschiebung Transport von Vektoren soll metrisch sein Winkel zwischen 2 Vektoren ändert sich nicht! Sonst hätte man Torsion.

48 Effekt der Krümmung auf Transport von Vektoren auf Kugel, Vektoren werden gedreht Winkel a Maß der Krümmung

49 Riemann Krümmung V E 2 E 1 TV Riemann: 6 Rotationsmatrizen TV a = R a bcd Vb [E 1 c E2 d ] ab, cd = 01, 02, 03, 12, 13, 23

50 Mannigfaltigkeiten mit konstanter Krümmung positive Krümmung Krümmung null negative Krümmung

51 Gravitation RaumZeit = Riemann lokal Minkowski ds 2 n g dx i dx j ij i, j 0 Ein Riemannscher Raum ist eine Punktmenge, auf der man messen kann. Minkowski: ein Punkt (t,x,y,z) = Ereignis, n=4. g ij ist der Metrische Tensor (symm. Tensor 2. Stufe) : 10 Funktionen für den 4-dimensionalen Raum Dim = 4, n = 4 Vorschrift, den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen. Aus metrischem Tensor folgen Riemann und Ricci Tensoren. Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.

52 Ex1: RaumZeit eines Sterns Sonne, Erde, Neutronensterne, SL Symmetrie lässt nur 2 Funktionen frei: F(r): Gravitationspotenzial B(r): Krümmung des 3-Raumes B(r) > 1: Volumen größer als Euklidisch (r,f)-fläche

53 Gravitation krümmt den Raum Lichtablenkung an Sonne

54 RaumZeit Sternkollaps Core eines massereichen Sterns kollabiert auf SLoch Minkowski RaumZeit

55 Ex2: Expandierendes Universum Heutige Weltmodelle Streckung der Minkowski RaumZeit a(t) : Expansionsfaktor Streckung des 3-Raumes k = 1, 0, -1 : Krümmungstyp des 3-Raumes

56 Kausale Struktur der RaumZeit ds 2 = 0 lokale Lichtkegel gekrümmt In jedem Weltpunkt sind die Lichtkegel lokal wie Minkowski, können jedoch gedreht sein. Dies ist eine Konsequenz des Einsteinschen Äquivalenz- Prinzips.