Diskrete Signalverarbeitung und diskrete Systeme

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Max Schreiber
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1 Diskrete Signalverarbeitung und diskrete Systeme Computer- basierte Verarbeitung von Signalen und Realisierung von Systemverhalten erfordern diskrete Signale und diskrete Systembeschreibungen. Wegen der ausgerei?en Theorie für analoge Signale und Systeme finden Systementwicklungen dennoch vorwiegend im Analogen stae. Auch gibt es für die meisten grundlegenden analogen Zusammenhänge genau entsprechende diskrete Zusammenhänge. Allerdings gibt es auch zahlreiche diskrete Verfahren zur Signalverarbeitung, die heurisjsch, ohne fundierte Theorie, angewendet werden. Beispiel: 1! 2! 1! GläEungsoperator! = mit Gewichten 2! 3! 2!!&! & ' ' ' ' ) 1! 2! 1! KonJnuierliche Signalübertragung: Diskrete Faltung Alle Signale mit Abtastwerten beschrieben: ' & = gt) = ht)! st)!!& * +'),& = ' *!& * +'),& + ' '!& * +'),& ) &= ) &= ) Daraus folgt für die Abtastwerte nach einigen SchriEen) für T=1 und unter der Voraussetzung bandbegrenzter Signale :! =! &'& Diskrete Faltung &=! Schreibweise dafür auch: gn) = hn) sn) Für kausale Systeme ist die Impulsantwort = 0 für t < 0. Dann gilt:! =! &'& &=! Die diskrete Faltung ist die Grundlage für die computerbasierte Berechnung von Systemverhalten! 2 1

Lokale 0peratoren Bildverarbeitung realisiert Faltung häufig mit lokalen Operatoren. Erzeuge ein neues Bild g ˆ mn, indem ein linearer, lokaler Operator f auf alle Pixel eines Bildes angewandt wird:!

2 Lokale 0peratoren Bildverarbeitung realisiert Faltung häufig mit lokalen Operatoren. Erzeuge ein neues Bild g ˆ mn, indem ein linearer, lokaler Operator f auf alle Pixel eines Bildes angewandt wird:! = &' ) * )+++), -&&&&&&&& ) * )+++),!. /0 Beispiel für Stützfläche eines lokalen Operators ij D ij mn Die Pixelindizes i, j können in von 1 abweichenden SchriEen inkremenjert werden. Unter welchen Voraussetzungen ist diese OperaJon eine Faltung? 3 Beispiel: Kontrastverschärfung Bildintensitäten werden durch lokalen Operator mit 3x3 Stützfläche an Kanten verstärkt!!!!!!!! Unscharfes Maskieren = SubtrakJon eines unscharfen Bildes! =! &'& ) ) *' 4 Diese Technik wurde früher?) häufig analog realisiert. 2

3 Behandlung von Störungen Rauschen) Abweichungen von einem idealen Bildsignal werden häufig mit addijvem Rauschen modelliert: = + Typische Eigenscha?en: MiEelwert 0, Varianz σ 2 > 0 örtlich unkorreliert: E[ r ij r mn ] = 0 für ij mn zeitlich unkorreliert: E[ r ij,t1 r ij,t2 ] = 0 für t1 t2 E[x] ist Erwartungswert von x Gauss- Wahrscheinlichkeitsdichte:! =! & ' & &! & Rauschen entsteht durch einzelne Ladungsträger Schrotrauschen), elektromagnejsche Einkopplung, thermische Molekularbewegungen und andere Phänomene. Neben addijvem Rauschen gibt es mehrere andere Rauschmodelle. 5 Prinzip: GläEung durch MiEelung Zwei grundsätzliche Wege zum AusmiEeln von Rauschen: - Zeitliches MiEeln, falls mehrere Proben g ij,t desselben Pixels zu verschiedenen Zeitpunkten t = 1... T zur Verfügung stehen -! =! & ProbenmiEelwert nähert sich MiEelwert der Verteilung an = Örtliches MiEeln, falls g mn g ij für alle Pixel g mn in einem Bereich um g ij Wie effekjv ist das MiEeln von Grauwerten?! =! ist Zufallsvariable, Varianz hängt von K ab =!! MiEelwert =!! & = ' &=!!! &' =! ' =! ' & ' ) &' = ' &! )= ' ) = )' )= Varianz Beispiel: Um die Standardabweichung zu halbieren, müssen 4 Werte gemieelt werden 6 3

Einfache GläEungsoperaJonen 1. MiEelung! = &'& ) )!*' D ist Region um g ij Beispiel einer 3 x 3 Region D ij 2. BeseiJgung von Ausreißern! =! & ''')&&''' *+! &!' &, &!' g ij 3. Gewichtetes MiEeln! =!&! & ' ' w k = Gewichte in D ' ' ) S ist Schwellenwert Beispiel von Gewichten in 3 x 3 Region!

4 Einfache GläEungsoperaJonen 1. MiEelung! = &'& ) )!*' D ist Region um g ij Beispiel einer 3 x 3 Region D ij 2. BeseiJgung von Ausreißern! =! & ''')&&''' *+! &!' &, &!' g ij 3. Gewichtetes MiEeln! =!&! & ' ' w k = Gewichte in D ' ' ) S ist Schwellenwert Beispiel von Gewichten in 3 x 3 Region!!!! All dies sind heurisjsche OperaJonen ohne die theorejschen Fundamente von INF- N2! 7 Anwendung auf Bilder Zweidimensionale Diskrete Fourier- TransformaJon DFT) Diskrete Fourier- TransformaJon:! =! &! ' & )*,!-./ )=+ *=+ für u = 0... M- 1, v = 0... N- 1 NotaJon: G uv = F{ g mn } g mn = F - 1 { G uv } Die TransformaJon basiert auf der Periodizitätsannahme: ) +* Inverse Diskrete Fourier- TransformaJon: +!* )!* & 0! = &', -./ &= '= für m = 0... M- 1, n = 0... N- 1 & + +' ) 0 => Periodische Fortsetzung kann Randeffekte bewirken 8 4

gebraucht werden => ~MN log 2 MN) OperaJonen. Dasselbe Beispiel braucht nur 0.000021 sek. DekomposiJonsprinzip für die 1D- Fourier- TransformaJon: &! =! &=' &!)*! = *! ' & )!*+*& + '* & )!

5 Beispiel eines Amplitudenspektrums 9 Schnelle Fourier- TransformaJon Normale DFT braucht ~MN) 2 OperaJonen für ein M x N Bild. Beispiel: M = N = 1024, sek/operajon => 1,1 sek FFT Fast Fourier Transform) basiert auf einer rekursiven DekomposiJon von g mn in Subsequenzen => parjelle Resultate können mehrfach gebraucht werden => ~MN log 2 MN) OperaJonen. Dasselbe Beispiel braucht nur sek. DekomposiJonsprinzip für die 1D- Fourier- TransformaJon: &! =! &=' &!)*! = *! ' & )!*+*& + '* & )!*+'*&+ ' &=, & ) { g 1) n } = { g 2n } { g n } = { g 2) n = 0.. N/2-1 n } = { g 2n+1 } * r = 0... N- 1 G r = G r 1) + e!2j r N G r 2) G r+n 2 = G r 1)! e!2j r N G r 2) r = 0... N/2-1 Alle G r können in 2N/2) 2 anstelle von N) 2 OperaJonen berechnet werden! 10 5

6 Diskrete Faltung mithilfe der FFT Faltung kann durch TransformaJon in den Frequenzraum mit der FFT insgesamt effizienter ausgeführt werden! +* )*!! =! &, -& MN) 2 OperaJonen erforderlich =' &=' Anwendung der FFT and Filtern im Frequenzraum: FFT H g mn G uv FFT uv G - 1 uv g mn MN logmn) MN MN logmn) der OperaJonen Beispiel mit M = N = 512: normale Faltung braucht ~ OperaJonen Faltung mithilfe der FFT braucht ~10 7 OperaJonen 11 6

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