Grundlagen. Kapitel Mengen

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1 Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Mengen Grundobjekte mathematischer Theorien sind Mengen. Zwar stellt man sich darunter Gesamtheiten von gewissen Dingen (den Elementen der Menge) vor, doch führt die uneingeschränkte Zusammenfassung von Objekten unseres Denkens (wie es der Begründer der Mengenlehre, G. Cantor, formulierte) zu Mengen auf logische Paradoxien, z. B. die sogenannte Russellsche Antinomie, die bei Zulassung der Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten, entsteht. Deshalb muss man gelegentlich zwischen Mengen und Unmengen, den sogenannten echten Klassen, unterscheiden. In elementaren mathematischen Theorien wie der linearen Algebra hat es sich jedoch als unproblematisch erwiesen, auf diese Unterscheidung zu verzichten. An derartigen mengentheoretischen Problemen Interessierte mögen das ausgezeichnete Buch Naive Mengenlehre von P. Halmos zu Rate ziehen. Zur Vereinfachung der schriftlichen Formulierung mathematischer Aussagen benutzt man Logische Symbole. und oder nicht = impliziert ist äquivalent zu (gleichbedeutend mit), für alle, es gibt Ausdrücke der Form A := B bzw. A : B bedeuten, daß die linke Seite durch die rechte definiert wird, wobei im ersten Fall A und B Terme (meist Mengen) sind, im zweiten Fall hingegen Aussagen. Mengen werden üblicherweise beschrieben durch Angabe ihrer Elemente, sei es durch konkrete Aufzählung oder durch Bedingungen, die diese Elemente charakterisieren: A = {x E(x)} steht für A ist die Menge aller Elemente mit der Eigenschaft E. 1

2 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Definition. (Element und Teilmengenbeziehung) Wir schreiben x A, falls x Element der Menge A ist, und x / A sonst. A B bedeutet, daß A eine Teilmenge von B ist, also jedes Element von A auch zu B gehört: A B : x (x A = x B). Ist zusätzlich A von B verschieden, so nennen wir A eine echte Teilmenge von B und schreiben A B. Definitionsgemäß gilt A = B A B und B A Notation. (Spezielle Mengen) Ø leere Menge (enthält kein Element) N Menge der natürlichen Zahlen ab 1 : {1, 2,...} Z Menge der ganzen Zahlen : {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Q Menge der rationalen Zahlen (Brüche) : { z n z Z, n N} = { z n z, n Z, n 0} R Menge der reellen Zahlen (unendlichen Dezimalbrüche) C Menge der komplexen Zahlen : {a + ib a, b R} N k Menge der ganzen Zahlen k : {k, k+1,...} k Menge der ganzen Zahlen n mit 1 n k : {1, 2,... k} (insbesondere 0 = Ø) Für eine beliebige Menge A bezeichne A die Menge A \ {0} Bemerkung. Es gilt N = N 1 N 0 Z Q R C. Wir verzichten auf eine axiomatische Einführung dieser Mengen und der bekannten Relationen < (kleiner), (kleiner oder gleich), > (größer), (größer oder gleich) Definition. (Reelle Intervalle) [ a) := {x R a x} rechter abgeschlossener Strahl ] a) := {x R a < x} rechter offener Strahl (b ] := {x R x b} linker abgeschlossener Strahl (b [ := {x R x < b} linker offener Strahl [ a, b ]:= {x R a x b} abgeschlossenes beschränktes Intervall ] a, b [:= {x R a < x < b} offenes beschränktes Intervall [ a, b [:= {x R a x < b} rechts halboffenes beschränktes Intervall ] a, b ]:= {x R a < x b} links halboffenes beschränktes Intervall Oft bezeichnet man auch die ganze reelle Gerade R als Intervall Definition. (Mengenoperationen) A B := {x x A oder x B} (Vereinigung von A und B) A B := {x x A und x B} (Durchschnitt von A und B) A \ B := {x x A und x / B} (Komplement von B in A)

3 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 3 A und B sind disjunkt, falls A B = Ø Bemerkungen. Es seien A, B, C beliebige Mengen. (1) Zerlegungsgesetze: A = (A B) (A \ B) und A B ist die Vereinigung der disjunkten Mengen A B, A \ B und B \ A. (2) Assoziativgesetze: A (B C) = (A B) C und A (B C) = (A B) C. (3) Kommutativgesetze: A B = B A und A B = B A. Hingegen ist A \ B = B \ A nur für A = B richtig. (4) Distributivgesetze: A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C). (5) Komplementgesetze oder de Morgansche Regeln: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) und A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) Beispiele. Durchschnitte und Vereinigungen von Intervallen [ a, b ] = [ a) (b ], ] a, b [ = ] a) (b [, [ a, b [ = [ a) (b [, ] a, b ] = ] a) (b ], a < b < c = [ a, b ] [ b, c ] = [ a, b [ [ b, c ] = [ a, b ] ] b, c ] = [ a, c ]. Im Falle a > b ist jedes der Intervalle [ a, b ], ] a, b [, [ a, b [ und ] a, b ] leer! Definition. Die Potenzmenge P(M) einer Menge M besteht aus allen Teilmengen von M: P(M) := {B B M}. Ein Mengensystem auf M ist eine Teilmenge X von P(M). X := {x es gibt ein B X mit x B} = {x B X (x B)} heißt Vereinigung von X, und falls X = Ø, so heißt X := {x für alle B X gilt x B} = {x B X (x B)} Durchschnitt von X. Konvention: Ist eine feste Grundmenge M vorgegeben, so setzt man Ø := M (eventuell genauer M Ø := M).

4 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Bemerkungen. Für beliebige Mengen A, M und Mengensysteme X P(M) gelten: (1) die unendlichen Distributivgesetze: A X = {A B B X } und A X = {A B B X }, (2) die unendlichen Komplementgesetze (oder de Morganschen Regeln): Beachten Sie: A \ X = {A \ B B X } und A \ X = {A \ B B X }. A B = {A, B} und A B = {A, B}. Als schreibtechnische Vereinfachung setzt man analog A B C = {A, B, C}, A B C = {A, B, C} etc Definition. Das geordnete Paar (a, b) ist definiert als die Menge {{a}, {a, b}}. Das n Tupel (a 1,..., a n ) wird induktiv definiert durch (a 1 ) := a 1, (a 1,..., a n ) := ((a 1,..., a n 1 ), a n ) (n > 1). Für beliebige Mengen A 1,..., A n heißt A 1 A 2... A n = {(a 1,..., a n ) a i A i, i n} das kartesische Produkt von A 1,..., A n. Speziell: A B = {(a, b) a A, b B}. Ist A 1 = A 2 =... A n, so schreibt man A n für das n-fache kartesische Produkt A 1 A 2... A n Bemerkungen. (1) Die konkrete Definition von Paaren und n Tupeln spielt im folgenden keine Rolle. Wichtig ist jedoch, daß zwei n Tupel (a 1,..., a n ) und (b 1,..., b n ) genau dann gleich sind, wenn sie in jeder Koordinate übereinstimmen, d. h. a 1 = b 1,..., a n = b n. (2) Interpretiert man R als reelle Gerade, so entspricht das Produkt R 2 = R R der Ebene und das dreifache Produkt R 3 = R R R dem dreidimensionalen Raum. (3) Analog kann man Produkte von Intervallen bilden und erhält dann im zweidimensionalen Fall Rechtecke bzw. im dreidimensionalen Fall Quader. (4) Es gilt stets und (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ) = (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ) (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) aber hier steht fast immer eine echte Inklusion! (5) Es gilt beinahe (bis auf etwas abweichende Klammerungen) das Assoziativgesetz A 1 (A 2 A 3 ) = (A 1 A 2 ) A 3, aber nicht das Kommutativgesetz! Falls Ø A 1 A 2 Ø, so ist A 1 A 2 A 2 A 1.

5 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Relationen Definition. Eine Relation zwischen (Elementen von) A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A B. Wir schreiben a R b für (a, b) R und sagen in diesem Fall: a steht in Relation (R) zu b oder zwischen a und b besteht die Relation R. R 1 := {(b, a) a R b} heißt die zu R duale Relation oder Umkehrrelation zu R. Offenbar ist (R 1 ) 1 = R. Die Verknüpfung zweier Relationen R und S ist gegeben durch R S := SR := {(a, c) Es gibt ein b mit asb und brc} Rechenregeln. (Relationenverknüpfung) R (S T ) = (R S) T R (S T ) = (R S) (R T ), (R S) T = (R T ) (S T ) R (S T ) (R S) (R T ), (R S) T (R T ) (S T ) (R S) 1 = S 1 R 1 (R S) 1 = R 1 S 1 (R S) 1 = R 1 S 1 R S = R T S T, T R T S Definition. Eine Relation R auf A ist eine Teilmenge von A A. Solch eine Relation R heißt (r) reflexiv, falls a R a (s) symmetrisch, falls a R b = b R a (t) transitiv, falls a R b und b R c = a R c (a) antisymmetrisch, falls a R b und b R a = a = b (k) konnex oder total, falls a R b oder b R a für alle a, b, c A gilt. Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißt Äquivalenz(relation) und wird häufig mit, oder bezeichnet. Eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation heißt (Halb )Ordnung und wird meist mit oder bezeichnet. Ein kleinstes Element (bzw. größtes Element ) einer Menge B bezüglich einer Relation R ist ein eindeutiges a B mit a R b (bzw. b R a) für alle b B. Eine Wohlordnung ist eine Relation R auf A, so daß jede nichtleere Teilmenge B von A ein kleinstes Element hat Satz. (Totale Ordnungen) Eine Relation R ist genau dann eine totale Ordnung auf A, wenn jede nichtleere Teilmenge von A mit höchstens drei Elementen ein kleinstes Element bezüglich R hat. Insbesondere ist jede Wohlordnung eine totale Ordnung.

6 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Beispiele. ist eine Wohlordnung auf jeder Teilmenge von N 0, speziell also auf jeder der Mengen N k. Ohne axiomatische Einführung der natürlichen Zahlen und der Ordnung können wir dies allerdings nicht beweisen. Auf Z, Q und R ist eine totale Ordnung, aber keine Wohlordnung. Für m, n Z gilt: m n k N 0 (m + k = n) Definition. Für k, n Z nennt man k einen Teiler von n bzw. n ein Vielfaches von k, in Zeichen k n, falls ein z Z mit k z = n existiert. Weiterhin setzt man m k n und sagt, m sei kongruent n modulo k, falls k ein Teiler von m n ist, also m und n bei Division durch k den gleichen Rest übrig lassen. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p > 1, die nur 1 und p als positive Teiler hat Beispiele. Relation r s t a k Äquivalenz Ordnung totale Ordnung Wohlordnung = auf N auf N + auf N < auf N + + auf N auf Z + + k auf Z Die Wohlgeordnetheit der Mengen N k (siehe 1.2.5) erweist sich als äquivalent zu folgendem Satz. (Prinzip der vollständigen Induktion) Sei M eine Menge und k N 0 derart, daß jedes n N k mit m M für alle kleineren m N k ebenfalls in M liegt. Dann ist N k eine Teilmenge von M Bemerkung. (Praktische Durchführung der vollständigen Induktion) Um eine Aussage A(m) für alle n N k zu beweisen, genügt es, aus der Annahme, daß A(m) für alle m N k mit m < n richtig ist, zu folgern, daß auch A(n) gilt. Achtung: Zunächst muss A(k) nachgeprüft werden (Induktionsanfang). Meist ist k = 0 oder 1. Meist benutzt man den Schluss von n auf n+1 : Gilt A(k) und folgt aus A(n) stets auch A(n+1), so ist A(n) für alle n aus N k richtig. Eine Anwendung der vollständigen Induktion ist z. B. der folgende Satz. (Fundamentalsatz der Zahlentheorie) Jede von 0 und 1 verschiedene natürliche Zahl ist als Produkt von Primzahlen darstellbar, und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

7 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Funktionen und Abbildungen Anschaulich werden durch eine Abbildung gewissen Elementen einer Menge solche einer anderen (oder der gleichen) Menge zugeordnet. Mathematisch präziser ist folgende Definition. Eine Funktion von A nach B (oder von A in B) ist eine Relation F A B, so daß zu jedem a A genau ein b B mit a F b existiert. Dieses eindeutig bestimmte b wird mit F (a) bezeichnet; man sagt, F bildet a auf b ab, und nennt b das Bild von a unter F. Umgekehrt nennt man a ein (!) Urbild von b unter F. Schreibweise: F : A B, a b. Es sind also gleichbedeutend: (a, b) F, a F b, F (a) = b, F : a b. Das Tripel (A, F, B) bezeichnet man als Abbildung mit Definitionsbereich A und dem Ziel B. (Vielfach wird nicht zwischen Funktionen und Abbildungen unterschieden.) Für X A heißt F + (X) := {F (x) x X} Bild(menge) von X unter F. Sind keine Missverständnisse zu befürchten, schreibt man auch F (X) statt F + (X). Für Y B heißt andererseits F (Y ) := {x A F (x) Y } Urbild(menge) von Y unter F. Üblich ist auch die Schreibweise F 1 (Y ), im Einklang mit der Definition der Umkehrrelation F 1. Diese ist aber im allgemeinen keine Funktion! F heißt injektiv, falls aus F (a) = F (a ) stets a = a folgt. Im Falle F + (A) = B nennt man F eine surjektive Funktion von A nach B oder kurz eine Funktion von A auf B. Eine zugleich injektive und surjektive Funktion heißt bijektiv. Entsprechend definiert man injektive, surjektive und bijektive Abbildungen. (Beachten Sie, dass man über Surjektivität nur entscheiden kann, wenn man das Ziel kennt!) Lemma. Für jede Funktion F : A B sowie beliebige Mengensysteme X P(A) und Y P(B) gilt: F + ( X ) = {F + (X) X X }, F ( Y) = {F (Y ) Y Y}, F + ( X ) {F + (X) X X }, F ( Y) = {F (Y ) Y Y}. Für injektives F gilt in der dritten Beziehung die Gleichheit, sonst im allgemeinen nicht Lemma. Es sei F eine Funktion von A nach B. (1) F ist injektiv jedes Element von B hat höchstens ein Urbild unter F. (2) F ist surjektiv jedes Element von B hat mindestens ein Urbild unter F. (3) F ist bijektiv jedes Element von B hat genau ein Urbild unter F. (4) F ist injektiv F 1 ist eine Funktion (von F (A) nach A). (5) F ist bijektiv F 1 ist eine Funktion von B nach A Lemma. Ist F eine Abbildung von A nach B und G eine Abbildung von B nach C, so ist die verknüpfte Abbildung oder Komposition G F : A C gegeben durch G F (a) = G(F (a)). Ist F : A B und G : B C injektiv (bzw. surjektiv bzw. bijektiv), so auch G F.

8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Bemerkung. Nach gilt stets H (G F ) = (H G) F. Aber im allgemeinen ist F G G F : Beispielsweise erhält man für F : R R, x x + 1 und G : R R, x x 2 : F (G(x)) = F G(x) = x 2 +1, aber G(F (x)) = G F (x) = x 2 +2x+1, also F G(1) G F (1) Definition. Für eine beliebige Menge A heißt die Relation A := id A := 1 A = {(a, a) a A} = {(a, b) A A a = b} Diagonale oder Identität oder Gleichheitsrelation auf A Lemma. id A ist eine Funktion mit id A (a) = a. Für Funktionen F : A B gilt: F id A = F = id B F Definition. Ist A : I B eine Abbildung, so schreibt man gelegentlich A i statt A(i) und nennt A eine (durch I indizierte) Familie, die auch mit (A i i I) oder (A i ) i I bezeichnet wird. In diesem Fall heißt A i := { F : I {A i i I} F i A i für jedes i I} i I die Menge der Auswahlfunktionen von (A i i I). Ist (A i i I) eine Familie von Mengen mit A i = A für jedes i I, so ist A I := i I A i die Menge der Abbildungen von I nach A (nicht umgekehrt!). Eine Abbildung F : N k A (d. h. ein Element von A N k) heißt Folge in A. Meist starten Folgen bei 0 oder 1, haben also den Definitionsbereich N 0 oder N Bemerkungen. (1) A n ist die Menge der Abbildungen F von n = {1, 2,..., n} nach A. Da eine solche Abbildung durch ihr Bildtupel (F 1, F 2,..., F n ) eindeutig festgelegt ist, identifiziert man F mit (F 1, F 2,..., F n ) A n. Umgekehrt bestimmt jedes solche n Tupel genau eine Abbildung F : n A. Die Menge A n ist also im wesentlichen das gleiche wie A n. (2) Eine Folge (F n n N 0 ) ist eindeutig festgelegt, wenn die Anfangswerte F 0,..., F k 1 bekannt sind und jedes F n mit n N k mit Hilfe der F m für m < n definiert bzw. berechenbar ist ( rekursive Definition oder Definition mittels vollständiger Induktion ) Beispiele. (1) Die Fakultät n! ist definiert durch 0! := 1, n! := (n 1)! n (n > 0). (2) Die Fibonacci Folge (F n ) ist definiert durch F 0 := 1, F 1 := 1, F n := F n 1 + F n 2 (n > 1).

9 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 9 Für viele mathematische Beweise benötigt man das anschaulich einleuchtende Auswahlaxiom. Zu jeder Familie nichtleerer Mengen gibt es eine Auswahlfunktion: A i Ø für alle i I = i I A i Ø Satz. Sei A eine nichtleere Menge. Eine Funktion F : A B ist (1) injektiv es existiert eine Funktion G : B A mit G F = id A F 1 F = id A, (2) surjektiv es existiert eine Funktion G : B A mit F G = id B F F 1 = id B, (3) bijektiv es existiert eine Funktion G : B A mit G F = id A, F G = id B F 1 F = id A und F F 1 = id B Definition. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, falls eine Bijektion zwischen ihnen existiert. Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu einem n mit n N 0 gleichmächtig ist. Zu N 0 gleichmächtige Mengen heißen abzählbar unendlich. Eine Menge A heißt abzählbar, wenn eine Surjektion von N 0 auf A existiert Bemerkungen. (1) Mit A oder card A oder A bezeichnet man die Anzahl der Elemente einer Menge A, genannt Kardinalität oder Mächtigkeit der Menge. Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit ein wohlbekannter Begriff. (2) A = bedeutet A ist unendlich, d. h. zu keinem n gleichmächtig. (3) Genaueres über Mächtigkeiten unendlicher Mengen lernt man in der Mengenlehre, z. B. ist N = Z = Q R = C. das heißt, N ist gleichmächtig zu Z und zu Q, aber nicht zu R, während R zu C gleichmächtig ist Satz. (Mächtigkeitsformeln) Für endliche Mengen A, B gilt: (1) A und B sind gleichmächtig A = B. (2) A + B = (A B) + (A B). (3) (A B) = A B. (4) (A B ) = A B Satz. (Selbstabbildungen endlicher Mengen) Für jede Abbildung F : E E einer endlichen Menge E in sich gilt: F injektiv F surjektiv F bijektiv.

10 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Definition. Eine Partition oder Zerlegung einer Menge A ist ein Mengensystem Z nichtleerer Teilmengen von A, so daß jedes Element von A zu genau einer der Mengen aus Z gehört. Ist eine Äquivalenzrelation auf A, so bezeichnet a := [a] := [a] := {b A a b} die Äquivalenzklasse von a (bzgl. ). Die Menge all dieser Äquivalenzklassen wird mit A/ bezeichnet Satz. (Äquivalenzrelationen und Partitionen) (1) Für jede Äquivalenzrelation auf A ist A/ eine Partition Z. (2) Für eine Partition Z von A sei F (a) derjenige Block Z Z, der a enthält. Dann ist F : A Z eine surjektive Abbildung mit Z = {F ({Z}) Z Z}. (3) Für jede surjektive Abbildung F : A B definiert a a : F (a) = F (a ) eine Äquivalenzrelation auf A mit A/ = {F ({b}) b B}. Äquivalenzrelation (3) (1) Abbildung Partition (2) Folgerung. Folgende Aussagen über ein Mengensystem Z P(A) sind äquivalent: (a) Z ist eine Partition von A, d. h. Z = A und für X, Y Z gilt X Y Ø X = Y. (b) Es gibt (genau) eine Äquivalenzrelation auf A mit Z = A/. (c) Es gibt eine surjektive Abbildung F : A B mit Z = {F 1 [{b}] b B}. Äquivalenzrelationen und Partitionen entsprechen einander also bijektiv Definition. Ist eine (totale) Ordnung auf A, so bezeichnet man das Paar (A, ) als (total) geordnete Menge. Ein Element b A heißt minimales Element (bzw. maximales Element) von A, falls es kein von b verschiedenes a A mit a b (bzw. b a) gibt Bemerkungen. (1) Ein größtes Element ist stets maximal, aber nicht umgekehrt. Beispielsweise ist jede Menge A größtes Element der durch geordneten Potenzmenge P(A),

11 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 11 und für a A ist A \ {a} maximales, aber kein größtes Element von P(A) \ {A}, falls A mehr als ein Element hat. (2) Bei totalen Ordnungen ist jedoch ein maximales Element bereits das größte Element. (3) Größte bzw. kleinste Elemente sind im Gegensatz zu maximalen bzw. minimalen Elementen eindeutig bestimmt. (4) N hat genau ein minimales, aber kein maximales Element Satz. Jede nichtleere endliche geordnete Menge hat mindestens ein maximales Element und ein minimales Element. Insbesondere hat jede nichtleere endliche total geordnete Menge ein größtes Element und ein kleinstes Element. Im Unendlichen braucht man für einige Existenzaussagen der linearen Algebra und andere Bereiche der Mathematik das folgende Maximalprinzip, das sich mit Hilfe des Auswahlaxioms beweisen läßt: Satz. (Maximalprinzip oder Zornsches Lemma) Ist X ein Mengensystem, so daß zu jedem durch die Teilmengenrelation total geordneten Mengensystem Y X ein X X mit Y X existiert, so besitzt X mindestens ein bezüglich der Relation maximales Element.