Leitprogramm Bruchterme

Transkript

1 Leitprogramm Jede Stunde werden die Lernziele mit Angaben der zu machenden festgelegt. Jede Gruppe arbeitet selbständig in ihrem eigenen Tempo, die einzelnen SuS unterstützen sich gegenseitig. Bei Problemen und Fragen bitte Frau Ryser fragen Zur Kontrolle: Die Lösungen sind auf der letzten Seite. Jede Lösung kontrollieren! Wer die Lernziele in der Lektion nicht erreicht, erledigt den Rest zu Hause. Es muss von einer Stunde auf die nächste repetiert werden. Test am:?

2 Lernziele und Du kannst Polynome faktorisieren (Wiederholung). Du kannst das kgv und den ggt von Polynomen bestimmen. Repetition: Faktorisieren 1. Ausklammern 2. Ausklammern in Teilsummen 3. Binome 4. Pseudobinome Wiederholungsübungen: Faktorisiere vollständig! Buch S : Nr. 203b / 227 b / 239c / 245c/ 257c kgv und ggt Um das kgv und den ggt zweier Polynome berechnen zu können, werden die Polynome zuerst in ihre Primfaktoren zerlegt (d.h. vollständig faktorisiert). Für das kgv nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten. Für den ggt verwendet man alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlen vorkommen, mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz. Beispiel: Bestimme ggt und kgv von d 2 9, d 3, d 2 9d + 18 Primfaktorzerlegung d 2 9 = (d + 3)(d 3) d 3 = d 3 d 2 9d + 18 = (d 6)(d - 3) kgv = (d + 3)(d 3)(d 6) ggt = d 3 Buch S. 94/95 : Nr. 1, 3,5, 7, 11 danach die Aufgaben, die noch nicht einfach erscheinen

3 Lernziele Am Ende der beiden Lektionen solltest du folgende Fragen beantworten können: Was sind? Wieso ist der Definitionsbereich eines s eingeschränkt? Wie kann ich das Aussehen eines s verändern, ohne dessen Wert zu verändern? Definitionsbereich Ein Term ist ein Rechenausdruck mit Zahlen und Variablen. Bsp.: x 2 7 / a(a b) Ein Quotient zweier Terme heisst Bruchterm. Der Term oberhalb des Bruchstriches heisst Zähler und der Term unterhalb Nenner. Bsp.: 3 x / 2 x 3 x / 1 ( a b) 2 Da wir von Quotienten sprechen, müssen wir darauf achten, dass wir keine Division durch Null ausführen. Also müssen wir den Definitionsbereich eines s einschränken: Wir müssen verhindern, dass der Nenner des s Null werden kann: D = R \ {Menge der Nullstellen des s}. Beispiele: x 2 x 1 3 x ( x 2)( x 1) x 0 D = R \ {0} x 1 0 x 1 D = R \ {1} (x + 2)(x 1) 0 x 1 2, x 2 = 1 D = R \ {- 2, 1} Buch S : Nr. 59a / 75b/ 78c/ 85a

4 Erweitern und Kürzen Die Dir vom Rechnen mit Brüchen bekannten Operationen Erweitern und Kürzen lassen sich auch auf übertragen. Ein Bruchterm wird mit einem Term T erweitert, indem sowohl Zähler als auch Nenner mit T multipliziert werden: x 1 T x x ( 1) 2 T( 2 x). Ein Bruchterm wird mit einem Term T gekürzt, indem sowohl Zähler als auch Nenner durch T dividiert werden: T ( x 1) T( 2 x) x 1. 2 x Der Wert des s wird durch Kürzen bzw. Erweitern nicht verändert. Kürzen bzw. Erweitern ist also eine Aequivalenzumformung. Buch S : Nr. 13, 15, 19, 23, 43, 31, 35

5 Lernziele mit unterschiedlichem Nenner können trotzdem denselben Wert haben! Vertiefen von Erweitern und Kürzen Kennenlernen des Hauptnenners Hauptnenner / gleichnamig machen mit gleichem Nenner heissen gleichnamig/gleichnennrig. Ungleichnamige lassen sich durch Erweitern gleichnamig machen: 1. Faktorisiere alle Nenner so weit wie möglich. 2. Suche das kgv all dieser Faktoren 3. Das kgv wird nun der neue Nenner aller Brüche. 4. Erweitere die Zähler entsprechend. Den so bestimmten gemeinsamen Nenner nennt man Hauptnenner. Buch S.98: Nr. 45, 53, 54 Zusatzübung: Bestimme die fehlenden Zähler und Nenner: a) 11x 7 5x 3 = x b) z 2 12z 1 = 5z c) 7s t = 4s 3 8s... 2 d) 6s 2 (2x)... = 3 123x e) 16s s 9 = 2t 2 98s... 2

6 Lernziele Addition von n Alles hat mit Faktorisieren zu tun! Die Subtraktion ist eigentlich eine Addition Resultate werden vollständig gekürzt Nenner faktorisiert stehen lassen In Summen kürzen nur die Dummen Das Rechnen mit n verläuft ebenso wie das Rechnen mit Brüchen. 1. Addition / Subtraktion Addiere: Was hast Du gemacht? : Berechne ebenso: Buch S. 99 Nr. 55, 57, 59 65, 67 : Buch S : Nr. 70, 73, 75, 79, 81

7 Lernziele vom Multiplikation von n Alles hat mit Faktorisieren zu tun! Die Multiplikation ist einfacher als die Addition Resultate werden vollständig gekürzt Nenner faktorisiert stehen lassen In Summen kürzen nur die Dummen Multiplikation: Multipliziere: = = Beschreibe den Vorgang: Berechne ebenso: Buch S. 102 Nr. 92, 95, 98, 100 : Buch S. 103: Nr. 105, 109, 111

8 Lernziele vom Division von n Die Division ist eigentlich eine Multiplikation Alles hat mit Faktorisieren zu tun! Resultate werden vollständig gekürzt Nenner faktorisiert stehen lassen In Summen kürzen nur die Dummen Division Führe folgende Division aus: 4 10 : 6 27 = Beschreibe den Vorgang: Berechne ebenso: Buch S. 104 Nr. 119, 122 Buch S : Nr. 127, 130, 132

9 Lernziele vom Doppelbruchterme: Division von n Die Division ist eigentlich eine Multiplikation Alles hat mit Faktorisieren zu tun! Resultate werden vollständig gekürzt Nenner faktorisiert stehen lassen In Summen kürzen nur die Dummen Lektion 1 Buch S : Nr. 76a / 78d / 84b / 112b / 113 / 135c / 139a Lektion 2 Doppelbrüche Ein Bruchterm, in dessen Zähler und Nenner wieder auftreten, heisst Doppelbruch. Damit klar erkenntlich ist, was Zähler und was Nenner ist, muss der Hauptbruchstrich deutlich länger sein als die Nebenbruchstriche. Ein Doppelbruch ist nichts anderes als eine Division eines s durch einen anderen Bruchterm, wie unter der Division beschrieben. Nimm ein Zahlenbeispiel und überlege Dir, wie Du einen Doppelbruch auflösen kannst: Buch S. 106: Nr. 143 / 145d / 147c / 148c / 150a, b, c / 152

10 Vermischte Aufgaben Buch S : Nr. 85a / 86a / 112c / 139b / 141 /142a / 156 Buch S : Nr. 157a / 158b / 161a / 164a / 167