Labor RT Versuch RT1-1. Versuchsvorbereitung. Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitag. FB: EuI, FH Darmstadt. Darmstadt, den

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1 Labor RT Versuch RT- Versuchsvorbereitung FB: EuI, Darmstadt, den Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5

2 Zu 4.Versuchvorbereitung 4. a.) Zeichnen des Bode-Diagramms und der Ortskurve Bodediagramm: Amplitudengang - Amplitude in [db] Kreisfrequenz in [rad/s] Phasengang -5 Phase in [rad] Kreisfrequenz in [rad/s] Nyquist-Ortskurve:. Nyquist-Ortskurve Imaginärteil (F(jw)) Realteil (F(jw)) Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5

3 b.) Die Differentialgleichung erhält man, indem man für jw s ersetzt sowie Zähler und Nenner ausmultipliziert. Anschließend wird die Übertragungsfunktion in den Zeitbereich transferiert, indem für jedes s ein d/dt ersetzt wird. 4. Der Frequenzgang besitzt die folgenden Zeitkonstanten: /Ti, Ti s /TZ, TZ 5 s /TZ TZ s /TN TZ, s /TZ TZ,5 s Es folgt daraus das Bode-Diagramm: 5 Amplitudengang Amplitude in [db] Kreisfrequenz in [rad/s] 5 Phasengang Phase in [rad] Kreisfrequenz in [rad/s] Der Phasengang geht dabei davon aus, dass alle Pole- und Nullstellen des Systems minimalphasig sind (alle Zeitkonstanten sind positiv, das System ist stabil und besitzt keine Allpassnullstellen). Der Amplitudengang des Systems ändert sich nicht, jedoch fügt das Totzeitglied eine linear mit der Frequenz wachsende Phase hinzu. 4.3 Das Steuerglied muss die Übertragungsfunktion F ( jω ) jω 4s + jω s + enthalten, damit die Zeitkonstante TN4s gekürzt und durch TNs ersetzt werden kann. Man erhält dann genau den gewünschten Frequenzgang. Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5

4 4.4 Berechnung der Antwort auf einen Sprung mit 3-facher Amplitude 45 Antwort der Parallelschaltung aus Aufgabe 4.4 auf einen 3*sigma(t)-Sprung Amplitude Zeit in [s] Das System besitzt Allpassverhalten, denn anfangs geht der Systemausgang in die falsche Richtung. Offensichtlich sorgt F anfangs aufgrund des negativen Vorzeichens für einen schnellen, negativen Ausgang, bevorder Integrator F schließlich die Oberhand gewinnt und das Ausgangsignal auf die positive Seite zieht, während F aufgrund seines D-Verhaltens für große Zeiten t keinen Beitrag mehr liefert. Wie hätte das Anfangsverhalten erkennen können? Grenzwertsätze der Laplacetransformation können hier helfen, aber auch ein Gefühl für die einzelnen Übertragungsglieder. Das I- Glied wird im ersten Moment kein Ausgangssignal liefern, es ist nicht sprungfähig. Das DT- Glied dagegen ist (siehe Sprungantwort in Tabelle) sprungfähig. Da dessen Signal in der Parallelschaltung subtrahiert wird, ist davon auszugehen, dass das Ausgangssignal des Gesamtsystems zuerst ins Negative geht, bevor das I-Glied mit zunehmender Zeit dominant wird. 4.5 Die Übertragungsfunktion des Regelkreises lautet gemäß Formel für die Kreisschaltung: a.) F( jω),5 jω + jω + ( ) ( ) K p K p b.) Durch Koeffizientenvergleich mit der Standardform des PT-Gliedes erhält man: d!!, sowie 5 K p ω K p ω Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5

5 Der aperiodische Grenzfall liegt bei d vor. Einsetzen dieses Wertes und Eliminieren von ω liefert: K p Für Kp-Werte größer als ½ sinkt die Dämpfung und der Kreis wird schwingfähig, für Kp- Werte kleiner als ½ steigt die Dämpfung über und man erhält aperiodisches Einschwingverhalten. c.) Die gewünschte Dämpfung von d, erhält man für ein K p von,5. Die Antwort auf das Eingangssignal x e (t) *σ(t) stellt sich wie folgt dar: 3.5 Antwort auf doppelten Einheitssprung bei d, (Kp,5) 3.5 Amplitude Zeit in [s] Das zugehörige Bode-Diagramm zeigt den folgenden Verlauf: - Gain db Frequency (rad/sec) -5 Phase deg Frequency (rad/sec) Man erkennt die Resonanzüberhöhung sowie denn typischen Phasenverlauf. Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5

6 Zu 5. Aufgaben für Laborversuch 5. (im Labor auszuführen) 5. (im Labor auszuführen) 5.3 Übertragungsglied mit Allpassverhalten sowie globalem P-Verhalten b.) Der Frequenzgang des Systems lautet: jωtn F( jω) + jωtn Die Sprungantwort hat den folgenden Verlauf (siehe auch Aufgabenblatt): Allpassglied.Ordnung.5.5 Amplitude Time (secs) Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5

7 c.) Die Nyquist-Ortskurve des Allpass-Gliedes.Ordnung hat den folgenden Verlauf: Nyquist-Ortskurve Allpass.Ordnung. -. Imaginärteil (F(jw)) Realteil (F(jw)) d.) Vergleich zwischen berechnetem Frequenzgang und der Ortskurve Unabhängig vom Vorzeichen des Imaginäranteils in Zähler bzw. Nenner des Frequenzganges ergibt sich immer der gleiche Betrag : F ( jω ) + jωt jωt N N ( ωtn) ( ωt ) N + + ω ω TN TN + + Es ist eine besondere Eigenschaft von Allpassgliedern, alle Frequenzen im Betrag gleich zu übertragen. Dies äußert sich in der Ortskurve dadurch, dass diese einen (Halb-)Kreis mit konstantem Abstand vom Ursprung beschreibt. Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5

8 Anmerkungen zur praktischen Durchführung der Laborversuche Zusammenbau von Übertragungsfunktionen und Kreisen Es ist kein reines Verstärkerglied verfügbar, d.h. wenn z.b. eine Verstärkung des offenen Kreises von K ges eingestellt werden soll, so ist dies entweder einem oder mehreren der sonst beteiligten Übertragungsgliedern zuzuordnen. Bei Aufgabe 4.5 der Vorbereitung musste ein K,5 eingestellt werden. Dies kann z.b. dadurch erreicht werden, dass man diesen Faktor aufteilt in,5 5 *,5. Stellt man die,5 beim Integrator ein, so muss dieser ein Tn ½,5,4 erhalten. Zusätzlich erschwert wird das Einstellen der Parameter dadurch, dass die verwendeten -Gang-Potis z.b. bei einem Zahlenbereich von bis eine Verstärkung K von bis 5 erlauben, so dass die doppelten Zahlenwerte an der Poti-Skala einzustellen sind. Zu Aufgabe 5.3: Das Allpassglied kann man sich aus einem P- und einem DT-Glied zusammengesetzt denken: Td s GAllpass + T s + Dabei kann mit Hilfe der Grenzwertsätze der Laplacetransformation gezeigt werden, dass die Sprunghöhe des DT-Glieds bei t gerade durch den Quotienten Stationärer Endwert G Allpass lim s T T d () s 4 bestimmt wird. Bei einer Zeitkonstanten T von,5s ergibt sich hieraus ein T d von.! Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5