KAPITEL 5. Nichtlineare Gleichungssysteme

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1 KAPITEL 5. Nichtlineare Gleichungssysteme Beispiel 5.1. Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen m 1 und m 2 mit gegenseitigem Abstand r: F = G m 1m 2 r 2, wobei G = Nm 2 /kg. Gravitationsfeld wie in Abb.5.1: m 3 (0, y3 ) F 2,x m 1 (x 1,0) F 2. F 2,y... m 2 (0,0) (x 2,0) Dahmen-Reusken Kapitel 5 1

2 Gesucht: (x, y), so daß für eine Punktmasse m an der Stelle (x, y) die Gravitationskräfte F i zwischen m und m i im Gleichgewicht sind. Hilfgrößen r i := (x x i ) 2 + (y y i ) 2, F i := G m im ri 2, F i,x := F i(x i x), F i,y := F i(y i y), i = 1,2,3. r i r i Gleichgewichtsbedingungen F 1,x + F 2,x + F 3,x = 0, F 1,y + F 2,y + F 3,y = 0. Hieraus ergibt sich das System f 1 (x, y) = f 2 (x, y) = 3 i=1 3 i=1 m i (x i x) ((x x i ) 2 + (y y i ) 2 ) 3/2 = 0 m i (y i y) ((x x i ) 2 + (y y i ) 2 = 0. ) 3/2 Dahmen-Reusken Kapitel 5 2

3 Beispiel5.2 Statt der linearen Integralgleichung im Beispiel 3.3 soll nun eine nichtlineare Integralgleichung gelöst werden: Gesucht ist eine Funktion u(x) 0, die die Integralgleichung 1 u(x) + 0 cos(xt)u(t)3 dt = 2, x [0,1], erfüllt. Das Problem wird, wie in Beispiel 3.3, auf dem Gitter t j = ( j 1 ) 1 h, j = 1,..., n, h = 2 n, diskretisiert. Man erhält dann die Gleichungen (vgl.(3.15)) u i + h n j=1 cos(t i t j )u 3 j für die Unbekannten u i u(t i ), i = 1,..., n. 2 = 0, i = 1,2,..., n, Dahmen-Reusken Kapitel 5 3

4 Allgemeine Problemstellung Zu gegebenem f = (f 1,..., f n ) T : R n R n finde man x = (x 1,..., x n) T R n, so daß Wir werden dies häufig kurz als schreiben. f 1 (x 1,..., x n ) = 0... f n (x 1,..., x n) = 0. f(x ) = 0 Der Spezialfall n = 1 wird oft als skalare Gleichung in einer Unbekannten bezeichnet. Dahmen-Reusken Kapitel 5 4

5 5.2 Kondition des Nullstellenproblems einer skalaren Gleichung Störungen in den Daten: f(x) f(x) ǫ. Sei x eine Nullstelle für die gestörte Funktion f: f( x ) = 0. Sei m die Vielfachheit der Nullstelle x : f(x ) = 0, f (x ) = 0,..., f (m 1) (x ) = 0, f (m) (x ) 0. Es gilt: x x ǫ 1 m m! f (m) (x ) 1 m. Dahmen-Reusken Kapitel 5 5

6 einfache Nullstelle ε ε mehrfache Nullstelle Beispiel 5.4. f(x) = (x 1) 3 hat eine dreifache Nullstelle x = 1. Die Nullstelle der gestörten Funktion f(x) = (x 1) 3 ǫ ist x = 1+ǫ 1 3. Also, z.b. für ǫ = : f(x) f(x) = 10 12, x x = Dahmen-Reusken Kapitel 5 6

7 Beispiel 5.5 Das Polynom p(x) = x 3 6x 2 +9x hat eine doppelte Nullstelle x = 3. Die Funktionswerte p(3 + i 10 9 ), i = 100, 99,...99,100, sind auf einer Maschine mit eps berechnet. 4 x p(x) (x 3).1e+9 Dahmen-Reusken Kapitel 5 7

8 5.3 Fixpunktiteration Bemerkung 5.6. Sei f : R n R n gegeben und für jedes x in einer Umgebung der Nullstelle x sei die von x abhängige Matrix M x R n n invertierbar. Dann gilt f(x ) = 0 x = x M x f(x ), d.h., das Nullstellenproblem f(x ) = 0 ist äquivalent zum Fixpunktproblem x = Φ(x ), mit Φ(x) := x M x f(x). Beweis: Die Behauptung folgt aus der Tatsache, daß aufgrund der Invertierbarkeit von M x gilt f(x ) = 0 M x f(x ) = 0. Dahmen-Reusken Kapitel 5 8

9 Fixpunktiteration: Wähle Startwert x 0 (in einer Umgebung von x ), Bilde x k+1 = Φ(x k ), k = 0,1,2, Φ(x 1 ) Φ(x 0 ) Φ x 0 x 1 x 2 1 x x Dahmen-Reusken Kapitel 5 9

10 1 Φ Φ(x 0 ) x 2 x 1 x 0 x 1 Dahmen-Reusken Kapitel 5 10

11 Fall a: Φ (x ) < 1. Φ (x) < 1 für alle x in U δ := [x δ, x + δ]. Folglich (Mittelwertsatz) für jedes x, y U δ ein ξ U δ mit Φ(x) Φ(y) = Φ (ξ)(x y) max Φ (z) x y =: L x y, z U δ und L = max z Uδ Φ (z) < 1. Also ist Φ kontrahierend auf U. Für x 0 U δ erhält man: x k+1 x = Φ(x k ) Φ(x ) L x k x L k+1 x 0 x für alle k 0 also Konvergenz: lim k x k = x. Fall b: Φ (x ) > 1. Es existiert δ > 0, so daß Φ (z) > 1 für alle z U δ = [x δ, x + δ]. Folglich gilt x k+1 x = Φ(xk ) Φ(x ) = Φ (ξ)(x k x ) > x k x für alle x k U δ, d.h., für alle x k U δ wird der Fehler x k x vergrößert. Dahmen-Reusken Kapitel 5 11

12 Sei Beispiel 5.7. f(x) := x 6 x 1. f hat eine eindeutige positive Nullstelle x und es gilt x [0,2]. Fixpunkt: Φ(x ) = x, Φ 1 (x) := x 6 1 oder Φ 2 (x) := (x + 1) 1 6. Φ 1 (x) 6x = 5 > 1 für x [1,2]. Die Iterationsfunktion Φ 1 ist also nicht geeignet. Für Φ 2 ergibt sich und damit Φ 2 (x) 1 = 6 (x + 1) für x [0,2] Φ 2 (x) Φ 2 (y) = Φ 2 (ξ)(x y) 1 x y für x, y [0,2]. 6 Um das Kontraktionsargument wiederholt anwenden zu können, muß die Folge x k+1 = Φ 2 (x k ), k 0, für x 0 [0,2] im Intervall [0,2] bleiben. Diese Bedingung ist erfüllt, falls Φ 2 eine Selbstabbildung auf [0,2] ist, d.h. Φ 2 : [0,2] [0,2]. Dahmen-Reusken Kapitel 5 12

13 Ergebnisse: x 0 = 0.5 x 0 = 0.5 x 0 = 1.13 x 0 = k x k+1 = Φ 2 (x k ) x k+1 = Φ 1 (x k ) x k+1 = Φ 1 (x k ) x k+1 = Φ 1 (x k ) e e e e e e e e+246 Dahmen-Reusken Kapitel 5 13

14 Banachscher Fixpunktsatz 5.8. Sei X ein linear normierter Raum. E X sei eine vollständige Teilmenge von X. Φ sei eine Selbstabbildung auf E, Φ : E E. Ferner sei Φ eine Kontraktion auf E Φ(x) Φ(y) L x y für alle x, y E,mit L < 1. Dann gilt: 1. Es existiert genau ein Fixpunkt x von Φ in E. 2. Für beliebiges x 0 E konvergiert x k+1 = Φ(x k ), k = 0,1,2,... gegen den Fixpunkt x. 3. A-priori-Fehlerabschätzung: x k x Lk 1 L x 1 x A-posteriori-Fehlerabschätzung: x k x L 1 L x k x k 1. Dahmen-Reusken Kapitel 5 14

15 Bemerkung 5.9. Um eine Genauigkeit ǫ zu erreichen, genügt es k so groß wählen, daß also d.h. L k 1 L x 1 x 0 ǫ, L k ǫ(1 L) x 1 x 0, ( ǫ(1 L) k log x 1 x 0 )/ log L. Wegen x k x k 1 = Φ(x k 1 ) Φ(x k 2 ) L x k 1 x k 2 L k 1 x 1 x 0 ist die Schranke in der a-posteriori-fehlerabschätzung immer besser (d.h., kleiner) als die in der a-priori-fehlerabschätzung. Dahmen-Reusken Kapitel 5 15

16 Folgerung Sei X = R, E = [a, b] und Φ eine auf E stetig differenzierbare Funktion. Es gelte Φ : [a, b] [a, b] (Selbstabbildung), und max x [a,b] Φ (x) =: L < 1. Dann sind alle Voraussetzungen aus Satz 5.8 erfüllt für =. Dahmen-Reusken Kapitel 5 16

17 Folgerung Sei X = R n, E R n eine abgeschlossene konvexe Menge, und Φ : E R n sei stetig differenzierbar. Es gelte Φ : E E (Selbstabbildung), und bzgl. einer Vektornorm auf R n gelte für die zugehörige Matrixnorm max x E Φ (x) = L < 1. Dann sind alle Voraussetzungen aus Satz 5.8 erfüllt. Hierbei ist Φ (x) = x Φ 1 1 (x) x n Φ 1 (x).. x Φ n (x) 1 x n Φ n (x) die Jacobi-Matrix von Φ an der Stelle x. Dahmen-Reusken Kapitel 5 17

18 Folgerung Sei X = R n, x R n, so daß Φ(x ) = x und Φ stetig differenzierbar in einer Umgebung von x. Bezüglich einer Vektornorm auf R n gelte für die zugehörige Matrixnorm Φ (x ) < 1. Sei B ε := { x R n x x ε }. Für E = B ε mit ε > 0 hinreichend klein sind alle Voraussetzungen aus Satz 5.8 erfüllt. Dahmen-Reusken Kapitel 5 18

19 Beispiel 5.13 Man zeige, daß das System 6x = cos x + 2y 8y = xy 2 + sin x auf E = [0,1] [0,1] eine eindeutige Lösung besitzt. Man bestimme diese Lösung bis auf eine Genauigkeit 10 3 in der Norm. Lösung: Für x [0,1] gilt 0 cos x 1 und 0 sin x 1. Für ( 16 cos x + 1 Φ(x, y) = 3 y ) 1 8 xy sin x gilt daher Φ : E E. Ferner gilt Φ 1 (x, y) = 6 sin x y cos x 1 4 xy Für die Norm auf R 2 ergibt sich Φ (x, y) = max 1 2. { 1 ( 6 sin x + 1 3, 1 8 ). ( y 2 + cos x + 2 xy )} Dahmen-Reusken Kapitel 5 19

20 Wegen Folgerung 5.11 existiert genau eine Lösung in E. Wegen (3) in Satz 5.8 genügt es, für (x 0, y 0 ) = (0,0), also (x 1, y 1 ) = ( ) 1 6,0, zu wählen. k log ( /6 ) / log 1 2 = 8.38 Wir erhalten Werte, die in Tabelle 5.2 wiedergegeben sind. In der dritten Spalte werden die Resultate der a-posteriori-fehlerabschätz (5.23) gezeigt. Dahmen-Reusken Kapitel 5 20

21 (x 0, y 0 ) = (0,0), k (x k, y k ) = Φ(x k 1, y k 1 ) (x k, y k ) T (x k 1, y k 1 ) T 0 ( , ) 1 ( , ) 1.67e 01 2 ( , ) 2.07e 02 3 ( , ) 6.98e 03 4 ( , ) 8.60e 04 5 ( , ) 2.95e 04 6 ( , ) 3.63e 05 7 ( , ) 1.27e 05 8 ( , ) 1.56e 06 9 ( , ) 5.52e 07 Aus der a-posteriori-fehlerabschätzung ergibt sich, daß schon für k = 4 (statt k = 9) die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Dahmen-Reusken Kapitel 5 21

22 5.4 Konvergenzordnung und Fehlerschätzung Ein Maß für die Konvergenzgeschwindigkeit einer Folge ist der Begriff der Konvergenzordnung. Definiton 5.14 Eine konvergente Folge {x k } k N in R n mit Grenzwert x hat die Konvergenzordnung p, falls für ein k 0 N für alle k k 0 gilt, wobei x k+1 x c x k x p 0 < c < 1 falls p = 1. Dahmen-Reusken Kapitel 5 22

23 Beispiel Dieses Beispiel verdeutlicht den großen Geschwindigkeitsunterschied zwischen Verfahren der Ordnung p = 1 (lineare Konvergenz) und Verfahren der Ordnung p = 2 (quadratische Konvergenz). Sei x 0 x = 0.2, p = 1, c = 1 2, e k := x k x. Dann gilt: k e k Für c = 3 und p = 2 gilt: k e k Dahmen-Reusken Kapitel 5 23

24 Sei x R n gegeben (z.b. die Nullstelle einer Funktion). Ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von x hat die Konvergenzordnung p, wenn es eine Umgebung U von x gibt, so daß für alle Startwerte aus U\ die von dem Verfahren erzeugte Folge gegen x konvergiert und die Konvergenzordnung p hat. Bemerkung Sei x k+1 = Φ(x k ), k = 0,1,..., eine konvergente Fixpunktiteration mit Fixpunkt x. Aus x k+1 x = Φ(x k ) Φ(x ) = Φ (x )(x k x ) + O( x k x 2 ) folgt, daß im Normalfall, wenn 0 Φ (x ) < 1 gilt, die Fixpunktiteration die Konvergenzordnung 1 hat. Quadratische Konvergenz hat man, wenn Φ (x ) = 0 gilt. Für die meisten in der Praxis benutzten Methoden zur Nullstellenbestimmung gilt p = 1 (lineare Konvergenz) oder p = 2 (quadratische Konvergenz). Dahmen-Reusken Kapitel 5 24

25 Fehlerschätzung für skalare Folgen Sei e k := x x k, A k := x k x k 1 x k 1 x k 2 Lemma Sei {x k } k=0 eine konvergente Folge mit Grenzwert x. Aus lim k e k+1 e k = A ( 1,1), A 0, folgt, daß die Konvergenzordnung der Folge {x k } k=0 daß A k (x k x k 1 ) 1 A k lim A k = A, k lim k e k = 1. Wenn die Folge die Konvergenzordnung p > 1 hat, gilt lim k x k+1 x k e k = 1. genau 1 ist und Dahmen-Reusken Kapitel 5 25

26 Aus den Resultaten in Lemma 5.17 ergeben sich einfache a-posteriori- Fehlerschätzungen (für k hinreichend groß): p = 1 : x x k A k 1 A k (x k x k 1 ), wobei A k = x k x k 1 x k 1 x k 2 etwa konstant sein sollte. p > 1 : x x k x k+1 x k. Beachte: für p = 1 (lineare Konvergenz) ist x k x k 1 oder x k+1 x k im allgemeinen keine sinnvolle Schätzung der Größe des Fehlers x x k. Dahmen-Reusken Kapitel 5 26

27 5.18. Beispiel Für die Fixpunktiteration x k+1 = Φ 2 (x k ) aus Beispiel 5.7 sind einige Resultate in Tabelle 5.3 zusammengestellt: k x 0 = 0.5, x k+1 = Φ 2 (x k ) A k = x k x k 1 x k 1 x k 2 A k 1 A (x k x k 1 ) k x x k e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 11 Dahmen-Reusken Kapitel 5 27

28 Fehlerschätzung für Vektorfolgen Lemma Sei {x k } k=0 eine konvergente Folge in Rn mit Grenzwert x und Konvergenzordnung p > 1. Dann gilt lim k x k+1 x k e k = 1. Aus diesem Resultat ergibt sich folgende Fehlerschätzung für den Fall p > 1: p > 1 : x k x x k+1 x k, für k genügend groß. Es sei bemerkt, daß im skalaren Fall (5.37) der Fehler e k und im vektoriellen Fall die Größe des Fehlers, e k, geschätzt wird. Dahmen-Reusken Kapitel 5 28

29 5.5 Berechnung von Nullstellen von skalaren Gleichungen Bisektion Algorithmus Gegeben a 0 < b 0 mit f(a 0 )f(b 0 ) < 0. Für k = 0,1,2,... berechne: x k = 1 2 (a k + b k ), f(x k ). Setze a k+1 = a k, b k+1 = x k falls f(x k )f(a k ) 0 a k+1 = x k, b k+1 = b k sonst. f x 0 = a 1 = a 2 x 2 = a 3 = a 4 a 0 b 0 = b 1 x x 3 = b 4 x 1 = b 2 = b 3 Dahmen-Reusken Kapitel 5 29

30 Beispiel Nullstellenaufgabe aus Beispiel 5.7: Gesucht wird die Nullstelle x [0,2] der Funktion f(x) = x 6 x 1. Die Bisektion mit a 0 = 0, b 0 = 2 liefert die Resultate: k a k b k x k b k a k f(x k ) Dahmen-Reusken Kapitel 5 30

31 5.5.2 Das Newton-Verfahren Die Iterationsfunktion Φ soll so konstruiert werden, daß x k+1 = Φ(x k ) möglichst schnell konvergiert. Ansatz: Φ(x) = x g(x)f(x). Es gilt Deshalb Φ (x ) = 0 g(x ) = 1 f (x ). Φ(x) := x f(x) f (x). x k+1 = x k f(x k) f (x k ), k = 0,1,2,.... Dahmen-Reusken Kapitel 5 31

32 Konvergenz des Newton-Verfahrens Satz Sei f zweimal stetig differenzierbar in einer Umgebung U = (a, b) von x, und es gelte f(x ) = 0, f (x ) 0. Dann gilt für x k U und x k+1 := x k f(x k) f (x k ) : x k+1 x = 1 2 f (ξ k ) f (x k ) (x k x ) 2, ξ k U, also ist das Newton-Verfahren lokal quadratisch konvergent. Dahmen-Reusken Kapitel 5 32

33 Beispiel Aufgabe: Bestimmung der Nullstelle x [0,2] der Funktion f(x) = x 6 x 1. Das Newton-Verfahren ergibt in diesem Fall Einige Resultate: x k+1 = x k x6 k x k 1 6x 5 k 1. k x 0 = 0.5 x 0 = 2 x k+1 x k e e e e e e e e e Dahmen-Reusken Kapitel 5 33

34 Beispiel Man berechne a für ein a > 0. a ist Lösung von f(x) := x 2 a = 0. Das Newton-Verfahren ergibt in diesem Fall x k+1 = 1 xk + 2( a ). x k k x k x k+1 x k 2 xk e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 13 Dahmen-Reusken Kapitel 5 34

35 Geometrische Deutung und Konvergenz f(x) = f(x k ) + (x x k )f (x k ) (x x k) 2 f (ξ k ) Tangente: T(x) = f(x k ) + (x x k )f (x k ). T(x k+1 ) = 0 x k+1 = x k f(x k) f (x k ). T(x) x k x k+1 x k+2 f(x) Dahmen-Reusken Kapitel 5 35

36 Sekanten-Verfahren Newton-ähnliche Verfahren f(x) x k 1 x k x k+2 x k+1 x k+1 = x k 1f(x k ) x k f(x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) ( x = x k f(x k ) k x k 1 f(x k ) f(x k 1 ) ). Dahmen-Reusken Kapitel 5 36

37 Konvergenzordnung: p 1.6 Beispiel Für f(x) = x 6 x 1 = 0 liefert die Sekanten-Methode: k x k x k+1 x k e e e e e e e e e Die Werte in der dritten Spalte ergeben eine Fehlerabschätzung. Dahmen-Reusken Kapitel 5 37

38 5.6 Das Newton-Verfahren für Systeme Aufgabe: f(x) = 0 wobei f : R n R n (für n > 1) eine zweimal stetig differenzierbare vektorwertige Funktion ist. Taylorentwicklung: x k = (x k 1,..., xk n) T R n. f i (x) = f i (x k ) + Kompakt: n j=1 f (x) = f i (x k ) (x j x k j x ) + O ( x x k 2 ) 2, i = 1,2,... n. j f 1 (x). x 1 f n (x) x 1 f 1 (x) x n. f n (x) x n (Jacobimatrix). f(x) = f(x k ) + f (x k )(x x k ) + O ( x x k 2 2). Dahmen-Reusken Kapitel 5 38

39 Linearisierung: 0 = f(x k ) + f (x k )(x k+1 x k ). Hieraus erhält man x k+1 = x k (f (x k )) 1 f(x k ). Algorithmus 5.28 (Newton-Iteration) Gegeben: Startwert x 0. Für k = 0,1,2,...: Berechne f(x k ), f (x k ) Löse das lineare Gleichungssystem in s k Setze (Newton-Korrektur) f (x k )s k = f(x k ). x k+1 = x k + s k. Dahmen-Reusken Kapitel 5 39

40 Beispiel 5.29 f 1 (x 1, x 2 )=6x 1 cos x 1 2x 2 = 0, f 2 (x 1, x 2 )=8x 2 x 1 x 2 2 sin x 1 = 0. Man erhält ( ) f 6 + sin x1 2 (x) = x 2 2 cos x x 1 x 2 ( ) Für den Startwert x 0 0 = ergibt sich f(x 0 0 ) = ( ) 1 0 und ( ) f (x ) =. Man hat 1 8 zu lösen. Man erhält s 0 = 1 46 ( ) ( ) s 0 1 s 0 2 = ( 1) 0 ( ) 8, x 1 = x 0 + s 0 = ( ) 8. 1 Dahmen-Reusken Kapitel 5 40

41 Satz Sei Ω R n offen und konvex, f : Ω R n stetig differenzierbar mit det f (x) 0 für alle x Ω. Sei β, so daß (f (x)) 1 β für alle x Ω. Ferner sei f (x) auf Ω Lipschitz-stetig mit einer Konstanten γ: f (x) f (y) γ x y, x, y Ω. Weiterhin existiere eine Lösung x von f(x) = 0 in Ω. Der Startwert x 0 erfülle x 0 K ω (x ) := { x R n x x < ω } mit ω hinreichend klein, so daß K ω (x ) Ω und ω 2 βγ. Dann bleibt die durch das Newton-Verfahren definierte Folge {x k } k=0 innerhalb von K ω(x ) und konvergiert quadratisch gegen x : x k+1 x βγ 2 xk x 2, k = 0,1,2,.... Dahmen-Reusken Kapitel 5 41

42 Beispiel Beispiel 5.2. Für n = 60 ergibt sich das Gleichungssystem wobei f i (x 1, x 2,..., x 60 ) = 0, i = 1,2,...,60, f i (x 1, x 2,..., x 60 ) = x i ( f (x) ) i,j = f i(x) x j = 60 j=1 ( ( i 1 ) ( ) 2 j 1 ) 2 cos x 3 j ( ( cos i 1 2 ( 1 20 cos ( i 1 2 ) 2 ) 3600 x 2 i )( ) j für i = j ) x 2 j für i j. In jedem Iterationsschritt des Newton-Verfahrens werden die Jacobi-Matrix f (x k ) und der Funktionswert f(x k ) berechnet, das lineare Gleichungssystem f (x k )s k = f(x k ) gelöst, x k+1 = x k + s k berechnet. Dahmen-Reusken Kapitel 5 42

43 Ergebnisse für den Startwert x 0 = (2,2,...,2) T : k f(x k ) 2 x k+1 x k e e e e e e e e e e e e e 15 Die dritte Spalte zeigt die Fehlerschätzung (5.40). Dahmen-Reusken Kapitel 5 43

44 Es gilt i x 6 1) i u(t i) = u( 2, i = 1,2,..., Diese Näherung der Funktion u(x), x [0,1], ist in folgender Abbildung dargestellt: Dahmen-Reusken Kapitel 5 44

45 5.6.2 Hinweise zur praktischen Durchführung des Newton-Verfahre Das vereinfachte Newton-Verfahren Aufstellen der Jacobi-Matrix im ersten Schritt f (x 0 ). Statt f (x k ) in (5.55) verwende f (x 0 ), d.h., f (x 0 )s k = f(x k ), x k+1 = x k + s k für k = 0,1,2,.... Dadurch geht allerdings die quadratische Konvergenz verloren. In der Praxis verwendet man daher eine Mischform, wobei man f nach etwa 3 bis 5 Schritten erneuert. Dahmen-Reusken Kapitel 5 45

46 Auswertung der Jacobi-Matrix Einträge der Jacobi-Matrix: f i (x k ) x j. Annäherung durch numerische Differentiation: f i (x) x j f i(x + he j ) f i (x), e j = (0,...,0,1,0,...,0) T, h Allgemein wird ein zu großes h die Genauigkeit der Approximation von f (x k ) und damit ebenfalls die Konvergenz der Newton-Iteration beeinträchtigen. Ein zu kleines h birgt hingegen die Gefahr der Auslöschung. Dahmen-Reusken Kapitel 5 46

47 Wahl des Startwertes Beispiel f 1 (x, y) = f 2 (x, y) = 3 i=1 3 i=1 m i (x i x) ((x i x) 2 + (y i y) 2 ) 3/2 = 0 m i (y i y) ((x i x) 2 + (y i y) 2 ) 3/2 = 0 Für f 1, f 2 gilt U(x, y) := 3 i=1 ( ) f1 (x, y) f 2 (x, y) m i ((x i x) 2 + (y i y) 2 ) 1/2 = U(x, y). Also ist (x, y ) Lösung des Systems genau dann, wenn (x, y ) ein lokales Minimum, lokales Maximum oder ein Sattelpunkt des Potentials U ist. Dahmen-Reusken Kapitel 5 47

48 Aus diesem Bild erkennt man, daß U zwei Sattelpunkte und keine lokalen Maxima oder Minima hat. Das System hat also genau zwei Lösungen. Dahmen-Reusken Kapitel 5 48

49 Anhand der Graphik kann man geeignete Startwerte wählen. Ergebnisse der Newton Methode: k x k y k f(x k, y k ) 2 (x k, y k ) (x k+1, y k e e e e e e e e e 16 - k x k y k f(x k, y k ) 2 (x k, y k ) (x k+1, y k+1 ) e e e e e e e e e 16 - Dahmen-Reusken Kapitel 5 49

50 Homotopieverfahren Dabei wird durch einen Problemparameter oder durch einen künstlich eingeführten Parameter µ aus einem System von nichtlinearen Gleichungen eine Familie von Problemen F(x, µ) = 0 definiert. Etwa im Falle von Beispiel 5.2 kann man z.b. die Familie u i + h n j=1 cos(t i t j )u µ j 2 = 0, i = 1,2,..., n, mit 1 µ 3, definieren. Für µ 0 = 1 ist dieses Problem linear, und man hat keine Schwierigkeiten bezüglich der Wahl des Startwerts. Die berechnete Lösung u µ0 kann dann als Startwert für ein benachbartes Problem mit µ 1 > µ 0 verwendet werden, usw. Dahmen-Reusken Kapitel 5 50

51 Das gedämpfte Newton-Verfahren Man setzt x k+1 = x k + λs k für ein passendes λ = λ k, 0 λ 1. x k + s k x k+1 x k Dahmen-Reusken Kapitel 5 51

52 x 0, k = 0 berechne Korrektur k := k + 1 f (x k )s k = f(x k ) λ := 1 Nein Dämpfung Test Ja x k+1 := x k k max oder f(x k+1 ) k tol x := x k + λs k C λ := 1 λ 4 f(x) k C λ f(x k ) k? Nein λ := 1 2 λ Ja Test λ λ min Ja Nein Abbruch Abbruch Dahmen-Reusken Kapitel 5 52

53 5.7. Berechnung von Nullstellen von Polynomen Sei P n ein Polynom: P n (x) = n j=0 a j x j, a n 0. Deflation Ist eine Nullstelle z von P n bekannt, so kann man den linearen Faktor (x z) abspalten. Aus P n (x) = (x z)p n 1 (x) + R, P n 1 (x) = folgt durch Koeffizientenvergleich: n 1 j=0 b j x j, R R, a n = b n 1, a n 1 = b n 2 zb n 1, a n 2 = b n 3 zb n 2,. a 1 = b 0 zb 1, a 0 = R zb 0. Dahmen-Reusken Kapitel 5 53

54 Die Bairstow-Methode Mit der Bairstow-Methode kann bei der Bestimmung von komplexen Nullstellen eines reellen Polynoms das Rechnen mit komplexen Zahlen vermieden werden. Sei a n = 1. Ist z 1 = u 1 + i v 1 (u 1, v 1 R) eine komplexe Nullstelle, dann ist auch z 1 = u 1 i v 1 eine Nullstelle von P n. Das Produkt (x z 1 )(x z 1 ) = x 2 2u 1 x + u v2 1 ist ein quadratischer Teiler von P n mit reellen Koeffizienten. Faktorisierung von P n mit einem quadratischen Polynom: für gegebenes r, s R und P n (x) = x n + a n 1 x n a 0 (n 2), q r,s (x) = x 2 rx s, will man P n 2 (x) = x n 2 +b n 3 x n b 0 und A, B R bestimmen, so daß gilt P n (x) = q r,s (x)p n 2 (x) + Ax + B für alle x R. Dahmen-Reusken Kapitel 5 54

55 Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich folgende Methode: Algorithmus 5.39 (Polynomdivision eines quadratischen Faktors) Eingabe: Koeffizienten a 0,..., a n 1 des Polynoms P n (a n = 1) und r, s R. b n 3 = a n 1 + r; b n 4 = a n 2 + rb n 3 + s; Für j = n 5,...,0 : b j = a j+2 + rb j+1 + sb j+2 ; A = a 1 + rb 0 + sb 1 ; B = a 0 + sb 0 ; Offensichtlich hängen P n 2, A und B von r und s ab, und q r,s teilt genau dann P n, wenn A = B = 0 gilt. Die Aufgabe, solche r und s zu finden, kann man als 2 2-Nullstellenproblem interpretieren. A(r, s) = 0 B(r, s) = 0 Dahmen-Reusken Kapitel 5 55

56 Hierauf läßt sich das Newton-Verfahren anwenden: ( ) r k+1 s k+1 = ( ) r k s k Zur Bestimmung der partiellen: A r B r A 1 s B s (r k,s k ) ( A(r k, s k ) B(r k, s k ) Lemma Sei n 4 und P n (x), q r,s (x) wie oben mit r, s R beliebig. Seien P n 2 Π n 2, P n 4 Π n 4 und A, B, Â, ˆB so daß P n (x) = q r,s (x)p n 2 (x) + Ax + B P n 2 (x) = q r,s (x)p n 4 (x) + Âx + ˆB ) Dann gilt: A s = Â, B s = ˆB, A r = râ + ˆB, B r = sâ. Für den Fall n 3 kann man sofort explizite Formeln für A(r, s) und B(r, s) herleiten. Dahmen-Reusken Kapitel 5 56