10 Der Satz über implizite Funktionen und Umkehrfunktionen

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1 Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Der Satz über implizite Funktionen und Umkehrfunktionen Motivation: Sei F : U R R eine differenzierbare Funktion und sei c R fest. Wir wollen die Frage untersuchen, in wieweit sich die Gleichung F = c nach auflösen lässt, dh. ob eine differenzierbare Funktion f : I R R eistiert mit f, also F = c I. f Ist f : I R eine solche Funktion, so sagen wir, dass f implizit durch die Gleichung F = c gegeben ist. Beispiel: a F = +. Ist dann c >, so gilt + = c = c [ c, c ] und = f, = ± c. Ist nun dein Punkt mit + = c vorgegeben und ist, so erfüllt genau eine der Lösungen f, f die Gleichung f = nämlich f = c, falls > und f = c, falls <. Im Fall = geht die Eindeutigkeit verloren und es gibt dann auch keine Auflösung in einer ganzen Umgebung von, da = ± c sein muss!. Beachte: Im Fall = gilt immer f = = =, für gilt aber stets f =. b Sei F : R R; f : = sin +. Hier ist es nicht leich möglich, die Gleichung F : = c aufzulösen. Problem: Wann eistieren eindeutige Auflösungen in einer Umgebung eines Startpunkt mit F = c? Die Antwort hierauf gibt der Satz über implizite Funktionen, den wir in diesem Abschnitt beweisen wollen! Zur Formulierung benötigen wir: getext: Julia Wolters 83

2 Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Analsis Vorlesung SS 9 SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Bezeichnung. Sei U R n R m offen, F : U R m stetig differenzierbar. Wir schreiben Elemente in R n R m als Vektoren mit R n, R m, und für U schreiben wir F, F für die Ableitungen von F nach, bzw., h. auf Invertierbarkeit untersu- Da F chen! F = F = F... F... F n.. F m... F m n F m.. F m... F m m M m n R, M m m R quadratische Matri ist, können wir F und quadratisch! Mit dieser Notation können wir nun den wichtigen Satz über implizite Funktionen formulieren: Satz. über implizite Funktionen Seien U R n R m offen, F : U R m stetig differenzierbar und U, c R m mit F = c und F invertierbar. Dann eistiert eine offene Umgebung U R n von und U R m von etwa U = U δ, U = U ε und eine stetig partiell differenzierbare Funktion f : U U mit = c U f. ist invertierbar für alle U f und es gilt: U U U und F F F Df = 3 Sind U, U mit F F f f =, so gilt = f. U 84 getext: Julia Wolters

3 Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Bemerkung.3 Bedingung 3 im Satz sagt, dass die Gleichung F eindeutig durch f ausgelöst wird. = c auf U U Wir führen den Beweis von. in mehreren zum Teil recht aufwendigen Schritten durch: Wir starten mit Lemma.4 Seien U R n, U R m offen, F : U U R m stetig partiell differenzierbar, und f : U U stetig mit F = c und F invertierbar für alle f f U. Dann ist auch f : U U stetig differenzierbar mit F F Df = U f f Beweis: Die Arbeit besteht darin zu zeigen, dass f : U U differenzierbar ist. Ist die gezeigt, so folgt wie folgt: Betrachte g : U R m ; g = F. f Da g = c U gilt Dg =. Ist f differenzierbar, so folgt dann mit Kettenregel F F En = Dg =, f f Df = F + F Df f f Dann folgt: F Df = F F und Multipliziert mit f f f liefert Formel. Da F stetig differenzierbar folgt aus dann auch, dass Df stetig ist, also f stetig differenzierbar. Wir müssen also zeigen, dass f differenzierbar in jedem U. Seien dazu o.b.d.a c = sonst Überlegung auf F = F c und =, f = sonst Überlegungen auf Ũ = U, Ũ U f und F + := F, + f = f +. Nach der obigen Rechnung ist der einzige Kandidat für Df die Matri B A mit B = F ; A = F. Nach Definition von Differenzierbarkeit müssen wir zeigen, dass lim = {}}{ f fc + B A = getext: Julia Wolters 85

4 Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Analsis Vorlesung SS 9 SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Betrachte: R I = F Da F differenzierbar in F gilt: II Da R = U f liefert I: III lim DF = F = F A B R = A, B R = A Bf bzw. f = B R B A f f Einsetzten in zeigt: Es genügt zu zeigen, dass Da B R f lim B R f = B op R, folgt dies aus f lim R = f f K und f Wir zeigen nun: K und δ > mit U δ U und Ist dies gezeigt, so folgt lim f R f stetig in lim = lim K f K f R K U δ. F II =. Fertig! 86 getext: Julia Wolters

5 Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Beweis zur Eistenz von K: II liefert: ε > mit R B op bzw. U ε gilt R B op Da f stetig in eistiert dann ein δ > mit U δ U und U δ, und dann folgt IV f R B op f Mit III folgt dann für alle U δ : f = B A + B R f Ungl. IV B A op + + f f U ε B op + f U δ Ungl. = B A op + B op R f und dann nach Substraktion von f : f B A op. Dann folgt f + f B A op + U δ Setzte also K = B A op +. Wir haben mit dem obigen Lemma einen Teil des Satzes über implizite Funktionen gelöst, nämlich: Wenn unter der Voraussetzung des Satzes eine stetige Auflösung f : U U eistiert, so ist diese schon differenzierbar mit Ableitung wie im Satz. Wir müssen also nur noch zeigen, dass eine stetige und eindeutige Auflösung eistiert! Das wichtigste Hilfsmittel hierzu ist der Banachsche Fipunktsatz: Satz.5 Banachsche Fipunktsatz Sei X ein vollständiger metrischer Raum und sei T : X X eine Abbildung, so dass ein q eistiert mit dt, T qd,, X. Dann eistiert genau ein X mit T = heißt dann Fipunkt von T. Ferner gilt: Ist X beliebiger Startpunkt und ist n n in X mit n = T n n N, so gilt n und d n, qn q d, getext: Julia Wolters 87

6 Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Analsis Vorlesung SS 9 SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Beweis: Ist X beliebig und n n wie im Satz, so gilt zunächst d n+, n = dt n, T n qd n, n q n d n, n... q n d, Ist dann m n beliebig, so gilt d m, n Ungl. d m, m + d m, m +... d, = m k=n dk +, k s.o. m k=n q k d, q k d, = q n q k d, k=n geometr.reihe = q n q d, Da q n für n eistiert zu ε > ein N N mit d m, n < ε m, n n. Damit ist gezeigt, dass n n Cauch-Folge. Sei = lim n n. Dann gilt auch also auch T = Abschätzung k= dt, n = dt, T n qd, n lim n n =, dh. ist Fipunkt. Für festes n N folgt dann die d, n = lim m m n d m, n s.o. qn q d,. Sei nun ein weiterer Fipunkt. Ist, so folgt d, = dt, T qd, < d,. Sie ist ein Widerspruch! Beweis von Satz.: Sei also U R n R m offen, F : U R m stetig differenzierbar und U mit F = c und F sei invertierbar. Es bleibt zu zeigen: offene Umgebung U von, U von und eine stetige Funktion f : U U mit I U U U und F = c U f II F ist invertierbar für alle U f, und III F = c für U U = f Durch Übertragung auf F = F c können wir o.b.d.a. c = annehmen! Idee: Wir wandeln die Gleichung F = in eine Fipunktgleichung für um. Sei 88 getext: Julia Wolters

7 Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT dazu B : F. Nach Voraussetzung ist B invertierbar und es gilt F = B F = B F Setze also G Nun gelten: G := B F G =. Nach Kettenregel ist G stetig differenzierbar mit F = E n B = { }} { = B F = und G U δ U ε op B F < ε U 4 δ Setzten wir dann Y := B ε U ε, so ist Y R n abgeschlossen also vollständig bzgl.. Wir definieren nun Dann gelten T : Y R m ; T = G a T U ε Y U δ, und b T T z z, z Y = B F Beweis von b: Für alle, z Y = B ε gilt + tz Y U ε da B ε konve. Nach dem Schrankensatz Satz 8.7 gilt dann wegen U ε, dass T = T z = G G ma z t [,] G G op + tz Beweis von a: Zunächst gilt: T = B F = B F op U δ z z. ε 4. getext: Julia Wolters 89

8 Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Analsis Vorlesung SS 9 SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Ist dann Y beliebig, so folgt T T T + T b < + ε 4 ε + ε 4 = ε, also T U ε Y. Es folgt a! Wir können nun den Banachschen Fipunktsatz auf alle Abbildungen T : Y Y, U δ anwenden. Damit folgt: Zu jedem U δ eistiert genau ein Y = B ε mit T = Y, also F =. Nach a gilt dann U ε. Wir definieren daher f : U δ U ε durch f = F =. Fener definieren wir eine Funktionenfolge f k k mit f k : U δ U ε Y definiert durch f = U δ, f k+ = T f k U δ, k N. Dann gelten: f k glm f, denn für alle U δ folgt aus der Fehlerabschätzung im Banachschen Fipunktsatz mit q = : f k f und diese Abschätzung hängt nicht von ab. qk k f f }{{} ε k ε, Alle f k sind stetig. Dies ist klar für k = da f konstant und der Schritt k k + folgt mit f k+ = T f k = G ist Komposition stetiger Abbildungen. f k und liefert: f ist stetig! Blatt 5, Aufgabe 4: Gleichmäßige Limiten stetiger Funktionen sind stetig!. Setzten wir nun U = U δ, U = U ε, so erfüllt f : U U nach Konstruktion die Eigenschaften I und II. Es bleibt zu zeigen, dass f invertierbar für alle f U. f Dazu: Betrachte d : U δ R; d = det. Da f f = und f inventierbar ist, gilt d. Da d stetig eistiert dann ein < δ δ mit d auf U δ. Ersetzte dann δ durch δ, also U := U δ. 9 getext: Julia Wolters

9 Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Bemerkung.6 Der Beweis des Satzes über implizite Funktionen gibt gleichzeitig ein interaktives Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Funktion f : U U mit f =, F = c. f Dazu: Sei o.b.d.a c = sonst Übergang auf F = F c. Setzte G = B F mit B = F Dann: Ist δ > klein genug siehe Bedingungen und im Satz so definiere Funktionenfolge f n n N mit f n : U δ R, durch f = U δ f n+ = G = f f n n B F f n U δ Die Fehlerabschätzung im Satz zeigt, dass für kleine δ die Folge f n n sehr schnell gleichmäßig gegen f konvergiert. Beispiel: Betrachte: F : R R; F = 3. Dann gilt F = und F =, also B =. Damit erhalten wir mit = : Wir erhalten damit die folgende Heration: G = + 3 f =, f = + 3 = 3 + f = f 3 =... Untersuchung der Bedingung und im Beweis des Satzes zeigt, dass das Verfahren für U δ mit δ = 3 > schnell gegen die gesuchte Lösung f konvergiert. Niveaulinien: Sei F : U R R stetig differenzierbar. Ist dann c R, so nennt man { } N c := U f = getext: Julia Wolters 9

10 Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Analsis Vorlesung SS 9 SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT auch die Niveaulinie von F auf die Höhe c. Wenn wir uns den Graphen von F als Berg vorstellen, so ist N c der auf die, Ebene projezierte Weg um / am Berg auf Höhe c. Gute Wanderkarten geben z.b. immer die Höhenlinien etwa m-schritten an. Skizze: Die Höhenlinie selbst ist in der Regel eine Kurve im R. Satz über implizite Funktionen sagt: Ist N c und F, so lässt sich N c in einer Umgebung von als Graph, U f δ schreiben. Genauer: δ, ε > und offene Intervalle I, I mit I, I und N c I I = { } I f. Ist F, so können wir auch die Rollen von und im Satz über implizite Funktionen vertauschen und wir finden Intervalle I, I wie oben und eine stetig differenzierbare Funktion g : I I mit Allgemein: Ist F N c I I = = F { } g I., F der beiden partiellen Ableitungen, und wir können F t, so ist auf jeden Fall eine = c zumindest nach einer Variablen auflösen! Allgemein: Ist F : U R n R stetig differenzierbar und ist R n mit F = c und F, so eistiert mindestens ein j {,..., n} mit F j. Ist dann N c = { U F = c}, so können wir die j-te Komponente von N c in einer Umgebung von als Funktion der anderen Komponenten darstellen. 9 getext: Julia Wolters

11 Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Dazu vertausche j-te und n-te Variable und erhalte o.b.d.a F. Dann schreibe = mit z = t n z,..., n R, = n. Satz über implizite Funktionen liefert Umgebung U von z, I von und f : U U mit { } z U U N c = z U fz schließlich vertausche wieder die n-te mit der j-ten Variablen! 3 Noch allgemeiner: Sei F : U R n R m mit n > m. Sei U mit F = c und sei rangdf = m. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Jacobi-Matri DF in linear unabhängige F F Spalten,..., besitzt. j jm Durch Vertauschen der Variablen können wir diese Spalten nach hinten schieben. Wir erhalten dann die Form und F z F : U R k R m R m mit k = n m >. invertierbar, dh. der Satz über implizite Funktionen ist anwandbar. Beispiel.7 F : R 3 R; f = +, c =. Dann gilt F =, z z F =, F =. Betrachte. Dann F =, aber die anderen z z Ableitungen im Punkt verschwinden. Damit: Umgebung U von in R und I von in R und eine Funktion g : U I mit g z U. N I U = z Im Punkt ist F = und F, F verschwinden. Hier können wir also z die -Komponente von N in einer Umgebung von als Funktion von schreiben, z getext: Julia Wolters 93

12 Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Analsis Vorlesung SS 9 SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT etwa N U, I z z = g z U z z mit U R, I R und g : U I geeignet. Skizze: N = ist Zlinderwand! z F = z Wir kommen nun zu einer wichtigen Anwendung des Satzes über implizite Funktionen zur Eistenz von lokalen Umkehrfunktionen. Dazu benötigen wir Definition.8 Seien U, V R n offen und sei f : U V bijektiv und differenzierbar, so dass auch f : V U differenzierbar ist. Dann heißt f Diffeomorphismus. Sind f und f sogar stetig differenzierbar, so heißt f C Diffeomorphismus C k Diffeomorphismus, falls f und f k-mal stetig differenzierbar..9 Wichtige Beobachtung Ist f : U V ein Diffeomorphismus, so ist Df invertierbar für alle U und es gilt bzw. Df f = Df U. Df = Dff V, = f dis entspricht der Formel f = f f in einer Variablen!. Beweis: Betrachte f f : U U. Da f f = gilt E n = Df f Kettenregel = Df f Df Es folgt Df f = Df Satz. über lokale Umkehrfunktionen Seien U R n offen und f : U R n stetig differenzierbar. Ist dann U mit Df invertierbar, so eistieren offene Umgebungen U U, V = fu und f = U V ist ein C Diffeomorphismus. Beweis: Beachte F : R n U R n ; F = f. Dann ist F stetig differenzierbar 94 getext: Julia Wolters

13 Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT mit F = Df. Sei = f. nach Voraussetzung gilt F = und Df ist invertierbar. Satz über implizite Funktionen liefert: offene Umgebungen Ũ von, V von und eine stetig differenzierbare Funktion g : V Ũ mit { } { } V Ũ f = = V g. Damit folgt insbesondere fg = V. Setzte nun U := f V Ũ. Da f stetig, sind f V und dann auch U stetig. Da fg = für alle V gilt gv U und für U gilt f { } V Ũ f = = { } V g also folgt = gf für alle U. Damit ist aber g : V U Umkehrfunktion für f : U V. Da g stetig differenzierbar, folgt die Behauptung. Folgerung. Seien U, V R n offen und sei f : U V stetig differenzierbar und bijektiv. Dann sind äquivalent: f ist C Diffeomorphismus. Df ist invertierbar für alle U. Beweis: ist.9 : Da f bijektiv eistiert eine Umkehrfunktion f : V U. Sei nun U beliebig. Nach. eistiert lokal stetig differenzierbare Umkehrfunktion g : V U für f : U V mit U U, V V Umgebung von, bzw. f. Dann gilt aber g = gff = f V, also g = f V. Damit ist f stetig differenzierbar in = f V. Da beliebig gewählt ist f überall stetig differenzierbar. Satz. über offene Abbildungen Seien U R n offen und f : U R n stetig differenzierbar mit Df invertierbar für alle U. Dann ist V := fu R n offen. Insbesondere folgt: Ist f : U R n injektiv, so ist f : U V ein C Diffeomorphismus. Beweis: Sei V beliebig. Zeige: ε > mit U ε V. Dazu wähle U mit f =. Nach Voraussetzung ist Df invertierbar. Nach. eistiert daher offene Umgebungen U, V von bzw. = f mit U U und f : U V ist C Diffeomorphis, also insbesondere bijektiv. Es folgt: V = fu fu = V. Da V offen, eistiert ε > mit U ε V V. Damit ist V offen. Ist f injektiv, so ist dann f : U V bijektiv und f ist C Diffeomorphismus nach.. getext: Julia Wolters 95

14 Prof. Dr. Siegfried Echterhoff Analsis Vorlesung SS 9 SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Beispiel.3 Polarkoordinaten Sei f :, R R gegeben durch r r cosϕ f =. ϕ r sinϕ Dann ist f stetig differenzierbar mit Df det Df r = ϕ cosϕ r sinϕ und es gilt sinϕ r cosϕ r = rcos ϕ + sin ϕ = r > ϕ r r Es folgt Df ist invertierbar für alle und damit ist f überall lokal umkehrbar. ϕ { ϕ Setzte nun U =,, π, V = R \ } so ist f : U V bijektiv also nach. C Diffeomorphismus Für die Umkehrfunktion f : V U gilt dann nach.9 Ist = f folgt dann Df f r, so gilt f = ϕ r = Df ϕ Df = r = ϕ cosϕ r sinϕ sinϕ cosϕ r r = + und r = cosϕ, r = sinϕ. Damit 96 getext: Julia Wolters