Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Genial! Mathematik Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln

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2 Eine weitere herausragende Erfindung von Dr. Michael Winkelmann Miwin sche intransitive Primzahlen-Dodekaeder Alle Zahlen auf den drei Miwin schen Dodekaedern sind Primzahlen. Der Primzahlenbereich geht von 13 bis 83, die Summe aller Augenzahlen ist bei allen 564 PD11 PD12 PD Weitere Materialien finden Sie unter Genial! Mathematik Spielerische Mathematik mit Miwin schen Würfeln Analog zu den Miwin schen Würfeln gibt es auch die drei Miwin schen Dodekaeder, auch sie sind intransitiv. Ein Dodekaeder ist ein platonischer regelmäßiger Körper, dessen 12 Seiten aus regelmäßigen Fünfecken besteht. Er hat 20 Ecken und 30 Kanten. ISBN Genial! Mathematik Spielerische Mathematik mit Miwin schen Würfeln Bildungsverlag Lemberger _Miwin schen Würfeln-COVER.indd :29

3 Dr. Michael G. F. Winkelmann Genial! Mathematik Spielerische Mathematik mit Miwin schen Würfeln

4 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Kultur, GZ 5.343/0016-Präs.8/2011 vom , gemäß den aktuellen Lehrplänen zur Aufnahme in den Anhang zu den Schulbuchlisten an Hauptschulen, an allgemein bildenden Höheren Schulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik in der Klasse für geeignet erklärt. Schulbuchnummer: Impressum Autor: Dr. Michael G. F. Winkelmann Lektorat: Mag. Paul Mychalewicz Layout: Exakta GmbH 2. Auflage 2013 ISBN: Druck: Gedruckt in Österreich Gedruckt auf umweltfreundlichem Papier Alle Rechte vorbehalten, insbesondere das Recht der Verbreitung (auch durch Film, Fernsehen, Internet, fotomechanische Wiedergabe, Bild-, Ton- und Datenträger jeder Art) oder durch Nachdruck. Jegliche Nachahmung dieses Werkes in Konzept, Struktur und Layout ist untersagt! Bildungsverlag Lemberger Pointengasse 21 23/11, A-1170 Wien

5 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 5 2. Die Eigenschaften der Miwin schen Würfel 6 3. Spielen und Rechnen mit den Miwin schen Würfeln 12 Einfache Rechenspiele für zwei Kinder bzw. kleine Gruppen (bis 5) 12 Das Zählspiel 12 Das Zehnersprungspiel 12 Das kleine Summenspiel 12 Das große Summenspiel 12 Das Gerade-Ungerade-Spiel 12 Das kleine Malspiel 12 Fragen und Aufgaben zum Kennenlernen der Würfel 13 Grundrechnungen 13 Natürliche Zahlen 13 Würfel vergleichen 14 Stellenwert 14 Römische Zahlen 14 Teiler 14 Vielfachmengen 14 Dezimalzahlen 15 Grundlagen 15 Runden von Dezimalzahlen 15 Umwandeln von Dezimalzahlen in Brüche und umgekehrt 15 Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen 16 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen 16 Verbindung der vier Grundrechnungsarten mit Brüchen und Dezimalzahlen 16 Primzahlen 17 Primzahlen bis Grundrechnungsarten 18 Maße 18 Bruchzahlen 20 Würfelaufgaben 20 Das Bruchrechnungsspiel 21 Geometrie 23 Dreiecke 23 Kreis und Winkel 33 Rechteck und Quadrat 33 Quader und Würfel 34 Proportionalität 35 Direkte Proportionalität 35 Indirekte Proportionalität 35 Gleichungen 37 Grundlagen 37 Gleichungen mit einer Unbekannten 38 Gleichungen mit zwei Unbekannten 39 Textgleichungen 39 Verhältnis- und Bruchgleichungen 41 Konstruktion von Vierecken 44 Grundlagen 44 Parallelogramme 46 Trapez 47 Deltoid 48 Tangentenvierecke 49 Sehnenvierecke 49 Vielecke 49 Rationale Zahlen 50 Grundlagen 50 Koordinatensystem 52 Grundlagen 52 Zahlen vergleichen 53 Zahlen ordnen 53 Punkte spiegeln 54 Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen 53 Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen 56 Verbindung der Grundrechnungsarten 57 Potenzen 58 Grundlagen 58 Terme 60 Grundlagen 60 Terme multiplizieren 60 Herausheben von Faktoren 62 Binomische Formeln 63 Bildungsverlag Lemberger 3

6 Inhaltsverzeichnis Flächenberechnungen von ebenen Figuren 65 Fläche des Parallelogramms 65 Fläche des Trapezes 66 Gleichschenkliges Trapez 67 Fläche der Raute 67 Fläche des Deltoids 68 Fläche des Dreiecks 69 Fläche eines allgemeinen Vierecks 70 Verhältnisse 71 Grundlagen 71 Ähnlichkeiten 72 Strahlensatz 70 Quadratwurzeln 74 Quadratwurzeln ziehen 74 Würfelaufgaben 75 Satz des Pythagoras 76 Grundlagen 76 Der Thalessatz 77 Höhen- und Kathetensatz 78 Diagonale(n) im Quadrat und im Rechteck 81 Die Höhe(n) im gleichschenkligen Dreieck 82 Die Raute 82 Gleichschenkliges Trapez 83 Deltoid 84 Gleichseitiges Dreieck 85 Raumdiagonalen 86 Prozentrechnung 87 Grundlagen 87 Prozentwert 87 Grundwert 88 Prozentsatz 90 Zinsen 90 Effektiver Zinssatz 91 Das arithmetische Mittel 93 Grundlagen 93 Der Zentralwert 93 Die Spannweite 94 Irrationale Zahlen 95 Kubikwurzeln 96 Bruchterme 97 Grundlagen 97 Das Bruchtermenspiel 99 Der Kreis 100 Grundlagen 100 Flächeninhalt des Kreises 101 Kreisring 102 Kreisbogen 102 Kreisausschnitt 103 Körperberechnungen 104 Prismen 104 Pyramiden 105 Drehzylinder 106 Drehkegel 108 Kugel 110 Kugel und Würfel 111 Zusammengesetzte Körper 111 Lineare Funktionen 112 Grundlagen 112 Würfelaufgaben 114 Indirekt proportionale Funktionen 117 Quadratische Funktionen 118 Grundlagen 118 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 119 Grundlagen 119 Lösungsverfahren 120 Würfelaufgaben 121 Statistik 124 Mittelwert und Streuung 126 Grundlagen Spiele 130 Poison Oak 130 Ten 131 Femton 131 Fünf zu vier 131 Alle Neun 132 Wimyl 132 Sofist 134 Panzerknacker 134 Noff 136 Türmchen Lösungen 139 A Aufgabe L Lösung 4 Bildungsverlag Lemberger

7 1. Einleitung 1. Einleitung Die Miwin schen Würfel wurden 1975 in Wien vom Physiker Michael G. F. Winkelmann erfunden. Sie bestehen aus einem Satz dreier unterschiedlicher Würfel und überstreichen den Zahlen bereich von Eins bis Neun. Bildungsverlag Lemberger 5

8 2. Die Eigenschaften der Miwin schen Würfel 2. Die Eigenschaften der Miwin schen Würfel Die Miwin schen Würfel bestehen aus einem Satz dreier unterschiedlicher Würfel. Die Summe der Augenzahlen jedes einzelnen beträgt 30, der Mittelwert 5. Gegenüberliegende Augenzahlen der Würfel ergeben in Summe jeweils neun, zehn oder elf. Sie überstreichen den Zahlenbereich von Eins bis Neun. Es liegen jeweils die Zahlen 1 und 9, 2 und 7 sowie 3 und 8 gegenüber. Bei Würfel [III] sind die Antipoden außerdem 5 und 6, bei Würfel [IV] 4 und 5 und bei Würfel [V] 6 und 4. Die Bezeichnung des einzelnen Würfels erfolgt durch die Summe der beiden niedrigsten Augenzahlen und werden in römischen Ziffern geschrieben, es ist also: [III] : der Würfel mit den blauen Augen [IV] : der Würfel mit den orangen Augen [V] : der Würfel mit den schwarzen Augen Die Zahlenwerte der Würfel Würfel III: Würfel IV: Würfel V: 1 1 Würfel III _Miwin schen Würfeln.indd Würfel IV Würfel mit den blauen Augen Würfel mit den roten Augen Würfel mit den schwarzen Augen Würfel V Bildungsverlag Lemberger :39

9 Für die Rechnungen gilt: Notation: B = Gewürfelte Zahl des Würfels mit den blauen Augen (Würfel III) R = Gewürfelte Zahl des Würfels mit den roten Augen (Würfel IV) S = Gewürfelte Zahl des Würfels mit den schwarzen Augen (Würfel V) außerdem bedeutet [III] = Würfel III [IV] = Würfel IV [V] = Würfel V 2. Die Eigenschaften der Miwin schen Würfel Beispiel B R + 2 S heißt: gewürfelte Zahl des Würfels mit den blauen Augen [III] mal der gewürfelten Zahl des Würfels mit den roten Augen [IV] plus zwei mal der gewürfelten Zahl des Würfels mit den schwarzen Augen [V]. Bei einer Aufgabe bedeutet: (1.W) = erster Wurf, (2.W) = zweiter Wurf usw. Beispiel Im Teich schwimmen B R S Fische (1.W). Es werden B S Karpfen und R + S Hechte (2.W) eingesetzt. Die Hechte fressen R Karpfen (2.W). Wie viele Fische sind noch im Teich? Die drei Würfel sind derart gestaltet, dass es nach Wahl eines beliebigen Würfels immer einen anderen gibt, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 17:36 eine höhere Augenzahl und mit 16:36 eine kleinere Augenzahl würfelt. So gewinnt zyklisch [III] gegen [IV], [IV] gegen [V] und [V] wiederum gegen [III]. Es sind somit intransitive Würfel. 1/3 der Augen-Summen aller drei Miwin schen Würfel lässt sich durch 3 teilen ohne Rest. 1/3 der Augen-Summen aller drei Miwin schen Würfel lässt sich durch 3 teilen mit Rest 1. 1/3 der Augen-Summen aller drei Miwin schen Würfel lässt sich durch 3 teilen mit Rest 2. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine bestimmte Zahl mit allen drei Würfeln zu erhalten, beträgt 11/36, die für einen bestimmten Pasch 1/36, die für irgend einen beliebigen Pasch 1/4. Die Wahrscheinlichkeit, mit nur zwei Miwin schen Würfeln irgend einen Pasch zu würfeln, ist nur halb so groß wie mit normalen Würfeln, nämlich 1/12. Summenhäufigkeiten der Miwin schen Würfel: Bildungsverlag Lemberger 7

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