Hauptseminar SOI Regelalgorithmen für Totzeitsysteme

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1 Hauptseminar SOI 6. Juli 2006

2 Gliederung des Vortrags Motivation Grundlagen Totzeitsysteme und deren Schwierigkeiten Lösungsansätze für Totzeitsysteme Zusammenfassung

3 Gliederung des Vortrags Motivation Grundlagen Totzeitsysteme und deren Schwierigkeiten Lösungsansätze für Totzeitsysteme Zusammenfassung

4 Warum Beschäftigung mit Totzeitsystemen? Fallbeispiel: Plasmabeschichtungsanlage MAXI

5 Warum Beschäftigung mit Totzeitsystemen? Fallbeispiel: Plasmabeschichtungsanlage MAXI Aufgabe: Erzeugung einer konstanten Schichtdicke Problem: erst über 2 Minuten nach Beschichtung Messung der Schichtdicke möglich Folge: System weist Totzeitverhalten auf Lösung: Ist: manuelle Eingriffe durch Bedienpersonal Ziel: automatische Regelung der Anlage

6 Gliederung des Vortrags Motivation Grundlagen Totzeitsysteme und deren Schwierigkeiten Lösungsansätze für Totzeitsysteme Zusammenfassung

7 Denkwelt LTI-Systeme LTI ist englische Abkürzung für: linear, time-invariant Eigenschaften: linear (Verstärkungs- und Superpositionsprinzip) zeitinvariant (Verhalten zu jedem Zeitpunkt gleich) kausal (Ausgang nicht vor Eingang) Denken in Blöcken (Gliedern) Blockschaltbilder realitätsnah? eigentlich fast alles nichtlinear jedoch oft einfachere, lineare Modelle gewählt, wenn Abweichungen tolerierbar

8 Einige Beschreibungsmöglichkeiten von LTI-Systemen Zeitbereich Sprungantwort h(t): Differenzialgleichungen Bindeglied zwischen Zeit- und Bildbereich LAPLACE-Integral: F (s) = f (t) e st dt Bildbereich Übertragungsfunktionen G(s): BODE-Diagramm

9 LAPLACE-Transformation Eigenschaften Transformation zwischen rellem Zeitbereich t und komplexem Bildbereich s = σ + jω mit F (s) = f (t) e st dt Differenziation, Integration und Faltung einfacher im Bildbereich zu lösen ähnlich FOURIER-Transformation einige wichtige Korrespondenzen: Differenziationsregel: ḟ (t) s F (s) f (0) Verschiebungssatz: f (t a) e as F (s) für a > 0 Faltungssatz: z.b.: y(t) = t 0 t 0 f 1 (t τ) f 2 (τ)dτ F 1 (s) F 2 (s) g(t τ) x(τ)dτ G(s) X (s) = Y (s)

10 Regelung Standardregelkreis mit Einheitsrückführung Strecke fest, Regler variabel Bezeichner: w(t) Führungsgröße e(t) Regelabweichung y(t) Stellgröße z(t) Störgröße x(t) Regelgröße

11 Regelung (Fortsetzung) Anforderung und Aufgaben der Regelung Stabilisierung gutes Führungsverhalten (e( ) 0) gutes Kompensationsverhalten gegen Störungen (x( ) 0) kurzer Ausgleichsvorgang der Regelgröße x(t) geringes Überschwingen von x(t) Beachtung von Beschränkungen für Stellgröße y(t) weitgehende Parameterunempfindlichkeit

12 Gliederung des Vortrags Motivation Grundlagen Totzeitsysteme und deren Schwierigkeiten Lösungsansätze für Totzeitsysteme Zusammenfassung

13 Totzeitglieder (T t -Glieder) Wo treten Totzeiten auf? Transportvorgänge, hier T t = L v Messverzögerungen Wartesysteme

14 Totzeitglieder (T t -Glieder) (Fortsetzung) Beschreibung eines Totzeitgliedes im Zeitbereich: y(t) = x(t T t ) kein Differenzialoperator im Bildbereich: Y (s) = e} stt {{} X (s) G(s) keine gebrochen rationale Übertragungsfunktion Beispiel:

15 Sprungantworten eines T 1 - und T 1 -T t -Systems

16 BODE-Diagramm Eigenschaften graphische Darstellung logarithmischer Frequenzkennlinien mit s = jω für Amplitude G db und Phase Φ G(ω) db = 20 lg G(jω) Multiplikation wird zu Addition Φ(ω) = arctan Imaginärteil {G(jω)} Realteil {G(jω)} vereinfachte Konstruktion: Anteil Amplitude Phase P + K db 0 I 20 db/dekade 90 D +20 db/dekade +90 T t 0 db 1 T t ω (bei T t 57 )

17 BODE-Diagramm des offenen Regelkreises

18 Auswahl von Stabilitätskriterien im Zeitbereich BIBO-stabil, wenn Sprungantwort endlichem Grenzwert zustrebt (BIBO ist englische Abkürzung für: bounded input, bounded output) im Bildbereich (BODE-Diagramm) NYQUIST-Kriterium: geschlossener Regelkreis mit Einheitsrückführung ist stabil, wenn der offene Regelkreis positive Phasenreserve Φ R = Φ(ω D ) aufweist Konsequenz: Totzeitglieder destabilisieren Regelkreis wegen Phasenabsenkung

19 Verhalten des geschlossenen Regelkreises transientes Verhalten ist Einschwingverhalten bei Änderungen Nutzung der Phasenreserve Φ R aus offenem Kreis Überschwingen: ü[%] 70 Φ R [ ] Stabilitätsgrad Schnelligkeit (Anstiegszeit t R ) von T t -Glied nicht beeinflusst stationäres Verhalten ist Verhalten für t bleibende Regelabweichung e( ) durch Totzeitglieder nicht beeinflusst

20 Verhalten des geschlossenen Regelkreises (Fortsetzung)

21 Gliederung des Vortrags Motivation Grundlagen Totzeitsysteme und deren Schwierigkeiten Lösungsansätze für Totzeitsysteme Umwandlung in gebrochen rationale Übertragungsfunktion PID-Regler SMITH-Prädiktor Adaptive Regelung Zusammenfassung

22 Umwandlung in gebrochen rationale Übertragungsfunktion Elimination der e-funktion e-funktion als Grenzwert G(s) = e stt = lim n ( 1 Tt n s+1 ) n 1 ( T t n s+1 ) n entspricht Reihenschaltung von n mal T 1 -Glied mit T 1 = Tt n bei hoher Ordnung gute Näherung PADÉ-Approximation Entwicklung als gebrochen rationale Funktion mit Zählergrad m und Nennergrad n z.b. m = n = 1: G(s) = e stt 1 T t 2 s 1+ T t 2 s

23 Umwandlung in gebrochen rationale Übertragungsfunktion PADÉ-Approximationen verschiedener Ordnungen

24 PID-Regler Standardlösung: PID-Regler Eigenschaften einfach und bekannt weitverbreitet und damit kostengünstig P-Anteil + schnelle Reaktion + Anhebung der Amplitude günstige Verschiebung der Durchtrittsfrequenz ω D möglich

25 PID-Regler Standardlösung: PID-Regler (Fortsetzung) I -Anteil + verhindert bleibende Regelabweichung (e( ) 0) für Totzeitglied nicht notwendig Absenkung der Phase um 90 Phasenreserve Φ R sinkt D-Anteil + ermöglicht Blick in Zukunft ( Neigung des Signals) + Anhebung der Phase um 90 größere Phasenreserve Φ R verstärkt Rauschen

26 PID-Regler Grenzen und Alternativen des PID-Reglers Grenzen PID-Regler ist System 2. Ordnung, kann also nur diese beeinflussen (höhere Ordnungen können jedoch durch 2. Ordnung approximiert werden) nicht speziell für Totzeitsysteme ausgelegt einige Alternativen für Totzeitsysteme: SMITH-Prädiktor bei veränderlichen Parametern: adaptive Regelung

27 SMITH-Prädiktor Für Totzeitsysteme: SMITH-Prädiktor (1957) Eigenschaften Problem: verspätete Informationen Folge: Überschwingen, Instabilität Lösung: Regler mit Prozessmodell Vorhersage (Prädiktion)

28 SMITH-Prädiktor Für Totzeitsysteme: SMITH-Prädiktor (1957) Eigenschaften Problem: verspätete Informationen Folge: Überschwingen, Instabilität Lösung: Regler mit Prozessmodell Vorhersage (Prädiktion)

29 SMITH-Prädiktor Beurteilung des SMITH-Prädiktors Vorteile bei exaktem Prozessmodell Totzeit als pure Zeitverschiebung hinter Regelkreis verlegt Regler G R (s) bleibt PID-Regler mit unveränderten Parametern Nachteile empfindliche Reaktion bei Fehlern im Prozessmodell nur für konstante Totzeiten anwendbar äußere Störungen in Vorhersage nicht berücksichtigt

30 Adaptive Regelung Motivation für Erweiterungen Problem keine exakten Modelle für reale Anlage möglich Ursachen: Änderung der Betriebsbedingungen äußere Einflüsse Lösung adaptive Regelung Aufbau 2-teilig: Schätzung und Regelung Informationsgewinnung und Reglersynthese online

31 Adaptive Regelung Aufbau eines adaptiven Reglers

32 Adaptive Regelung Beurteilung der adaptiven Regelung Vorteile kein (exaktes) Prozessmodell notwendig Änderung des Prozessmodells online berücksichtigt höhere Genauigkeit möglich Nachteile höherer Aufwand und größere Kosten schwierige Stabilitätsanalyse auf Grund nichtlinearen Charakters

33 Gliederung des Vortrags Motivation Grundlagen Totzeitsysteme und deren Schwierigkeiten Lösungsansätze für Totzeitsysteme Zusammenfassung

34 Zusammenfassung Wahl der Lösung abhängig von Genauigkeitsanforderung der Anlage Aufwand und Kosten vorgestellte Lösungen Umwandlung der e-funktion in gebrochen rationale Übertragungsfunktion PID-Regler als Standardlösung SMITH-Prädiktor für Totzeitsysteme adaptive Regelung bei veränderlichen Parametern

35 Anwendbarkeit auf Plasmabeschichtungsanlage MAXI? nicht oder nur unzureichend betrachtet MIMO-Systeme (MIMO ist englische Abkürzung für: multiple input, multiple output) unbekannte oder ungewisse Systembeschreibung technische Realisierung: digitale Regelung Wahl der Abtastrate Stellgrößenbeschränkung etc. Signalmodelle (deterministisch, stochastisch) Störungen bedeutend größere Komplexität als aufgezeigte Beispiele kein allgemeingültiger Lösungsvorschlag möglich

36 Ende Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

37 Ende Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Und nun besteht noch etwas Zeit, um Fragen zu stellen...