4.4. Aufgaben zu Potenzfunktionen

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1 .. Aufgaben zu Potenzfunktionen Definition: Eine Funktion der Form f() = c z mit z Z\{;} heißt Potenzfunktion. Aufgabe : Potenzfunktionen mit positiven Eponenten (Parabeln). Ergänze: Eigenschaften der Potenzfunktionen - Smmetrie: Eine Funktion f heißt gerade bzw. achsensmmetrisch zur -Achse =, falls f( ) = und ungerade bzw. punktsmmetrisch zum Ursprung O( ), falls f( ) = für alle D. Beispiele f() = 8 ist gerade, da f( ) = ( ) 8 = = f() = 7 ist ungerade, da f( ) = ( ) 7 = =

2 Aufgabe : Potenzfunktionen mit negativen Eponenten (Hperbeln). Ergänze: Asmptoten Eine Asmptote ist eine Näherungsgerade im Schaubild einer Funktion f: Das Schaubild kommt ihr für betragsgroße oder beliebig nahe. Senkrechte Asmptoten nennt man auch Polstellen. Grenzwert einer Funktion für ± Eine Funktion f strebt für ± gegen den Grenzwert (lat. limes) a, wenn die Funktionswerte f() für genügend kleine bzw. große beliebig nahe an die Zahl a : lim f() = a. Das Schaubild von f besitzt dann für ± eine waagrechte Asmptote = a. Definitions- und Wertebereiche: = z z gerade z ungerade z > z <

3 Aufgabe : Bestimmung von Funktionsgleichungen aus gegebenen Schaubildern a) Ordne die Schaubilder - aus der nebenstehenden b) Ordne die Schaubilder - aus der untenstehenden Abbildung den folgenden Funktionen zu und überprüfe deine Abbildung den folgenden Funktionen zu und überprüfe deine Entscheidung durch Einsetzen eines geeigneten Punktes. Entscheidung durch Einsetzen eines geeigneten Punktes. =,, =, =, und =. =,, =, = und = c) Bestimme die Faktoren c i für die Schaubilder der Funktionen f i () = c i mit i {, ; } aus der untenstehenden Abbildung durch Einsetzen eines geeigneten Punktes. d) Bestimme die Faktoren c i für die Schaubilder der Funktionen f () = c und f () = c aus der untenstehenden Abbildung durch Einsetzen eines geeigneten Punktes Aufgabe : Bestimmung von Funktionsgleichungen aus gegebenen Punkten Bestimme die Gleichung der Potenzfunktion f() = c n, deren Schaubild durch die Punkte P und Q verläuft. a) P(,) und Q( ) c) P(, ) und Q(, 8) e) P( ) und Q( 8) b) P( ) und Q(,) d) P(, 8) und Q( ) f) P( 7 ) und Q( )

4 Aufgabe : Smmetrie Untersuche die folgenden Funktionen auf Punkt- und Achsensmmetrie und skizziere ihre Schaubilder: a) f() = d) f() = g) f() = j) f() = b) f() = + e) f() = + h) f() = k) f() = c) f() = + f) f() = i) f() = l) f() =. Aufgabe 6: Smmetrie Gib die Gleichung einer Funktion an, die a) sowohl gerade als auch ungerade b) smmetrisch zur -Achse ist Aufgabe 7: Verschiebungen Gib die Gleichung der Funktion an, die man erhält, wenn man das Schaubild von f um in -Richtung und in - Richtung verschiebt. Untersuche ihr Schaubild auf Smmetrie, Hoch- und Tiefpunkte, Asmptoten und Grenzwerte. a) f() = um = nach rechts und = nach unten c) f() = um = nach links und = nach oben b) f() = um = nach rechts und = nach oben d) f() = um = nach links und = nach unten Aufgabe 8: Verschiebungen Untersuche das Schaubild von f auf Smmetrie, Hoch- und Tiefpunkte, Asmptoten und Grenzwerte. Gib die Gleichung der ursprünglichen Potenzfunktion an, und durch welche Verschiebung es aus dieser Potenzfunktion hervorgegangen ist. a) f() = + e) f() = b) f() = + + f) f() = c) f() = g) f() = d) f() = 6 h) f() = Aufgabe 9: Smmetrienachweis durch Verschiebung Überprüfe die Smmetrie der folgenden Funktionen. a) f() = 6 + zur Senkrechten = c) f() = zu P( ) b) f() = + zur Senkrechten = d) f() = + zu P( ) Aufgabe : Monotonie Gib die Intervalle an, auf denen die Funktionen aus Aufgabe 6 a) streng monoton steigend b) monoton steigend c) streng monoton fallend sind Aufgabe : Umkehrfunktionen Gib die Gleichung und den Definitionsbereich der Umkehrfunktionen zu den Funktionen aus Aufgabe 6 an.

5 Aufgaben und : siehe Skript.. Lösungen zu den Aufgaben zu Potenzfunktionen Aufgabe : Bestimmung von Funktionsgleichungen aus gegebenen Schaubildern a) : =,, : =,, : = und : =. b) : =, : =,, : = und : =. c) f () =, f = und f = 7. d) f = und f () =. Aufgabe : Bestimmung von Funktionsgleichungen aus gegebenen Punkten a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = 7 f() = f) f() = Aufgabe : Smmetrie Die Smmetriezentren bzw. Smmetrieachsen sind: a) O( ) d) O( ) g) = j) = b) P( ) e) P( ) h) O( ) k) = c) = f) = i) P( ) l) =. Aufgabe 6: Smmetrie a) f() = b) f() = Aufgabe 7: Verschiebungen a) = ( ) = 6 + ist smmetrisch zu P( ) b) = ( + ) + = ist smmetrisch zur Senkrechten = c) = + = ( ) + = 9 9 ist smmetrisch zu P( ), hat eine senkrechte Asmptote bei = und eine waagrechte Asmptote bei = : f() für ± d) = = ( ) 8 6 = 7 ist smmetrisch zur senkrechten Asmptoten bei = 8 6 und hat eine waagrechte Asmptote bei = : f() für ± Aufgabe 8: Verschiebungen a) f() = ( + ) ist eine um = nach links und = nach unten verschobene Parabel. Grades, die smmetrisch zur Senkrechten bei = ist. b) f() = ( ) + ist eine um = nach rechts und = nach oben verschobene Parabel. Grades, die smmetrisch zum Punkt P( ) ist. c) f() = ( + ) 7 ist eine um = nach links und = 7 nach unten verschobene Parabel. Grades, die smmetrisch zum Punkt P( 7) ist. d) f() = ( + ) + ist eine an der -Achse gespiegelte sowie um = nach links und = nach oben verschobene Parabel. Grades, die smmetrisch zur Senkrechten bei = ist. e) f() = + ist eine um = nach links und = nach oben verschobene Hperbel. Grades, die smmetrisch zum Punkt P( ) ist. Sie hat eine senkrechte Asmptote bei = und eine waagrechte Asmptote bei = : f() für ± f) f() = ist eine um = nach rechts und = nach oben verschobene Hperbel. Grades, die smmetrisch zum Punkt P( ) ist. Sie hat eine senkrechte Asmptote bei = und eine waagrechte Asmptote bei = : f() für ± g) f() = + ist eine um = nach rechts und = nach oben verschobene Hperbel. Grades, die ( ) smmetrisch zur senkrechten Asmptote = ist. Sie hat eine waagrechte Asmptote bei = : f() für ±

6 h) f() = + ist eine um = nach links und = nach oben verschobene Hperbel. Grades, die ( ) smmetrisch zur senkrechten Asmptote = ist. Sie hat eine waagrechte Asmptote bei = : f() für ± Aufgabe 9: Smmetrienachweis durch Verschiebung a) f( + ) = + c) f( + ) = b) f( + ) = d) f( ) + = Aufgabe : Monotonie a) f() = ( + ) ist streng monoton fallend auf ] ; ] und streng monoton steigend auf [ ; [ b) f() = ( ) + streng monoton steigend auf ganz R c) f() = ( + ) 7 streng monoton steigend auf ganz R d) f() = ( + ) + ist streng monoton steigend auf ] ; ] und streng monoton fallend auf [ ; [. e) f() = + ist streng monoton fallend auf R\{ } f) f() = ist streng monoton fallend auf R\{} g) f() = + ist streng monoton steigend auf ] ; [ und streng monoton fallend auf ]; [. ( ) h) f() = ( ) + ist streng monoton steigend auf ] ; [ und streng monoton fallend auf ] ; [. Aufgabe : Umkehrfunktionen a) f () = mit D = [ ; [ e) f () = b) f () = + mit D = [; [ f) f () = c) f () = 7 mit D = [ 7; [ g) f () = d) f () = mit D = ] ; ] h) f () = mit D = R \ {} + mit D = R \ { } + mit D = ]; [ mit D = ]; [ 6