4.2 Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition 4.2.1

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1 Allgemeines. Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition.. (a) Ein Graph G =(V, E) heißt kreisfrei, wenn er keinen Kreis besitzt. Beispiel: Ein kreisfreier Graph: FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

2 Allgemeines Definition.. (Fortsetzung) (b) Ein Graph G heißt ein freier Baum (oder nur Baum), wenn er zusammenhängend und kreisfrei ist. Beispiel: Ein (freier) Baum: 0 Knoten, 9 Kanten. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

3 Allgemeines Anmerkung: Die Zusammenhangskomponenten eines kreisfreien Graphen sind freie Bäume. Kreisfreie Graphen heißen daher auch (freie) Wälder. Lemma.. Sei G =(V, E) ein Graph mit n = V und m = E. Dann gilt: (a) Wenn G kreisfrei ist, gilt m n. (b) Wenn G zusammenhängend ist, gilt m n. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

4 Allgemeines Fundamental-Lemma.. über freie Bäume Wenn G =(V, E) ein Graph ist, mit Knotenzahl n = V und Kantenzahl m = E, dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) G ist ein Baum. (b) G ist kreisfrei und m n. (c) G ist zusammenhängend und m n. (d) Zu jedem Paar u, v von Knoten gibt es genau einen einfachen Weg von u nach v. (e) G ist kreisfrei, aber das Hinzufügen einer beliebigen weiteren Kante erzeugt einen Kreis (G ist maximal kreisfrei ). (f) G ist zusammenhängend, aber das Entfernen einer beliebigen Kante erzeugt einen nicht zusammenhängenden Restgraphen (G ist minimal zusammenhängend ). FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

5 Allgemeines Beweis des Fundamentallemmas: Für Interessierte in einer eigenen Notiz nachzulesen (siehe Webseite). Wir benutzen das Fundamental-Lemma über freie Bäume in der folgenden Weise: () Wenn G ein Baum ist, erfüllt G alle genannten Eigenschaften (a) (f). () Wenn wir eine der Eigenschaften nachweisen, hat sich G als Baum erwiesen. Aussagen, die aus dem Fundamental-Lemma über Bäume folgen: G sei Baum mit n Knoten. Dann gilt: () G hat n Kanten. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

6 Allgemeines () Wenn man zu G eine Kante (u, w) hinzufügt, entsteht genau ein Kreis (aus (u, w) und dem eindeutigen Weg von u nach w in G). u w FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 6

7 Allgemeines () Wenn man aus G eine Kante (u, w) streicht, zerfällt der Graph in Komponenten U = {v V v von u aus über Kanten aus E {(u, w)} erreichbar}; W = {v V v von w aus über Kanten aus E {(u, w)} erreichbar}. U W u w FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 7

8 Allgemeines Definition.. Es sei G =(V, E) ein zusammenhängender Graph. Eine Menge T E von Kanten heißt ein Spannbaum für G, wenn (V, T ) ein Baum ist. Beispiel: FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 8

9 Allgemeines Klar: Jeder zusammenhängende Graph hat einen Spannbaum. (Iterativer Prozess: Starte mit E. Solange es Kanten gibt, die auf einem Kreis liegen, entferne eine solche Kreiskante. Der Zusammenhang bleibt stets erhalten; schließlich muss der Rest-Graph kreisfrei sein.) FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 9

10 Allgemeines Definition.. Es sei G =(V, E, c) ein gewichteter Graph, d.h. c : E R ist eine Gewichtsfunktion oder Kostenfunktion. Kantenkosten modellieren: Herstellungskosten Leitungsmiete... FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 0

11 Allgemeines (a) Jeder Kantenmenge E E wird durch ein Gesamtgewicht zugeordnet. c(e ) := e E c(e) Gesamtgewicht: = 0. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

12 Allgemeines (b) Sei G zusammenhängend. Ein Spannbaum T E für G heißt ein minimaler Spannbaum, wenn c(t ) = min{c(t ) T Spannbaum von G}, d.h. wenn er minimale Kosten unter allen Spannbäumen hat. Abkürzung: MST ( minimum spanning tree ). Zwei minimale Spannbäume, jeweils mit Gesamtgewicht 8. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

13 Allgemeines Klar: Jeder Graph besitzt einen MST. (Es gibt nur endlich viele Spannbäume.) Achtung: Es kann mehrere verschiedene MSTs geben (die alle dasselbe Gesamtgewicht haben). Aufgabe: Zu gegebenem G =(V, E, c) finde einen MST T. Hier: Algorithmus von Jarník/Prim Algorithmenparadigma: greedy ( gierig ). Baue Lösung Schritt für Schritt auf. (Hier: wähle eine Kante für T nach der anderen.) Treffe in jedem Schritt die (lokal) günstigste Entscheidung Algorithmus von Jarník/Prim: Ähnlichkeit zum Dijkstra-Algorithmus. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

14 Jarník/Prim Algorithmus von Jarník/Prim: S: Menge von Knoten. Enthält die bisher erreichten Knoten. R: Menge von Kanten. Enthält die bisher gewählten Kanten. () Wähle einen beliebigen (Start-)Knoten s V. S {s}; R ; () Wiederhole (n )-mal: Finde w S und u V S, so dass c(w, u) minimal unter allen Werten c(w, u ), w S, u V S, ist. S S {u}; R R {(w, u)}; () Ausgabe: R. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

15 Jarník/Prim Beispiel (Jarník/Prim): FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0

26 Schnitteigenschaft Die Schnitteigenschaft Für den Korrektheitsbeweis des Algorithmus von Jarník/Prim: Cut property Schnitteigenschaft Eine Partition (S, V S) mit S V heißt ein Schnitt. V S S FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 6

27 Schnitteigenschaft Definition..6 Die Schnitteigenschaft Eine Menge R E heißt erweiterbar (zu einem MST), wenn es einen MST T mit R T gibt. R ist erweiterbar, denn es gibt einen MST T R. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 7

28 Schnitteigenschaft Die Schnitteigenschaft Behauptung (Schnitteigenschaft): Wenn R E erweiterbar ist und (S, V S) ein Schnitt, so dass keine Kante aus R von S nach V S verläuft, und wenn e =(v, w), v S, w V S eine Kante ist, die den Wert c((u, x)), u S, x V S, minimiert, dann ist auch R {e} erweiterbar. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 8

29 Schnitteigenschaft Die Schnitteigenschaft Beweis der Schnitteigenschaft: Sei R E, sei T R ein MST; sei (S, V S) ein Schnitt, so dass keine Kante aus R von S nach V S verläuft; sei e S (V S) mit minimalem c(e).. Fall: e T. Dann gilt R {e} T, also ist R {e} erweiterbar, fertig. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 9

30 Schnitteigenschaft. Fall: e / T. Die Schnitteigenschaft R: Rest: S V S Eine erweiterbare Menge R. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 60

31 Schnitteigenschaft. Fall: e / T. Die Schnitteigenschaft R: Rest: T R: S V S MST T mit R T. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 6

32 Schnitteigenschaft. Fall: e / T. Die Schnitteigenschaft R: Rest: T R: v e w S V S e =(v, w) minimiert c((u, x)), u S, x V S. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 6

33 Schnitteigenschaft. Fall: e / T. Die Schnitteigenschaft R: Rest: T R: v e w e S V S Weg in T von v nach w wechselt von S nach V S bei Kante e. Es entsteht ein Kreis in T {e}, auf dem e und e liegen. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 6

34 Schnitteigenschaft. Fall: e / T. Die Schnitteigenschaft R: Rest: T R: v e w S V S Entferne e,füge e hinzu: T e := (T {e }) {e}. Neuer Spannbaum T e R {e}. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 6

35 Schnitteigenschaft. Fall: e / T. Die Schnitteigenschaft R: Rest: T R: v e w S V S Weil c(e) c(e ) (Minimalität von c(e) über den Schnitt (S, V S)): c(t e ) c(t ), also ist T e wieder ein MST. Also: R {e} ist erweiterbar. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 6

36 Korrektheit von Jarník/Prim Korrektheit des Algorithmus von Jarník/Prim: R i : Kantenmenge (Größe i), die nach Runde i in R steht. S i : Knotenmenge (Größe i + ), die nach Runde i in S steht. Weil in jeder Runde ein Knoten und eine Kante hinzukommt, und man an die schon vorhandene Knotenmenge anschließt, ist jedes R i kreisfrei und zusammenhängend, also ein Baum. Die Kanten von R i verbinden genau die Knoten von S i. Zu zeigen: R n ist ein MST für G. Weil R n kreisfrei ist und n Kanten hat, ist R n Spannbaum. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 66

37 Korrektheit von Jarník/Prim Induktionsbehauptung IB(i): R i ist erweiterbar. (Dies beweisen wir durch Induktion über i =0,,..., n.) Dann besagt IB(n ), dass T R n ist für einen MST T. Weil alle Spannbäume n Kanten haben und R n auch n Kanten hat, ist T = R n, also ist die Ausgabe R n ein MST. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 67

38 Korrektheit von Jarník/Prim I.A.: i = 0. R 0 =, und es gibt einen MST T für G. I.V.: i n und R i ist erweiterbar. I.S.: (S i, V S i ) ist ein Schnitt, und keine Kante von R i überquert diesen Schnitt. Der Algorithmus von Jarník/Prim wählt unter allen Kanten, die den Schnitt überqueren, eine billigste Kante e, und bildet R i := R i {e}. Mit der Schnitteigenschaft folgt: R i ist erweiterbar. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 68

39 Jarník/Prim: Implementierungsdetails Implementierungsdetails im Algorithmus von Jarník/Prim: Wir nehmen an, dass G =(V, E, c) mit V = {,..., n} in Adjazenzlistendarstellung gegeben ist. Die Kantengewichte c(e) stehen in den Adjazenzlisten bei den Kanten. Für jeden Knoten v V S wollen wir immer wissen: ) die Länge d(v) der billigsten Kante (u, v), u S, falls eine existiert: in dist[v] ( Abstand von S ) ) den (einen) (Vorgänger-)Knoten p(v) =u S mit c(u, v) =d(v), falls ein solcher existiert. Falls es von S keine Kante nach v gibt, setzen wir d(v) = und p(v) =. Verwalte die Knoten v V S mit Werten d(v) < mit den d(v)-werten als Schlüssel in einer Priority-Queue PQ. Wenn d(v) =, ist v (noch) nicht in der PQ. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 69

40 Jarník/Prim: Implementierungsdetails Jarnik/Prim-mit-Priority-Queue(G, s) Eingabe: gewichteter Graph G =(V, E, c), V = {,..., n}, Startknoten s; Ausgabe: Ein MST für G. Hilfsstrukturen: PQ: eine (leere) Priority-Queue; ins, p, id: wie oben () for v from to n do ins[v] false; p[v] ; () ins[s] true; p[s] ; () for Knoten v mit (s, v) E do () dist[v] c(s, v); p[v] s; id[v] PQ.insert(dist[v],v); () while not PQ.isempty do (6) (id, d, u) PQ.extractMin; ( Identität, Distanz, Knotenname ) (7) ins[u] true; (8) for Knoten v mit (u, v) E and not ins[v] do (9) dd c(u, v); ( einziger Unterschied zu Dijkstra! ) (0) if p[v] 0 and dd < dist[u] then () PQ.decreaseKey(id[v],dd); p[v] u; () if p[v] = ( v vorher nicht erreicht ) then () dist[v] dd; p[v] u; id[v] PQ.insert(dd,v); () Ausgabe: Kantenmenge T = {(v, p[v]) v S {s}}. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 70

41 Jarník/Prim: Implementierungsdetails Zeitanalyse: Exakt wie für den Dijkstra-Algorithmus. Satz..7 Der Algorithmus von Jarník/Prim mit Verwendung einer Priority-Queue, die als Binärheap realisiert ist, ermittelt einen minimalen Spannbaum für G =(V, E, c) in Zeit O((n + m) log n). Wie beim Algorithmus von Dijkstra: Wenn man Fibonacci-Heaps o.ä. verwendet, bei denen m decreasekey-operationen Zeit O(m) benötigen: Laufzeit für Jarník/Prim: O(m + n log n). FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 7

42 . Der Auch dieser Algorithmus löst das MST-Problem. Anderer Ansatz als bei Jarník/Prim: Probiere Kanten in aufsteigender Reihenfolge des Kantengewichts, und wähle eine Kante für den zu bauenden MST, wenn sie die Kreisfreiheitseigenschaft nicht verletzt. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 7

43 . Schritt: Sortiere die Kanten e,..., e m nach den Gewichten c(e ),..., c(e m ) aufsteigend. Also O.B.d.A.: c(e )... c(e m ).. Schritt: Setze R.. Schritt: Für i =,,..., m tue folgendes: Falls R {e i } kreisfrei ist, setze R R {e i } ( sonst, d.h. wenn e i einen Kreis schließt, bleibt R unverändert ) ( Optional: Beende Schleife, wenn R = n. ). Schritt: Die Ausgabe ist R. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 7

44 Beispiel (Kruskal): FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 7

85 Uns interessieren: ) Korrektheit; ) Laufzeit (später) Korrektheit des : R i : Kantenmenge, die nach Runde i in R steht. Weil dies im. Schritt getestet wird, ist sichergestellt, dass jedes R i kreisfrei, also ein Wald ist. Zu zeigen: R m ist ein MST für G. Erinnerung: R E heißt erweiterbar, wenn R T für einen MST T. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 7

86 Induktionsbehauptung IB(i): R i ist erweiterbar. (Beweis gleich, durch Induktion über i =0,,..., m.) Dann besagt IB(m), dass R m T ist für einen MST T. Beh.: Es gilt auch T R m. (Also gilt Gleichheit, und R m ist ein MST.) (Beweis der Beh.: Sei e T. Dann ist e = e i für ein i, und e i wurde in Runde i getestet. Weil R i R m T und e i T, ist R i {e i } T, also ist R i {e i } kreisfrei, also fügt der Algorithmus die Kante e i in Runde i zu R hinzu, also gilt e i R m.) FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 76

87 Induktionsbehauptung IB(i): R i ist erweiterbar. I.A.: R 0 = ist erweiterbar. I.V.: i < m und R i ist erweiterbar. I.S.: Nun wird Runde i mit Kante e i ausgeführt.. Fall: R i {e i } enthält einen Kreis. Dann ist R i = R i, also R i erweiterbar.. Fall: R i {e i } ist kreisfrei. Sei e i =(v, w). Definiere S := {u V im Wald (V, R i ) ist u von v aus erreichbar}. (S ist die Zusammenhangskomponente von v in (V, R i ).) Weil R i {e i } kreisfrei ist, folgt w V S. Klar: Keine R i -Kante verbindet S und V S. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 77

88 Behauptung: c(e i ) ist minimal unter allen c(e ) mit e =(v, w ), v S, w V S. Beweis indirekt: Annahme: Es gibt e =(v, w ) mit v S, w V S und c(e ) < c(e i ). e = e j mit j < i (weil Kanten nach Kosten aufsteigend sortiert sind) e = e j wurde in Runde j < i untersucht. Weil e zwischen zwei Zusammenhangskomponenten von (V, R i ) verläuft, ist R i {e } kreisfrei. R j R i = R j {e } ist kreisfrei. Algo = e R j R i, Widerspruch. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 78

89 Gesehen: c(e i ) ist minimal unter allen c((v, w)), v S, w V S. Nach der Schnitteigenschaft folgt: R i = R i {e i } ist erweiterbar, und das ist die Induktionsbehauptung. Ende des Korrektheitsbeweises für den. FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen Sommersemester 0 79