Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung

Transkript

1 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage, Sankt Gallen, Verlag Wilhelm Surbir Seiten

2 2 1 Einstimmung Gegeben sei eine Funktion z = f(x, y). Zusätzlich sei eine Nebenbedingung in Form einer Gleichungen gegeben. Wir suchen ein Extrema der Funktion unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. Beispiel 1.1 Es bezeichne p 1 und p 2 die Preise von zwei Gütern und I das verfügbare Einkommen einer Person. Weiterhin sei u(c 1, c 2 ) eine Nutzenfunktion, d.h. eine Funktion die den Nutzen (Grad der Bedürfnisbefriedigung der Person) als Funktion der konsumierten Mengen c 1 und c 2 der beiden Güter darstellt. Wir suchen einen Konsumplan (c 1, c 2 ) (c 1, c 2 0), welcher die Nutzenfunktion u(c 1, c 2 ) unter der Budgetrestriktion p 1 c 1 + p 2 c 2 = I maximiert, also kurz zu maximierende Zielfunktion : u(c 1, c 2 ) Nebenbedingung : φ(c 1, c 2 ) = p 1 c 1 + p 2 c 2 I = 0 Beispiel 1.2 Ein Produzent mit der Produktionsfunktion f(k, A) will den Output b möglichst kostengünstig herstellen. Es bezeichne: K : Kapital(einsatz) A : Arbeit(seinsatz) r : Kostensatz für Kapitalbenutzung w : Lohnsatz Wir suchen einen Produktionsplan (K, A ) (K, A 0), welcher die Produktionskosten C(K, A) = r K + w A unter der Nebenbedingung f(k, A) = b minimiert, also kurz zu minimierende Zielfunktion : C(K, A) = r K + w A Nebenbedingung : φ(k, A) = f(k, A) b = 0

3 3 Allgemeine Formulierung: Gesucht ist (x, y ), so dass die Zielfunktion z = f(x, y) unter der Nebenbedingung φ(x, y) = 0 maximiert (resp. minimiert) wird. z Maximum Maximum unter der Nebenbedingung y φ(x,y)=0 x

4 4 2 Die Reduktionsmethode In einfachen Fällen lässt sich die Nebenbedingung φ(x, y) = 0 nach y auflösen, d.h. es gibt eine (explizit darstellbare) Funktion h(x) so dass: φ(x, y) = 0 y = h(x). Dann kann die Variable y aus der Zielfunktion eliminiert werden und man erhält eine Funktion die nur noch von der Variablen x abhängt. Beispiel 2.1 Wir betrachten die Nebenbedingung φ(x, y) = x 3 e 2y = 0. Diese kann leicht nach y aufgelöst: φ(x, y) = x 3 e 2y = 0 y = h(x) = 3 2 ln(x) und in jede Zielfunktion eingesetzt werden. Das neue Problem ist dann die Maximierung (resp. Minimierung) der Funktion (in einer Variablen) F(x) = f(x, h(x)) mit den Methoden des vorhergehenden Kapitels. Beachte: Die Nebenbedingung φ(x, y) = 0 stellt nicht immer einen funktionalen Zusammenhang zwischen x und y dar. Deshalb ist die Reduktionsmethode nicht immer anwendbar. Gravierend ist auch der Nachteil, dass die ökonomische Interpretation der Optimalitätsbedingungen bei Nutzung der Reduktionsmethode meist Probleme bereitet.

5 5 Aufgabe 2.1 Maximieren Sie die Funktion u(c 1, c 2 ) = 5 ln(c 1 + 3) + ln(c 2 + 1) unter der Nebenbedingung φ(c 1, c 2 ) = 2c 1 + c 2 5 = c c1 2 4

6 6

7 7 3 Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren 3.1 Konstruktion der Methode Wir haben wieder ein Optimierungsproblem der allgemeinen Gestalt zu lösen: zu maximierende (minimierende) Zielfunktion : f(x, y) = z Nebenbedingung : φ(x, y) = 0 Fläche im Raum Kurve in der x-y-ebene z Maximum Maximum unter der Nebenbedingung y φ(x,y)=0 x Tatsächlich interessieren uns also nur die Punkte auf der durch z = f(x, y) definierten Fläche, deren x-y-koordinaten die Nebenbedingung φ(x, y) = 0 erfüllen. Geometrisch sind das genau die Punkte auf der Fläche, deren Projektionen in die x-y-ebene auf der durch φ(x, y) = 0 definierten Kurve liegen. Die Fläche z = f(x, y) wollen wir uns nun durch eine Schar von Niveaulinien veranschaulichen: f(x, y) = c = konstant c 0 < c 1 < c < c 2 < c 3 Nehmen wir an, dass der Punkt M = (x, y ) der gesuchte Punkt ist, d.h. es gilt φ(x, y ) = 0 und f(x, y ) f(x, y) für alle (x, y) mit φ(x, y) = 0.

8 8 y φ(x,y)=0 y* x* x c 4 c 3 c* c 1 c 0 Im Punkt M berührt die Kurve φ(x, y) = 0 eine Niveaulinie f(x, y) = c, das heisst, die Kurve und die Niveaulinie haben in M gleiche Tangentensteigung. Daraus folgt mittels impliziter Differentiation, dass f x (x, y ) f y (x, y ) = φ x(x, y ) φ y (x, y ) oder kurz oder f x = φ x f y φ y f x = f y φ x φ y gelten muss.

9 9 Wiederholung der impliziten Differentiation und der Kettenregel: Falls φ y (x,y ) 0 ist, lässt sich die Funktion φ(x,y) = 0 lokal (in der Nähe von x ) nach y auflösen: y = h(x) und es gilt dann φ(x,h(x)) = 0. Damit gilt einerseits für die Nebenbedingung oder 0 = φ (x,h(x)) x = φ x (x,h(x )) + φ y (x,h(x )) h (x ) = φ x (x,y ) + φ y (x,y ) h (x ) h (x ) = φ x(x,y ) φ y (x,y ). Nutzen wir diese lokale Darstellung von y, so nimmt unsere Zielfunktion die Gestalt F(x) = f(x,h(x)) an und eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximums oder Minimums in x ist oder 0 = F (x) x = f x (x,h(x )) + f y (x,h(x )) h (x ) = f x (x,y ) + f y (x,y ) h (x ) h (x ) = f x(x,y ) f y (x,y ) Durch Kombination beider Gleichungen erhält man nun f x (x,y ) f y (x,y ) = φ x(x,y ) φ y (x,y ).

10 10 Dieses Verhältnis wird mit λ abgekürzt: f x φ x = λ f y φ y = λ. Die Zahl λ wird dabei als Lagrange-Multiplikator bezeichnet. Es ist also f x = λφ x und f y = λφ y oder f x + λφ x = 0 und f y + λφ y = 0 Insgesamt müssen also in unserem gesuchten Punkt M = (x, y ) folgende drei Gleichungen erfüllt sein: 1. 0 = f x (x, y ) + λφ x (x, y ) 2. 0 = f y (x, y ) + λφ y (x, y ) 3. 0 = φ(x, y ) Betrachtet man die drei Gleichungen, so stellt man fest: Ihre rechten Seiten sind gerade die partiellen Ableitungen der Funktion F(x, y, λ) = f(x, y) + λ φ(x, y) nach x, y und λ. Das bringt uns zu einer kompakten Formulierung des oben konstruierten Algoritmus, die wir im folgenden Satz zusammenfassen. Satz 3.1 (Lagrange sche Multiplikatorregel für 2 Variablen) Zur Bestimmung der Extremwerte einer Funktion z = f(x, y) mit der Nebenbedingung φ(x, y) = 0 bildet man die Lagrange-Funktion F(x, y, λ) = f(x, y) + λ φ(x, y). Aus dem Gleichungssystem (drei Gleichungen und drei Unbekannte) F x = 0 F y = 0 F λ = 0 werden dann die Koordinaten des möglichen Extremwertes sowie der Lagrange-Multiplikator berechnet.

11 11 Aufgabe 3.1 In der Literatur wird das Verhältnis der partiellen Ableitungen von Zielund Nebenbedingungsfunktion oft auch mit λ abgekürzt: f x φ x = λ f y φ y = λ. Das führt zu eine anderen Lagrange-Funktion F neu (x, y, λ) = f(x, y) λ φ(x, y). Überlegen Sie sich, dass F und F neu die selben Extremalpunktkandidaten liefern.

12 12 Die Lagrange sche Multiplikatorregel lässt sich direkt auf Funktionen in mehreren Variablen mit einer Nebenbedingung übertragen: Satz 3.2 (Lagrange sche Multiplikatorregel für n Variablen) Zur Bestimmung der Extremwerte einer Funktion z = f(x 1, x 2,, x n ) mit der Nebenbedingung φ(x 1, x 2,, x n ) = 0 bildet man die Lagrange-Funktion in n + 1 Variablen F(x 1, x 2,, x n, λ) = f(x 1, x 2,, x n ) + λ φ(x 1, x 2,, x n ). Aus dem Gleichungssystem (n + 1 Gleichungen und n + 1 Unbekannte) F x1 = 0 F x2 = 0 F xn = 0 F λ = 0 werden dann die Koordinaten des möglichen Extremwertes sowie der Lagrange-Multiplikator berechnet.

13 Aufgabe 3.2 Man bestimme mögliche Extremalstellen der Funktion f(x, y) = x 2 + 2y 2 unter der Nebenbedingung φ(x, y) = y x = 0. 13

14 Aufgabe 3.3 Man bestimme mögliche Extremalstellen der Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 unter der Nebenbedingung φ(x, y) = 5x 2 + 5y 2 8xy 18 = 0. 14

15 15 Aufgabe 3.4 Wir lösen das Beispiel 1.1 aus der Einführung: zu maximierende Zielfunktion : u(c 1, c 2 ) Nebenbedingung : φ(c 1, c 2 ) = p 1 c 1 + p 2 c 2 I = 0

16 Entscheidung über Maximum oder Minimum Die Methode von Lagrange liefert notwendige, aber nicht hinreichende Bedingungen für das Vorliegen eines Extremum und sie gibt uns keine Möglichkeit, zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden. Ohne Beweis geben wir eine hinreichende Bedingung an: Satz φ x φ y φ x F xx F xy φ y F yx F yy }{{} Determinante = 2φ x φ y F xy F xx φ 2 y F yyφ 2 x { > 0 Maximum < 0 Minimum

17 Aufgabe 3.5 Gesucht sind die Extrema der Produktionsfunktion Q(x, y) = 10 x 1/6 y 1/3 x, y 0 unter der Nebenbedingung 4x + 3y = 48 (Kostenrestriktion). 17

18 Aufgabe 3.6 Gesucht sind die Extrema der Produktionsfunktion Q(x, y) = c x α y β x, y 0, 0 α 1 und 0 < β < 1 unter der Nebenbedingung ax + by = I. 18

19 Inhaltsverzeichnis 1 Einstimmung 2 2 Die Reduktionsmethode 4 3 Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren Konstruktion der Methode Entscheidung über Maximum oder Minimum