Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln

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1 Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 $Id: dreiek.tex,v /04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen Konstruktionsufgen für Dreieke ei gegeenen Seiten oder Winkeln zu untersuhen. Den Fll dreier gegeener Seitenlängen hen wir ereits vollständig ehndelt. Mn nennt den in diesem Rhmen ewiesenen Stz 5 uh den Kongruenzstz SSS, ws für Seite Seite Seite steht, d wir er die Seitengleihheit ls Definition der Kongruenz verwenden ist diese Bezeihnung hier eher unpssend. Wir kommen nun zum nähsten Typ von Konstruktionufgen ei dem zwei Seiten und ein Winkel vorgegeen sind. Hier git es zwei möglihe Fälle, entweder ist der Winkel der von den eiden Seiten eingeshlossene Winkel oder einer der eiden nderen Winkel. Diese eiden Fälle untersheiden sih reht deutlih voneinnder und wir eginnen mit dem eingeshlossenen Winkel. In den Stndrdezeihnungen seien etw die eiden Seiten, > 0 und der von ihnen eingeshlossene Winkel 0 < < π gegeen. Dss es dnn ein zu diesen Vorgen pssendes Dreiek git ist klr, wir müssen j nur eine Streke AB der Länge und eine Streke AC der Länge im Winkel trgen, und hen dnn ein Dreiek ABC der gewünshten. Dfür müssen wir diesml eine Eindeutigkeitsussge nhweisen, lso zeigen ds ds Dreiek durh,, is uf Kongruenz eindeutig festgelegt ist, mn spriht dnn uh vom Kongruenzstz SWS für Seite Winkel Seite. All dies läßt sih wieder equem üer den Cosinusstz durhführen. Stz 1.6 Dreiekserehnung ei zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel Seien, > 0 und 0 < < π gegeen. Dnn existiert ein is uf Kongruenz eindeutiges Dreiek ABC mit AC = und AB = so, dss der Winkel ei A ist. In den Stndrdezeihnungen gelten weiter = os, os β = ros, os os γ = ros os Beweis: Die Existenz eines Dreieks ABC mit den verlngten Eigenshften hen wir ereits eingesehen. Nh dem Cosinusstz Stz 4 gilt in jedem solhen Dreiek in den ülihen Bezeihnungen = os und insesondere ist ds Dreiek 3-1

2 Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 nh Stz 5 is uf Kongruenz eindeutig estimmt. Weiter hen wir = 22 2 os 2 = os os und nh Stz 5 ist dmit os β = ros os Die Gleihung für γ ergit sih nlog. Der nähste Kongruenzstz Seite Seite Winkel, oder SSW, ist etws komplizierter. Angenommen wir wollen die eiden Seiten, und den Winkel β vorgeen. Dnn trgen wir zunähst eine Streke AB der Länge. Der Winkel β git uns einen Hlstrhl H vor uf dem der dritte Ekpunkt C des gesuhten Dreieks liegen muss und die Länge git einen Kreis K mit Rdius und Mittelpunkt A uf dem C liegen muss. C A β B A β B Fll < Fll > Es können drei vershiedene Fälle uftreten. Ist < so sind wir in der links gezeigten Sitution, K entweder so klein ds er von H verfehlt wird oder so groß ds er von H gleih zweiml getroffen wird. Im ersten Fll git es dnn üerhupt kein Dreiek mit den vorgegeenen Werten und im zweiten Fll git es genu zwei niht kongruente und pssende Dreieke. Eine eindeutige Lösung git es nur in dem Rndfll ds H tngentil n K ist. Dnn ist im Shnittpunkt C ein rehter Winkel γ = π/2 und somit muss / = sin β. Im rehts gezeigten Fll > ist dgegen lles unprolemtish, der Hlstrhl H trifft den Kreis K in genu einem Punkt C und wir hen die eindeutige Lösung ABC. Im niht gezeigten Ausrtungsfll = git es dgegen für β < π/2 eine eindeutige Lösung während die Aufge für β π/2 niht lösr ist. Dmit ist uns die Sitution zumindest qulittiv klr. Zur quntittiven Behndlung können wir dnn wieder den Cosinusstz verwenden, und erhlten den sogennnten Kongruenzstz SSW. 3-2

3 Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 Stz 1.7 Dreiekserehnung ei zwei Seiten und einem äußeren Winkel Seien, > 0 und ein Winkel 0 < β < π gegeen. Dnn gelten: Ist, so existiert genu dnn ein Dreiek = ABC so, dss in den Stndrdezeihnungen AC = sowie AB = gelten und β der Winkel ei B ist wenn > oder β < π/2 gilt. In diesem Fll ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt und es gelten = os β sin 2 β, sin 2 β os β = ros 2 2 sin 2 β, γ = π β ros sin 2 β os β 2 2 sin 2 β Sei <. Dnn existiert genu dnn ein Dreiek = ABC so, dss in den Stndrdezeihnungen AC = sowie AB = gelten und β der Winkel ei B ist wenn β rsin/ gilt. Ist β = rsin/ so ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt und rehtwinklig mit = 2 2, = π/2 β und γ = π/2. Ist dgegen β < rsin/, so git es is uf Kongruenz zwei solhe Dreieke eines mit = os β 2 2 sin 2 β und eines mit = os β+ 2 2 sin 2 β.. Beweis: Zunähst sei = ABC ein Dreiek mit AB =, AC = und Winkel β ei B. Nh dem Cosinusstz Stz 4 ist 2 = os β, lso hen wir 2 2 os β = 0, und fssen wir dies ls qudrtishe Gleihung für uf, so ergit sih = os β ± 2 os 2 β = os β ± 2 2 sin 2 β. Wegen ist 2 2 sin 2 β 2 2 sin 2 β = os β os β, lso ist uh os β 2 2 sin 2 β 0 und wir hen = os β sin 2 β. Im Fll = ist dnn = os β sin 2 β = os β + os β lso muss os β > 0 und somit β < π/2 sein. Weiter sind 2 = 2 os β und = 22 2 os β 2 = os2 β os β 2 2 sin 2 β 3-3 = sin2 β os β 2 2 sin 2 β,

4 Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 lso ist nh Stz 5 is uf Kongruenz eindeutig estimmt und es gelten sin 2 β os β = ros 2 2 sin 2 β sowie γ = π β = π β ros sin 2 β os β 2 2 sin 2 β. Umgekehrt hen wir ereits eingesehen ds us > oder β < π/2 die Existenz eines Dreieks mit den geforderten Eigenshften folgt. Aus unserer Vorüerlegung wissen wir ereits ds kein pssendes Dreiek existiert wenn β > rsin/ ist. Im Fll β = rsin/ git es dgegen ein eindeutiges solhes Dreiek und im Fll β < rsin/ hen wir genu zwei solhe Dreieke. Ist β = rsin/, so hen wir 2 2 sin 2 β = 0 und somit = os β = 1 sin 2 β = 2 2. Insesondere ht in C einen rehten Winkel, lso γ = π/2 und = π/2 β. Ist dgegen β < rsin/, so git es zwei Dreieke mit den vorgeshrieenen Werten für,, β er vershiedenen Werten für, lso müssen eide oige Lösungen für vorkommen. Es verleien nur noh die Konstruktionsufgen mit einer vorgegeenen Seite und zwei vorgegeenen Winkeln. D die Winkelsumme 180 ist, spielt es dei keine Rolle welhe Winkel vorgegeen werden, sind zwei Winkel eknnt so stehen ereits lle drei Winkel fest. Der entstehende Stz ist dnn der sogennnte Kongruenzstz Seite Winkel Winkel, lso SWW, und zur Berehnung der fehlenden Seitenlängen verwenden wir den sogennnten Sinusstz, den wir zunähst einml eweisen wollen. Stz 1.8 Der Sinusstz Sei ein Dreiek mit Seiten,, und Winkeln, β, γ in der Stndrdezeihnung. Dnn gilt sin = sin β = sin γ und ezeihnet h, h, h die Höhen uf den jeweiligen Seiten,, so hen wir h = sin β = sin γ, h = sin = sin γ, h = sin = sin β, Beweis: Wir eginnen mit der Aussge üer die Höhen und dei reiht es h = sin zu zeigen, die nderen Gleihungen gehen us dieser durh Umezeihnungen hervor. 3-4

5 Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 Wir shreien h = h. Im Fll = π/2 fllen h und zusmmen und wegen sinπ/2 = 1 ist in diesem Fll sofort h = sin. Wir können lso π/2 nnehmen und wie eim Cosinusstz treten drei möglihe Fälle uf. h h h p p p Fll 1 Fll 2 Fll 3 Im ersten Fll ist 0 < < π/2 und h liegt im Dreiek. Dnn lesen wir den Sinus von im links uftuhenden rehtwinkligen Dreiek und hen sin = h/, lso h = sin. Im zweiten Fll ist 0 < < π/2 weiterhin ein spitzer Winkel er h liegt ußerhl des Dreieks. Dnn verlängern wir die Seite wie gezeigt zu einem rehtwinkligen Dreiek und in diesem lesen wir den Sinus von wieder ls sin = h/, hen lso wieder h = sin. Im letzten Fll ist π/2 < < π ein stumpfer Winkel. Betrhten wir dnn ds links uftuhende rehtwinklige Dreiek ACH woei H der Fußpunkt von h = h uf AB ist, so liegt in diesem ei A der Winkel π n, lso ist sin = sinπ = h lso erneut h = sin. Der eigentlihe Sinusstz ist jetzt eine unmittelre Folgerung, wegen und wegen sin β = sin γ ist sin β = sin γ sin = sin γ hen wir uh sin = sin γ. Dmit kommen wir jetzt zum finlen Kongruenzstz SWW: Stz 1.9 Dreiekserehnung ei einer Seite und zwei Winkeln Seien > 0 und 0 <, β < π gegeen. Dnn existiert genu dnn ein Dreiek = ABC mit AB = und Winkeln ei A und β ei B wenn + β < π ist. In diesem Fll ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt und es gelten = sin sin + β, = sin β sin + β, γ = π β. 3-5

6 Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 Beweis: D die Winkelsumme im Dreiek gleih π ist, ist die Bedingung + β < π notwendig für die Existenz eines pssenden Dreieks. Nun nehme umgekehrt +β < π n. A C β B Dnn trgen wir eine Streke AB der Länge und ilden im Winkel einen von A usgehenden Hlstrhl und im Winkel β einen von B usgehenden Hlstrhl. Diese eiden shneiden sih in einem Punkt C und dnn ist ABC ein Dreiek mit AB = und Winkel ei A und β ei B. Dmit ist die Existenzussge ewiesen, und wir kommen nun zur Eindeutigkeit. Sei lso ein elieiges Dreiek des gesuhten Typs gegeen. Dnn ist γ = π β und Mit dem Sinusstz Stz 8 folgen und eenso = sin sin γ = sin sinπ + β = = sin β sin γ = sin β sin + β. Insesondere ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt. sin sin + β Die oige Konstruktion des Punktes C verdient noh einen kleinen Kommentr. Wir htten ereits gnz zu Beginn ngemerkt ds mn die eene Geometrie uh xiomtish ufuen knn, und ds Ureispiel eines solhen Aufus sind die Elemente des Euklid. Diese sind im Zeitrum um 300 vor Christus entstnden und eines der dort verwendeten Axiome ist ds sogennnte Prllelenxiom 3-6

7 Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 Shneiden zwei Streken eine Gerde in zwei gegenüerliegenden Winkeln die zusmmen kleiner ls zwei Rehte sind, so treffen sih diese Streken ei Verlängerung ins Unendlihe in einem Punkt der uf der Seite der Gerden liegt in der die eiden gegenüerliegenden Winkel sind die zusmmen kleiner ls zwei Rehte sind. Der Nme Prllelenxiom entsteht d diese Aussge unter Vorussetzung der ürigen Axiome dzu äquivlent ist, dss es zu jeder Gerden und zu jedem Punkt ußerhl der Gerden stets genu eine Gerde durh den Punkt git welhe die vorgegeene Gerde niht trifft. Unser Beweis des SWW-Stzes zeigt ds der Kongruenzstz SWW im wesentlihen zum Prllelenxiom äquivlent ist. Ttsählih wird ei vielen Axiomensystemen für die eene Geometrie die eine oder ndere Form eines Kongruenzstzes ls Axiom verwendet. Zusmmenfssend hen wir dmit die folgenden Kongruenzussgen eingesehen: Zwei Dreieke sind genu dnn kongruent wenn sie in llen drei Seiten, in zwei Seiten und dem von ihnen eingeshlossenen Winkel, in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüerliegenden Winkel, in einer Seite und zwei Winkeln üereinstimmen. 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreiek Mit den speziellen Punkten in einem Dreiek sind Punkte gemeint die in irgendeiner knonishen Weise geometrish us dem Dreiek herus konstruiert werden können, lso eispielsweise der Shnittpunkt der Seitenhlierenden oder der Shnittpunkt der Mittelsenkrehten. Wir ehndeln hier huptsählih die vier wihtigsten von diesen, und dies sind die jeweiligen Shnittpunkte der Seitenhlierenden, der Winkelhlierenden, der Mittelsenkrehten und der Höhen. Dies hängen eng mit dem Innkreis und dem Umkreis eines Dreieks zusmmen. Ein wihtiges Hilfsmittel zur Diskussion dieser Punkte ist der Ähnlihkeitsegriff für Dreieke, mn nennt zwei Dreieke, ähnlih zueinnder wenn in ihnen entsprehende Winkel gleih sind, wenn lso in den Stndrdezeihnungen =, β = β und γ = γ gelten. Aus den Kongruenzsätzen des vorigen Ashnitts können wir leiht entsprehende Aussgen üer ähnlihe Dreieke herleiten, ws wir dnn in der nähsten Sitzung durhführen werden. 3-7