Kapitel 2 Schwingungen

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1 Kapitel Schwingungen Mit Schwingungen bzw. Oszillationen bezeichnen wir periodische Bewegungen von Objekten bzw. ganzen Systemen. In diesem Kapitel erweitern wir unsere bisherigen Kenntnisse über den harmonischen Oszillator zu Schwingungssystemen mit Antrieb, Dämpfung und zu gekoppelten Schwingungssystemen. Schließlich untersuchen wir aus vielen Frequenzen zusammengesetzte Schwingungen. Periodische Bewegungen sind häufig einfacher mit komplexen als mit reellen Zahlen zu beschreiben. Daher beginnen wir mit einem kurzen Einschub über die wichtigsten Aspekte komplexer Zahlen. Mathematischer Einschub: Komplexe Zahlen c = a Realteil + i b Imaginärteil mit a, b R und c C (.1) Man nennt a = Re (c) den Realteil und b = Im(c) den Imaginärteil. Die komplex konjugierte Zahl ist: c = a ib (.) Der Betrag einer komplexen Zahl wird folgendermaßen berechnet, wobei ist: c = i = 1 (.3) a + b = a (ib) (.4) = (a + ib)(a ib) (.5) = c c (.6) M. Erdmann, Experimentalphysik 3, Springer-Lehrbuch, DOI / _, C Springer-Verlag Berlin Heidelberg 011 7

2 8 Schwingungen Die Darstellung in Polarkoordinaten lautet: c = c (cosϕ + i sin ϕ) (.7) c = c (cosϕ i sin ϕ) (.8) Mathematischer Einschub: Euler sche Formel Die häufig verwendete Euler sche Formel cos ϕ ± i sin ϕ = e ±iϕ (.9) erlaubt uns eine praktische Kurzschreibweise für (.7) und (.8): c = c e iϕ c = c e iϕ (.10).1 Harmonischer Oszillator In diesem Abschnitt betrachten wir zunächst einen ungestört schwingenden harmonischen Oszillator. Ein Beispiel ist das Federpendel mit der bewegten Masse m und der rücktreibenden Federkraft F = kx. Mit dem Bewegungsgesetz von Newton erhalten wir die Bewegungsgleichung: d p = i F i dt (.11) ma = kx (.1) ẍ = k x m (.13) ω

3 .1 Harmonischer Oszillator 9 In der bekannten Form lautet sie: ẍ = ω x (.14) Die Ortsfunktion x (t) = A cos (ωt + ϕ ) (.15) löst die Bewegungsgleichung (.14) mit der Frequenz ω = k/m des Federpendels und mit den beiden Anfangsbedingungen A,ϕ R. Mit den komplexen Zahlen versuchen wir nun einen alternativen Lösungsansatz zu verwenden: x (t) = ce λt c,λ C (.16) Die zeitlichen Ableitungen für diesen Ansatz ergeben ẋ = λce λt (.17) ẍ = λ ce λt (.18) =x = λ x (.19) Unser Lösungsansatz erfüllt die Bewegungsgleichung (.14) mit λ = ω. (.0) Die beiden möglichen Lösungen für λ sind damit: λ 1 = iω (.1) λ = iω (.) Als allgemeine Lösung verwenden wir die Kombination der beiden Möglichkeiten: x (t) = x 1 (t) + x (t) (.3) = c 1 e iωt + c e iωt (.4) Wir zeigen im Folgenden, dass diese Lösung mit der Lösung (.15) übereinstimmt. Setzen wir c c 1 = c = c eiϕ als Anfangsamplitude und Anfangsphase in x (t) ein, erhalten wir:

4 30 Schwingungen x (t) = c e iϕ e iωt + c e iϕ e iωt (.5) ( ) = c e i(ωt+ϕ ) + e i(ωt+ϕ ) (.6) = c (cos (ωt + ϕ ) + i sin (ωt + ϕ ) + cos (ωt + ϕ ) i sin (ωt + ϕ )) (.7) = c cos (ωt + ϕ ) (.8) =A Unser Ansatz (.4) führt also zu derselben Lösung wie der nicht-komplexe Ansatz. Physikalisch beobachtbare Lösungen sind immer reell. Erhalten wir die allgemeine Lösung in Form von komplexen Zahlen, so ergibt die Projektion auf die reelle Achse die physikalische Lösung. Im folgenden Bild ist die komplexe Lösung x 1 (t) des harmonischen Oszillators durch einen gegen den Uhrzeigersinn rotierenden Zeiger gezeigt. Der Zeiger der komplexen Lösung x (t) rotiert entsprechend im Uhrzeigersinn. Die Summe x 1 (t)+ x (t) ergibt die Kosinusfunktion als die reelle Lösung. Eine reelle Lösung erhalten wir alternativ durch die Projektion von x 1 (t) auf die reelle Achse. Auch hier ergibt sich die Kosinusfunktion als physikalische Lösung. Häufig erhalten wir also die physikalische Lösung bereits durch Verwendung von entweder λ 1 oder λ und anschließende Projektion auf die reelle Achse. Wir wählen hier (.1) als Lösung: x 1 (t) = c 1 e iωt (.9) Setzen wir wieder c = c 1 = c e iϕ,soist

5 .1 Harmonischer Oszillator 31 x 1 (t) = c e iϕ e iωt (.30) = c e i(ωt+ϕ ) (.31) = c [cos (ωt + ϕ ) + i sin (ωt + ϕ )] (.3) Der Realteil von x 1 (t) ist bereits Lösung von (.14) mit zwei Anfangsbedingungen c und ϕ : Re (x 1 (t)) = c cos (ωt + ϕ ) (.33) Er entspricht der Lösung (.15) mit c =A. Aufgabe.1: Pohl sches Rad Das Pohl sche Rad besteht aus einer vertikal positionierten Scheibe mit horizontaler Drehachse. An ihr ist eine Schneckenfeder montiert, so dass wir das Rad in Drehschwingungen versetzen können. Gegeben: Scheibe: Trägheitsmoment I Drehimpuls Feder: Richtmoment D r Rücktreibendes Drehmoment Gesucht: L = I ϕ D = D r ϕ 1. Wie lautet die Bewegungsgleichung?. Ist ϕ (t) = c e iωt mit c C eine Lösung? 3. Wie lautet die physikalische Lösung? ( Punkte)

6 3 Schwingungen Lösung zu Aufgabe.1: Pohl sches Rad. Gedämpfte Schwingungen Ein Beispiel für einen gedämpften Oszillator ist das Pohl sche Rad mit eingebauter Bremse. Das bremsende Drehmoment D b können wir z.b. durch Reibung erzeugen. Dabei sei die Bremswirkung proportional zur Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ der Scheibe: D b = b ϕ (.34) Wir verwenden das Bewegungsgesetz für Drehbewegungen (1.36) mit dem Drehmoment der Schneckenfeder (1.35) und mit dem bremsenden Drehmoment (.34): d L = D dt (.35) d L = D r + D b dt (.36) I ϕ = D r ϕ b ϕ (.37) ϕ = D r ϕ b ϕ I I (.38) ω γ Dabei bezeichnen wir die Kreisfrequenz des frei schwingenden Pohl schen Rads mit ω.mitγ beschreiben wir die Stärke der Dämpfung. Der Faktor in der Definition von γ erleichtert die folgende Berechnung.

7 . Gedämpfte Schwingungen 33 Die Bewegungsgleichung für die gedämpfte Schwingung lautet damit: Als Lösungsansatz verwenden wir: ϕ + γ ϕ + ω ϕ = 0 (.39) ϕ = ce λt (.40) ϕ = λce λt (.41) ϕ = λ ce λt (.4) Durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung (.39) erhalten wir λ + γλ+ ω = 0. (.43) Die Lösung dieser Gleichung ergibt sich durch quadratische Ergänzung: λ 1, = γ ± γ ω (.44) Eine physikalische Lösung für die Ortsfunktion ϕ (t) erhalten wir z.b. mit der Lösung λ 1 und anschließender Verwendung des Realteils: ϕ (t) = Re [ c 1 e λ 1t ] (.45) [ = Re (c 1 e γ t ) e ] γ ω t (.46) Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung beschreibt die Amplitude und ihre Dämpfung. Da γ eine reelle Zahl ist, dämpft der Term e γ t die Amplitude exponentiell in der Zeit. Ob die Schwingung des Pohl schen Rads überhaupt zustande kommt, liegt an dem zweiten Term auf der rechten Seite der Gl. (.46) Wir können drei Fälle unterscheiden: e γ ω t. (.47)..1 Schwache Dämpfung Für den Fall, dass γ < ω ist, ist λ (.44) eine komplexe Zahl, da der Term unter der Wurzel γ ω < 0 negativ ist. Wir definieren die Kreisfrequenz ω ω γ. (.48)

8 34 Schwingungen Damit ist dann die Lösung λ 1 aus Gl. (.44): λ 1 = γ + γ ω, λ 1 C (.49) = γ + i ω (.50) = γ + iω (.51) Mit den Anfangsbedingungen in der Form c 1 = c e iϕ ergibt sich die physikalische Lösung der Bewegungsgleichung (.39): ( ϕ 1 (t) = Re c e iϕ e γ t e iωt) (.5) ( ) = Re c e γ t e i(ωt+ϕ ) (.53) = c e γ t cos (ωt + ϕ ) (.54) Es handelt sich um eine Schwingung mit der Frequenz ω und mit einer exponentiell abklingender Amplitude. Die Frequenz ω des gebremsten Pohl schen Rads ist im Vergleich zu der Frequenz ω des ungedämpft schwingenden Rads geringer: ω = ω ω < 0 (.55) = ω γ ω < 0 (.56) Die Schwingungsperiode T = π/ω dauert also etwas länger, wenn die Dämpfung eingeschaltet ist... Starke Dämpfung Für den Fall, dass γ>ω ist, ist λ (.44) eine reelle Zahl: λ 1 = γ + γ ω < 0 (.57)

9 .3 Erzwungene Schwingungen 35 Das System schwingt in diesem Fall nicht: ( ) ϕ 1 (t) = Re c e iϕ e λ 1t (.58) = [ c cos (ϕ ) ] e λ 1t (.59) Der erste Term ( c cos ϕ ) auf der rechten Seite beschreibt die Anfangsamplitude. Der zweite Term e λ 1t zeigt das exponentielle Abklingen der Amplitude des Pohl schen Rads. Wir bezeichnen diese Bewegung als Kriechfall...3 Aperiodischer Grenzfall Im Fall γ = ω ist λ 1 = γ. (.60) Dieser Fall ist dem Kriechfall ähnlich. Experiment: Gedämpfte Schwingungen mit dem Pohl schen Rad Mit dem Pohl schen Rad lassen sich unter Verwendung verschieden stark bremsender Drehmomente die gedämpften Schwingungen und der Kriechfall sehr schön demonstrieren..3 Erzwungene Schwingungen Wir statten das Pohl sche Rad mit einem Antrieb aus, indem wir das bislang fest montierte Ende der Schneckenfeder mit Hilfe eines Motors periodisch hin und her bewegen. Diese Bewegung hat die Frequenz ω m und bewirkt ein Drehmoment: ( ) D m = Re D e iω mt (.61) = D cos (ω m t) (.6)

10 36 Schwingungen Die Antriebsfrequenz ω m ist mit der Motorgeschwindigkeit variabel einstellbar und ist im Allgemeinen von der Frequenz ω der frei schwingenden Scheibe an der Schneckenfeder verschieden. Mit dem zusätzlichen Antriebsterm erweitern wir das Bewegungsgesetz (.37) der gedämpften Schwingung: d L = D dt (.63) I ϕ = D r ϕ b ϕ + D e iω mt (.64) ϕ = D r ϕ b ϕ + D e iω mt I I I (.65) ω γ κ Wir definieren die Antriebskonstante κ D /I und erhalten als Bewegungsgleichung für die erzwungene Schwingung: ϕ + γ ϕ + ω ϕ = κ eiω mt (.66) Als Lösungsansatz verwenden wir: ϕ = ce iω mt (.67) ϕ = i ω m ce iω mt (.68) ϕ = ωm ceiω mt (.69) = ωm ϕ (.70) Einsetzen dieses Ansatzes in die Bewegungsgleichung (.66) ergibt ( ω m + γ i ω m + ω ) ce iω mt = κ e iω mt Die komplexe Amplitude c berechnen wir somit aus:. (.71) κ c = ω ω m + i γω (.7) m = κ (( ω ) ) ω m i γωm ( ω ωm) (.73) (i γωm ) κ ( ω = ) ω m κ ( γω m ) ( ω ωm ) i + ( γωm ) ( ω ωm ) + ( γωm ) } {{ } a = a + ib } {{ } b (.74) (.75)

11 .3 Erzwungene Schwingungen 37 Der Betrag der physikalischen Amplitude c der erzwungenen Schwingung ist: c = = a + b (.76) κ ( ω ω m) + ( γωm ) (ω ω m) + ( γωm ) (.77) ( ( ) 1/ = κ ω m) ω + ( γωm ) (.78) Die Amplitude c wird dann maximal, wenn wir eine Erregerfrequenz ω m einstellen, mit der die Ableitung d c /dω m = 0 wird. Die Ableitung lautet nach der Kettenregel: d c = κ ( ω ω ) m ( ωm ) + ( γ) ω m (.79) dω m (ω ) ω m + ( γωm ) 3 Die Ableitung ist dann Null, wenn gilt: ( ) ω ω m γ = 0 (.80) Die Erregerfrequenz ω m = ω R, bei der die Amplitude maximal wird, nennt man Resonanzfrequenz: ω R = ω γ (.81) Sie liegt etwas unterhalb der Frequenz ω des frei schwingenden Pohl schen Rads.

12 38 Schwingungen Experiment: Resonanz Variieren wir die Antriebsfrequenz des Motors und treiben das Pohl sche Rad mit einer Frequenz nahe der Resonanzfrequenz ω R an, die etwas unterhalb der Frequenz ω der frei schwingenden Scheibe liegt, so kommt es zu einem resonanten Verhalten: Die Scheibenamplitude wird in der Nähe der Resonanzfrequenz auch bei kleinen Änderungen in der Erregerfrequenz drastisch größer, bis eine maximale Amplitude erreicht ist..4 Gekoppelte Schwingungen Wir untersuchen nun zwei Pendel, die jeweils aus einer festen Stange mit einem Pendelgewicht an ihrem Ende bestehen und die über eine Feder miteinander gekoppelt sind. Bei diesem Aufbau treten die folgenden Drehmomente auf: 1. Die Dehnung s der Feder verursacht die rücktreibende Kraft F F = ks.dawir die Auslenkwinkel ϕ 1,ϕ der beiden Pendel berechnen wollen, nähern wir die Dehnung s durch ϕ 1 und ϕ für kleine Winkel: s = s 1 s (.8) = a sin (ϕ 1 ) a sin (ϕ ) (.83) a (ϕ 1 ϕ ) (.84) Das von der Feder verursachte Drehmoment wirkt jeweils in der Entfernung a von der Drehachse: ( π ) D F = af F sin ϕ (.85) aks (.86) ka (ϕ 1 ϕ ) (.87)

13 .4 Gekoppelte Schwingungen 39 Dabei haben wir Terme zweiter Ordnung in der Winkelnäherung vernachlässigt (sin (π/ ϕ) = cos ϕ 1 ϕ / 1).. Das rücktreibende Drehmoment durch die Gravitation auf die Masse m des Pendels, dessen Schwerpunkt sich im Abstand l von der Drehachse befindet, ist: D G = l F G (.88) D G = l m g sin ϕ (.89) l m g ϕ (.90) Die Bewegungsgleichungen für beide Pendel finden wir über das Bewegungsgesetz für Drehbewegungen d L dt = n i=1 D i. (.91) Der Drehimpuls beträgt L = I ϕ (1.5) mit dem Trägheitsmoment I des Pendels. In der Skizze oben zeigen die Drehmomente durch die Gravitation in dieselbe Richtung, während die Drehmomente durch die Feder in entgegengesetzte Richtungen zeigen: L 1 = D G1 + D F (.9) L = D G D F (.93) Durch Einsetzen von (.87) und (.90) erhalten wir folgende Gleichungen für die beiden Pendel: I ϕ 1 = lgmϕ 1 ka (ϕ 1 ϕ ) (.94) I ϕ = lgmϕ + ka (ϕ 1 ϕ ) (.95) Dieses Gleichungssystem ist gekoppelt. Wir entkoppeln die Gleichungen, indem wir sie einmal addieren und einmal voneinander subtrahieren: I ( ϕ 1 + ϕ ) = lgm (ϕ 1 + ϕ ) + ka [ (ϕ 1 ϕ ) + (ϕ 1 ϕ )] (.96) I ( ϕ 1 ϕ ) = lgm (ϕ 1 ϕ ) + ka [ (ϕ 1 ϕ ) (ϕ 1 ϕ )] (.97) Zur Vereinfachung der Schreibweise definieren wir die Variablen η 1 (ϕ 1 + ϕ ) (.98) ξ 1 (ϕ 1 ϕ ) (.99)

14 40 Schwingungen und setzen sie in die Gln. (.96) und (.97) ein. Dabei sind ϕ 1 + ϕ = η, ϕ 1 + ϕ = η (.100) ϕ 1 ϕ = ξ, ϕ 1 ϕ = ξ. (.101) Damit vereinfacht sich das ursprüngliche Gleichungssystem aus (.94) und (.95) zu zwei unabhängig voneinander lösbaren Differentialgleichungen: I η = lgmη (.10) I ξ = lgmξ ka ξ (.103) Isolieren wir jeweils die zweiten Ableitungen auf der linken Seite, ergeben sich zwei Bewegungsgleichungen vom Typ des harmonischen Oszillators: η = lgm η (.104) I ωa lgm + ka ξ = ξ (.105) }{{ I } ω b Die konstanten Terme auf der rechten Seite dieser Gleichungen identifizieren wir als das Quadrat der Schwingungsfrequenzen. Da alle Größen positiv sind, ist ω b >ω a. Die Struktur der Frequenzterme können wir folgendermaßen verstehen. Für ein Pendel mit vernachlässigbarer Masse der Stange ist das Trägheitsmoment I = ml. Damit entspricht ω a = lgm I (.106) lgm ml (.107) g = l (.108) ω näherungsweise der Frequenz ω eines frei schwingenden Pendels. Für eine schwache Federkopplung k mgl/a sehen wir durch eine Taylor- Entwicklung ( 1 + x 1+x/), dass die Frequenz ω b nur wenig größer ist als ω a :

15 .4 Gekoppelte Schwingungen 41 lgm + ka ω b = I g 1 + ka l lgm Dabei ist in unserer Näherung schwacher Federkopplung k (.109) (.110) ω ( 1 + ka ) (.111) lgm κ κ ka lgm 1. (.11) Für den Fall einer starken Federkopplung k führen wir ein Gedankenexperiment auf einem Planeten mit der Beschleunigung g kl/m durch. Wir montieren die Feder an der Stelle a = l/ und erhalten für ω b = lgm + ka I lgm + kl ml k m (.113) die Frequenz eines frei schwingenden Federpendels. Im Folgenden werden wir uns aber auf den Fall einer schwachen Federkopplung k konzentrieren. Für die Lösung der Ortsfunktionen setzen wir in bewährter Art an: η (t) = η e iω a t ξ (t) = ξ e iω b t mit η = c e iα (.114) mit ξ = c e iβ (.115) Dabei bezeichnet c die Amplitude der beiden Pendel und α bzw. β ihre Anfangsphasen. Um die Ortsfunktion ϕ 1 (t) des ersten Pendels zu erhalten, verwenden wir die Rücktransformationen, die sich aus den Definitionsgleichungen für η (.98) und ξ (.99) ergeben. Die physikalische Lösung für das 1. Pendel lautet: ϕ 1 = Re( η+ ξ) (.116) = Re( η e iωat + ξ e iωbt ) (.117) ( ( )) = Re c e i(ωat+α) + e i(ω bt+β) (.118) = c [ cos (ω a t + α) + cos (ω b t + β) ] (.119)

16 4 Schwingungen Mathematischer Einschub: Additionstheorem Mit Hilfe von Additionstheoremen können wir Kosinus- und Sinusfunktionen zusammenfassen: cos (x) + cos (y) = ( ) ( ) x + y x y cos cos (.10) ( ) ( ) x + y x y cos (x) cos (y) = sin sin (.11) sin (x) + sin (y) = ( ) ( ) x + y x y sin cos (.1) sin (x) sin (y) = ( ) ( ) x + y x y cos sin (.13) Mit dem Additionstheorem (.10) erhalten wir eine vergleichsweise gut interpretierbare Schreibweise der Lösung (.119): ϕ 1 (t) = c cos ω b ω a }{{ } b t + β α }{{ } ϕ b } {{ } Amplitudenmodulation cos ω b + ω a }{{ } a t + β + α }{{ } ϕ a } {{ } Pendelschwingung (.14) Die Bewegung des ersten Pendels können wir als eine Überlagerung von zwei Schwingungen verstehen. Die Differenz der Frequenzen b ω b ω a (.15) führt zu einer langsamen Amplitudenmodulation, die man als Schwebung bezeichnet. In den Näherungen einer vernachlässigbar kleinen Masse der Pendelstange (.108) und einer schwachen Federkopplung k (.111) ergibt sich eine Schwebungsfrequenz, die um einen Faktor κ (.11) kleiner als die Frequenz ω des frei schwingenden Pendels ist: b 1 (ω (1 + κ) ω ) (.16) = κω (.17)

17 .4 Gekoppelte Schwingungen 43 Der Mittelwert a ω b + ω a (.18) der beiden Frequenzen entspricht einer Pendelfrequenz, die mit den Näherungen (.108), (.111) und (.11) im Bereich der Frequenz ω des frei schwingenden Pendels liegt: a 1 (ω (1 + κ) + ω ) (.19) = ω (1 + κ) (.130) ω (.131) Die beiden Anfangsbedingungen ϕ a und ϕ b in Gl. (.14) setzen sich aus den anfänglichen Pendelauslenkungen zusammen. Für eine schwache Federkopplung k und vernachlässigbarer Masse der Pendelstange finden wir also für das erste Pendel folgende Lösungsstruktur der Ortsfunktion: ϕ 1 (t) c cos(κ ω t + ϕ b ) cos(ω t + ϕ a ) (.13) a Ωa b Ω b Die zugehörigen Schwingungsperioden T a und T b können wir sofort berechnen. Die kurze Schwingungsperiode T a = π a π ω T (.133) entspricht ungefähr dem mit der Periode T = π/ω frei schwingenden Pendel. Die längere Periode T b der Schwebung erhalten wir über T b = π b = π κω = T κ. (.134)

18 44 Schwingungen Die Lösung ϕ (t) für das zweite Pendel erhalten wir durch Differenzbildung der Definitionsgleichungen (.98) und (.99) und Einsetzen der Lösungen (.114) für η(t) und (.115) für ξ(t). Wir verwenden hier das Additionstheorem (.11). Die Ortsfunktion des zweiten Pendels ist im Vergleich zu der Ortsfunktion des ersten Pendels um die Phase π/ verschoben: ϕ (t) c sin(κ ω t + ϕ b ) sin(ω t + ϕ a ) (.135) Experiment: Gekoppelte Pendel Lenkt man ein Pendel des gekoppelten Pendelsystems aus und lässt es schwingen, wird das zweite Pendel ebenfalls zu einer Pendelbewegung angeregt. Während das zweite Pendel an Amplitude gewinnt, verliert das erste Pendel Amplitude bis es selbst zum Stillstand kommt. Dann kehrt sich der Vorgang um. Das beobachtete, abwechselnde Schwingverhalten der Pendel entspricht der Überlagerung von zwei Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen..5 Fourier-Transformation.5.1 Fourier-Synthese Im vorherigen Abschn..4 haben wir bereits eine Überlagerung von zwei Schwingungen untersucht. Jetzt verallgemeinern wir die Situation und überlagern beliebig viele Schwingungen verschiedener Frequenzen: Wir betrachten eine Überlagerung von N Schwingungen zu einem Klangspektrum:

19 .5 Fourier-Transformation 45 x (t) = N a n cos (ω n t + ϕ n ) (.136) n=1 Hierbei bezeichnet a n die Amplitude der n-ten Schwingung, ω n ist ihre Kreisfrequenz, und ϕ n ist ihre Phasenverschiebung. Das Resultat ist wieder eine periodische Bewegung. Da wir dieses periodische Verhalten aus der Überlagerung vieler Einzelschwingungen erhalten haben, nennt man dieses Verfahren Fourier-Synthese. Experiment: Fourier-Synthese Mit einem Sinus-Generator, einem Lautsprecher und einem Oszilloskop können wir zunächst einen einzelnen Sinus-Ton hörbar und sichtbar machen. Anschließend überlagern wir Sinus-Töne verschiedener Frequenzen. Der Ton verändert seine Klangqualität. Auf dem Oszilloskop werden verschiedene Schwingungsformen sichtbar. Setzt man a n = ( 1)n 1 n 1 und ω n = (n 1) ω, so ergibt sich bei n für x(t) eine Rechteckschwingung:.5. Fourier-Analyse Betrachtet man den umgekehrten Fall, eine Zerlegung in Einzelschwingungen, so spricht man von einer Fourier-Analyse. Sie hat große Bedeutung z.b. in der Akustik. Dort wird ein Klang in Sinusschwingungen verschiedener Amplituden und Frequenzen zerlegt. Experiment: Fourier-Analyse Mit einem Mikrofon geben wir den Ton über eine Sound-Karte in einen Computer ein, auf dem eine Fourier-Analyse zur Bestimmung der Amplituden a n zu den jeweiligen Frequenzen ω n programmiert ist. Die bildliche Darstellung des Klangs ist die jeweilige Amplitude als Funktion der zugehörigen Frequenz.

20 46 Schwingungen Die Rechteckschwingung ergibt das Frequenzspektrum entsprechend a n = ( 1)n 1 n 1 und ω n = (n 1) ω : 1 a n / a o ω n /ω o.5.3 Fourier-Transformation Gleichung (.136) zeigt, dass wir sämtliche Information über das Klangspektrum gleichwertig durch folgende Alternativen erfassen können: Mit der linken Seite von (.136) beschreiben wir das Klangspektrum durch die zeitliche Entwicklung der Ortsfunktion x(t), die z.b. der Bewegung eines Lautsprechers entspricht. Mit der rechten Seite von (.136) beschreiben wir die Frequenzen ωn, die zum Klangspektrum beitragen. Jede Frequenz trägt mit einer individuellen Amplitude a n und Phasenverschiebung ϕ n bei. Wir können diese beiden alternativen Beschreibungsformen desselben Phänomens durch eine sogenannte Fourier-Transformation ineinander überführen. Sie gilt allgemein für kontinuierliche Variablenpaare wie z.b. Zeit und Frequenz. Mathematischer Einschub: Fourier-Transformation Wir definieren eine Funktion F(ω) mit der Frequenzvariablen ω durch folgendes Integral über eine Funktion f (t) in der Zeit t: Die Rücktransformation lautet: F(ω) = 1 π f (t) = 1 π f (t) e iωt dt (.137) F(ω) e +iωt dω (.138)

21 .5 Fourier-Transformation 47 Beispiel: Fourier-Transformation einer Kosinusfunktion Als Ortsfunktion wählen wir f (t) = cos (ω t). (.139) Eine nicht ganz einfache Rechnung ergibt als Fouriertransformierte von f (t) die Funktion π F(ω) = (δ(ω ω ) + δ(ω + ω )). (.140) Die sogenannte Dirac-Funktion (bzw. Delta-Funktion) δ(ω ω ) gibt dabei nur bei der Frequenz ω =±ω einen von Null verschiedenen Beitrag. Es handelt sich also um eine Fourier-Analyse entsprechend unseres obigen Experiments mit nur einer Schwingungsfrequenz. Beispiel: Fourier-Transformation einer Gauß-Verteilung Als Ortsfunktion wählen wir die Gauß-Verteilung f (t) = e t /(σ ). (.141) Das Resultat einer nicht ganz einfachen Rechnung zeigt, dass die Fouriertransformierte von f (t) auch im Frequenzraum eine Gauß-Verteilung ergibt: F(ω) = σ e σ ω / (.14) f(t) 0.5 F(ω) t [s] ω [1/s]

22 48 Schwingungen.5.4 Unschärferelation Die Fourier-Transformation der Gauß-Verteilung impliziert eine grundsätzliche Limitierung in der gleichzeitigen Messgenauigkeit von zwei zusammenhängenden Messgrößen. Wir beobachten eine Schwingung innerhalb eines Zeitintervalls, dessen Zeitdauer wir mit der Genauigkeit t bestimmen. Dabei entspricht t der Standardabweichung σ im Nenner des Exponenten der Gauß-Verteilung (.141): t = σ (.143) Die Genauigkeit ω, mit der wir die Frequenz der Schwingung bestimmen können, lesen wir im Exponenten von (.14) ab: Die Standardabweichung dieser Gauß- Verteilung entspricht ω = 1 σ. (.144) Setzen wir diese beiden Gleichungen ineinander ein, so erhalten wir folgende untere Grenze für die Messgenauigkeit des Zeitintervalls und der Frequenz: ω t = 1 (.145) Im Allgemeinen formuliert man diese beschränkte Messgenauigkeit als Unschärferelation in der Form ω t 1. (.146) In dem Experiment zur Fourier-Synthese hatten wir gesehen, dass wir alternative Schwingungsformen zur Sinusform und damit andere Klangspektren durch Überlagerung von Schwingungen verschiedener Frequenz erreichen können. Auch die Erzeugung kurzer Klangpulse gelingt mit der Überlagerung von Sinus- Schwingungen. Die Unschärferelation (.146) impliziert dabei folgende Einschränkung: Wenn wir einen sehr kurzen Klangpuls erzeugen, dessen Zeitdauer wir mit der Genauigkeit t kennen wollen, benötigen wir die Überlagerung von Schwingungen aus einem Frequenzspektrum von mindestens der Breite ω. Haben wir nur ein schmaleres Frequenzspektrum ω < ωfür die Erzeugung des Pulses zur Verfügung, ist die Genauigkeit geringer, mit der wir die Pulslänge bestimmen können: t > t. Einen Extremfall der Unschärferelation sehen wir in dem Beispiel der Fourier- Transformation der Kosinusfunktion (.139,.140). Mit exakt einer einzigen Frequenz ω hören wir nur einen dauerhaften Ton. Das Prinzip von Unschärfe spielt in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle. Wir werden die sogenannte Heisenbergsche Unschärferelation für Teilchen später kennenlernen.

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