Übungen zum Ferienkurs Analysis II

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1 Übungen zum Ferienkurs Analysis II Differenzierbarkeit und Taylor-Entwicklung Übungen, die mit einem Stern markiert sind, werden als besonders wichtig erachtet.. Jacobi-Matrix Man bestimme die Jacobi-Matrix der Funktion f : R 3 R (x, y, z 3x 2 y + exp(xz 2 + 4z 3. J f (x = ( f(x T = ( 6xy + exp(xz 2 z 2 3x 2 2xz exp(xz 2 + 2z 2.2 Richtungsableitung Berechne für f(x, y = y die Richtungsableitung +x 2 v f von f an der Stelle x 0 = (, in Richtung eines Vektors v = (,. Wir berechnen den Gradienten an x 0 f(x 0 = und berechnen mit diesem die Richtungsableitung = ( 2xy (+x 2 2 +x 2 ( 2 2 v f(x 0 = ( f(x 0 T v = ( 2 = 0 2 (.3 Differenzierbarkeit Ist die Funktion f : R 2 R, f(x, y := xy im Nullpunkt partiell oder total differenzierbar? Wir berechnen die partiellen Ableitungen im Punkt (0, 0 und analog folgt x f(0, 0 t 0 f(t, 0 f(0, 0 t t = 0 t 0 0 y f(0, 0 = 0. Christina Schindler, Karolina Stoiber Abgabe:

2 Die partiellen Ableitungen existieren also und f ist damit in (0, 0 partiell differenzierbar. Wenn f dort auch total differenzierbar ist, dann lautet die Ableitung an diesem Punkt gerade ( f 0 (0, 0 = 0 gegeben durch die partiellen Ableitungen (Eindeutigkeit. Wir testen dies aus 0 =! f( f(0, 0 f (0, 0 lim f( 2 max{, 2 } Also ist f in (0, 0 nicht total differenzierbar..4 Totale Differenzierbarkeit und Kettenregel (a Zeigen Sie, dass die Funktion ( f : R 3 R 2, f(x, y, z (yz, z 2 + x T in (, 0, T total differenzierbar ist mit f (, 0, = (b Zeigen Sie, dass die Funktion g : R 2 R 3, g(x, y = (x 2 + y 2, 2x, yx 2 T in f(, 0, = (0, 2 T 0 4 total differenzierbar ist mit g (0, 2 = (c Berechnen Sie die Ableitung von g f in (, 0, T. (a Berechne 0! f((, 0, + f(, 0, f (, 0, ( 2 ( + 3, ( ( + T (0, ( 2 + T ( 2, 2 3 T ( 3 2, ( 2, 3 lim ( 2, 3 3 = 0 Hier zu verwendet man am Besten die euklidische Norm. Man beachte die Rechenregeln der Norm beim Rausziehen von 3. 2

3 (b Wir zeigen es wieder explizit: 0! g((0, 2 + g(0, 2 g (0, 2 ( 2 + ( , 2, ( T (2 2, 0, 0 T (4, 2 2, 0 T ( , 2( 2, 2 (2 + 2 T = 0 Dies sieht man z.b. recht leicht in der Maximumsnorm. (c Hier verwenden wir die Kettenregel: (g f (x = g (f(xf (x Damit wird die Berechnung zu einer einfachen Matrizenmultiplikation (Reihenfolge beachten! (g f (, 0, = g (0, 2f (, 0, 0 4 ( = = Totale Differenzierbarkeit vs. Richtungsableitung Man definiert eine Funktion f : R 2 R durch die Vorschrift { falls t R, t 0 mit (x, y = (t, t f(x, y = 2 0 sonst. Beweisen Sie: (a f ist im Punkte (0, 0 nicht total differenzierbar. (b Im Punkte (0, 0 ist f in jede Richtung v richtungsableitbar. } (a Wir zeigen, dass f in (0, 0 nicht stetig ist und damit nicht differenzierbar. Dafür betrachten wir die Folge (t, t 2 R 2, t R, die für t 0 gegen 0 konvergiert. Wir berechnen den Grenzwert lim f(t, t 0 t2 = 0 = f(0, 0. t 0 (b Sei v R 2 eine Richtung. Die Gerade {αv α R} schneidet die Parabel {(t, t 2 t R} in höchstens zwei Punkten. Also gilt f(hv = 0 mit Ausnahme von höchstens zweier Punkte h R. Wir berechnen die Richtungsableitung In (0, 0 ist f damit in jede Richtung ableitbar. f(hv f(0, 0 v f(0, 0 h 0 h f(hv = 0. h 0 h 3

4 .6 Kettenregel Sei f : R 2 R eine stetige differenzierbare Abbildung. Man drücke die Ableitung der Funktion g : R R, g(t := f(te t, t 2 durch die partiellen Ableitungen von f aus. Betrachte ϕ : R R 2, t (te t, t 2. Damit gilt g(t = (f ϕ(t und wir können die Kettenregel verwenden. Dazu benötigen wir noch die Jacobi-Matrix von ϕ ( ( + te t J ϕ (t = 2t Nach der Kettenregel ist die Ableitung von g dann g (t = J f (ϕ(tj ϕ (t = ( x f(ϕ(t y f(ϕ(t ( ( + te t 2t = ( + te t x f(te t, t 2 + 2t y f(te t, t 2.7 Taylorentwicklung Man berechne die Taylorentwicklung der Funktion f : R 2 R, (x, y x 3 3xy 2 bis zu den Gliedern einschließlich zweiter Ordnung um den Entwicklungspunkt ζ = (,. Damit ergibt sich folgende Taylorentwicklung f(, = 2 ( f 3x (, = 2 3y 2 ( 0 = 6 6 ( ( 6x 6y 6 6 H f (, = = 6y 6x 6 6 f(x, y = 2 + (0(x 6(y + 2 [6(x 2 6(y (x + 6(x (y 6(y 2 6(x 2 + 6(y (x 6(x (y + 6(y 2 ] = 2 6y.8 Taylorentwicklung mit Reihe Man berechne die Taylorreihe in dritter Ordnung der Funktion f(x, y, z = y exp(x 2 z um den Punkt (0, 0, 0. Wir schreiben f(x, y, z = y exp(x 2 exp(z und benutzen nun die Exponentialreihe (x 2 k z k f(x, y, z = y k! k! k=0 Nun multiplizieren wir aus und berücksichtigen nur die Terme deren Grad nach dem Ausmultiplizieren höchstens 3 ist (z.b. yz 2 aber nicht x 2 yz. Damit ergibt sich k=0 f(x, y, z = y + yz + yx yz2 + R(3 4

5 .9 Taylor und Extrema Sei f : R 2 R zweimal stetig differenzierbar mit f(0, 0 = 0, f hat bei (0, 0 einen stationären Punkt und ( 4 H f = 4 Beweisen Sie, es existiert eine Umgebung U von (0, 0, sodass für alle (x, y U gilt f(x, y x 2 + y 2 (Tipp: Taylor-Entwicklung. hin Mit den gegebenen Informationen schreiben wir die Taylorreihe bis zur zweiten Ordnung f(x, y = 0 + (0, 0(x, y T + ( 2 4x 2 + 4y 2 xy yx + θ(3 ( 4x 2 + 4y 2 2xy + θ(3 = 2 Damit gilt (x, y R 2 \ {(0, 0} wegen x 2 + y 2 2xy 2xy x 2 y 2 f(x, y 2 (4x2 + 4y 2 x 2 y 2 + θ(3 = (x 2 + y 2 ( θ(3 x 2 +y 2.0 Taylorentwicklung II Berechnen Sie die Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung der Funktion f : R + R R gegeben durch f(x, y = x y im Punkt (, und geben Sie einen Näherungswert für, 05,02 an (ohne Fehlerabschätzung. Wir benutzen x y = exp(ln(xy. Wir können hier die Reihe nicht verwenden, da wir nicht um den Punkt (0, 0 entwickeln. Wir berechnen also die partiellen Ableitungen f(, = x f(, = yx y = y f(, = ln(xx y = 0 x x f(, = y(y x y 2 = 0 y y f(, = ln 2 (xx y = 0 x y f(, = y x f(, = (y ln(x + x y = Damit ergibt sich die Taylorentwicklung f(x, y = + (x + (x (y + θ(3 da alle anderen Terme wegfallen. Es ist dann, 05,02 = + (, 05 + (, 05 (, 02 =, 05. Taylorentwicklung III Sei f : R 2 R gegeben durch f(x, y = x y x + y. Berechnen Sie das zugehörige Taylorpolynom in (,. 5

6 Da wir um den Punkt (, entwickeln, können wir die geometrische Reihe nicht verwenden. Wir berechnen also die nötigen partiellen Ableitungen. Damit ist das Taylorpolynom f(, = 0 2y x f(, = (x + y 2 = 2 y f(, = 2x (x + y 2 = 2 x x f(, = 4y (x + y 3 = 2 4x y y f(, = (x + y 3 = 2 2(x y x y f(, = y x f(, = (x + y 3 = 0 f(x, y = 2 (x 2 (y 4 (x (y 2 = x y 4 x2 + 4 y2 6