Rückwärts-Einsetzen. Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, nacheinander bestimmt werden: r n,n x n = b n. = x n = b n /r n,n

Transkript

1 Rückwärts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, r 1,1 r 1,n x 1 b =., } 0 {{ r n,n } x n b n R mit det R = r 1,1 r n,n 0 können die Unbekannten x n,..., x 1 nacheinander bestimmt werden: r n,n x n = b n = x n = b n /r n,n Gauß-Elimination 1-1

2 Rückwärts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, r 1,1 r 1,n x 1 b =., } 0 {{ r n,n } x n b n R mit det R = r 1,1 r n,n 0 können die Unbekannten x n,..., x 1 nacheinander bestimmt werden: r n,n x n = b n = x n = b n /r n,n und, für l = n 1,... 1, Gauß-Elimination 1-2

3 Rückwärts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, r 1,1 r 1,n x 1 b =., } 0 {{ r n,n } x n b n R mit det R = r 1,1 r n,n 0 können die Unbekannten x n,..., x 1 nacheinander bestimmt werden: r n,n x n = b n = x n = b n /r n,n und, für l = n 1,... 1, r l,l x l + + r l,n x n = b l = x l = (b l r l,l+1 x l+1 r l,n x n ) /r l,l. Gauß-Elimination 1-3

4 Rückwärts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, r 1,1 r 1,n x 1 b =., } 0 {{ r n,n } x n b n R mit det R = r 1,1 r n,n 0 können die Unbekannten x n,..., x 1 nacheinander bestimmt werden: r n,n x n = b n = x n = b n /r n,n und, für l = n 1,... 1, r l,l x l + + r l,n x n = b l = x l = (b l r l,l+1 x l+1 r l,n x n ) /r l,l. Gauß-Elimination 1-4

5 Rückwärts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform, r 1,1 r 1,n x 1 b =., } 0 {{ r n,n } x n b n R mit det R = r 1,1 r n,n 0 können die Unbekannten x n,..., x 1 nacheinander bestimmt werden: r n,n x n = b n = x n = b n /r n,n und, für l = n 1,... 1, r l,l x l + + r l,n x n = b l = x l = (b l r l,l+1 x l+1 r l,n x n ) /r l,l. Gauß-Elimination 1-5

6 Die Berechnungen können mit Hilfe eines Tableaus R b erfolgen, in dem die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite zusammengefasst sind. Für l = n,..., 1 dividiert man die Zeile l durch r l,l ( Diagonalelement gleich 1) und zieht für i = l 1,..., 1 das r i,l -fache der l-ten Zeile von den Zeilen mit niedrigerem Index ab. Dadurch werden oberhalb von r l,l = 1 Nullen erzeugt. Als Resultat enthält das Tableau die Einheitsmatrix und in der letzten Spalte (modifizierte rechte Seite b) die Lösung x. Gauß-Elimination 1-6

7 Die Berechnungen können mit Hilfe eines Tableaus R b erfolgen, in dem die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite zusammengefasst sind. Für l = n,..., 1 dividiert man die Zeile l durch r l,l ( Diagonalelement gleich 1) und zieht für i = l 1,..., 1 das r i,l -fache der l-ten Zeile von den Zeilen mit niedrigerem Index ab. Dadurch werden oberhalb von r l,l = 1 Nullen erzeugt. Als Resultat enthält das Tableau die Einheitsmatrix und in der letzten Spalte (modifizierte rechte Seite b) die Lösung x. Bei der praktischen Durchführung werden nur die sich ändernden Zeilen untereinander notiert. Gauß-Elimination 1-7

8 Beispiel: 4x 1 + 3x 2 + x 3 = 6 2x 2 + 2x 3 = 0 7x 3 = 7 Gauß-Elimination 2-1

9 Beispiel: 4x 1 + 3x 2 + x 3 = 6 2x 2 + 2x 3 = 0 7x 3 = 7 Rückwärtseinsetzen x 3 = 7/7 = 1 x 2 = (0 2x 3 )/2 = (0 2 1)/2 = 1 x 1 = (6 3x 2 x 3 )/4 = (6 3( 1) 1)/4 = 2 Gauß-Elimination 2-2

10 alternative Lösung mit Hilfe des Tableaus R b Gauß-Elimination 2-3

11 alternative Lösung mit Hilfe des Tableaus R b Gauß-Elimination 2-4

12 alternative Lösung mit Hilfe des Tableaus R b markierte Zeilen (Diagonalelement gleich 1) Lösung x 3 = 1, x 2 = 1, x 1 = 2 Gauß-Elimination 2-5

13 Gauß-Elimination Durch Gauß-Transformationen lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit invertierbarer (n n)-koeffizientenmatrix A in maximal n 1 Schritten auf obere Dreiecksform bringen. Gauß-Elimination 3-1

14 Gauß-Elimination Durch Gauß-Transformationen lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit invertierbarer (n n)-koeffizientenmatrix A in maximal n 1 Schritten auf obere Dreiecksform bringen. Dazu werden sukzessive die Koeffizienten unterhalb der Diagonalen annulliert, d.h. nach l 1 Schritten hat das lineare Gleichungssystem die Form a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,l x l a 1,n x n = b 1 a 2,2 x a 2,l x l a 2,n x n = b 2... a l,l x l a l,n x n = b l a l+1,l x l a l+1,n x n = b l+1... a n,l x l a n,n x n = b n Gauß-Elimination 3-2

15 Im einzelnen verläuft der l-te Eliminationsschritt wie folgt. Gauß-Elimination 3-3

16 Im einzelnen verläuft der l-te Eliminationsschritt wie folgt. Aus den Koeffizienten a l,l,..., a n,l wird ein von Null verschiedener Koeffizient a k,l, das sogenannte Pivot-Element, ausgwählt, und die l-te mit der k-ten Gleichung vertauscht. Gauß-Elimination 3-4

17 Im einzelnen verläuft der l-te Eliminationsschritt wie folgt. Aus den Koeffizienten a l,l,..., a n,l wird ein von Null verschiedener Koeffizient a k,l, das sogenannte Pivot-Element, ausgwählt, und die l-te mit der k-ten Gleichung vertauscht. Für i > l wird die i-te Gleichung durch eine Linearkombination der i-ten und l-ten Gleichung ersetzt, um den Term mit der Unbekannten x l zu eliminieren (a i,l 0): a i,j α i a i,j + β i a l,j, j = l,..., n, b i α i b i + β i b l (j = l : α i a i,l + β i a l,l = 0). Gauß-Elimination 3-5

18 Im einzelnen verläuft der l-te Eliminationsschritt wie folgt. Aus den Koeffizienten a l,l,..., a n,l wird ein von Null verschiedener Koeffizient a k,l, das sogenannte Pivot-Element, ausgwählt, und die l-te mit der k-ten Gleichung vertauscht. Für i > l wird die i-te Gleichung durch eine Linearkombination der i-ten und l-ten Gleichung ersetzt, um den Term mit der Unbekannten x l zu eliminieren (a i,l 0): a i,j α i a i,j + β i a l,j, j = l,..., n, b i α i b i + β i b l (j = l : α i a i,l + β i a l,l = 0). Eine kanonische Wahl bei den Eliminationsschritten ist α i = 1, β i = a i,l /a l,l ; jedoch kann, um gegebenenfalls Brüche zu vermeiden, auch eine andere Wahl getroffen werden, z.b. α i = a l,l, β i = a i,l. Gauß-Elimination 3-6

19 Üblicherweise werden für die Eliminationsschritte die Matrix A und die rechte Seite b zu einem Tableau A b zusammengefasst. Die modifizierten Zeilen werden dann untereinander aufgelistet und die Pivot-Elemente markiert. Zur besseren Erläuterung können die Faktoren α i und β i in einer zusätzlichen Spalte notiert werden. Die resultierende Dreieckform besteht dann aus den markierten Pivot-Zeilen. Gauß-Elimination 3-7

20 Üblicherweise werden für die Eliminationsschritte die Matrix A und die rechte Seite b zu einem Tableau A b zusammengefasst. Die modifizierten Zeilen werden dann untereinander aufgelistet und die Pivot-Elemente markiert. Zur besseren Erläuterung können die Faktoren α i und β i in einer zusätzlichen Spalte notiert werden. Die resultierende Dreieckform besteht dann aus den markierten Pivot-Zeilen. Das Schema kann zur simultanen Behandlung mehrerer rechter Seiten benutzt werden. Insbesondere kann so mit b = (e 1,..., e n ) die Inverse der Matrix A bestimmt werden. Gauß-Elimination 3-8

21 Beispiel: lineares Gleichungssystem 2x 2 + x 3 x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 +x 4 = 5 3x 1 + x 2 2x 3 +x 4 = 3 6x 1 + 4x 2 x 3 +x 4 = 7 Gauß-Elimination 4-1

22 Beispiel: lineares Gleichungssystem 2x 2 + x 3 x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 +x 4 = 5 3x 1 + x 2 2x 3 +x 4 = 3 6x 1 + 4x 2 x 3 +x 4 = 7 Matrix und rechte Seite A = , b = Gauß-Elimination 4-2

23 Ablauf des Gauß-Algorithmus mit Hilfe des Tableaus A b Zeile Zeile Zeile Zeile 4 Gauß-Elimination 4-3

24 Ablauf des Gauß-Algorithmus mit Hilfe des Tableaus A b Zeile Zeile Zeile Zeile 4 Beispielsweise entsteht die drittletzte Zeile des Tableaus, indem die Zeile mit Pivot-Element 1 und die darüberliegende Zeile, gewichtet mit den Faktoren 2 und 1 (notiert in der Kommentarspalte rechts), addiert werden. Gauß-Elimination 4-4

25 Rückwärtseinsetzen für das resultierende System in Dreiecksform, beginnend mit dem Tableau R b (erste vier Zeilen) = x = x = x = x 1 Gauß-Elimination 4-5