WS 2009/10. Diskrete Strukturen

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1 WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Das RSA Kryptosystem Kryptosystem: Verfahren zur Verschlüsselung und Entschlüsselung von Nachrichten. Schlüssel: Objekte (Zahlen, bitstrings), die für die Verschlüsselung und Entschlüsselung verwendet werden. 2

3 Symmetrische Kryptosysteme (secret key): Sender und Empfänger verwenden zum Ver- und Entschlüsseln einen einzigen, nur ihnen bekannten geheimen Schlüssel. Die Sicherheit der Kommunikation hängt von der sicheren Aufbewahrung der geheimen Schlüssel ab. Problem: Man braucht einen Schlüssel, um zu kommunizieren, aber man muss kommunizieren, um sich auf einen Schlüssel zu einigen 3

4 Asymmetrische Kryptosysteme (public key): Jeder Teilnehmer hat zwei Schlüssel: einen geheimen Schlüssel (private key) und einen öffentlichen Schlüssel (public key). Die öffentlichen Schlüssel werden in einem öffentlichen Schlüsselverzeichnis veröffentlicht (vgl. Telefonbuch). Eine Nachricht von A an B wird von A mit Hilfe des öffentlichen Schlüssels von B verschlüsselt. Die Entschlüsselung einer chiffrierten Nachricht 4 erfolgt mit dem privaten Schlüssel von B.

5 Das RSA Kryptosystem Das populärste asymmetrische Kryptosystem. Benannt nach Rivest, Shamir, und Adleman (ähnliche Methode von Cocks wurde geheim gehalten). Die Schlüssel sind (sehr) große Zahlen. Die Verfahren für Ver- und Entschlüsselung basieren auf Zahlentheorie. 5

6 Das RSA Kryptosystem: Schlüssel 6 Jeder Teilnehmer erzeugt zwei große Primzahlen p und q und wählt zwei Zahlen e und d wie folgt: Sei n = p q und Á = (p-1)(q-1) e ist eine Zahl 1 < e < Á mit ggt(e, Á)=1 (z.b. eine Primzahl zwischen 1 und Á ) d ist eine Zahl mit e d 1 mod Á Öffentlicher Schlüssel: (n, e) Privater Schlüssel: d

7 Das RSA Kryptosystem: Schlüssel Wahl von d Mit ggt(e, Á)=1 gibt es Zahlen a und b mit a e + b Á = 1 die mit dem Erweiterten Euklidschen Algorithmus berechnet werden können. Es folgt a e 1 mod Á Wir können also d:= a wählen. 7

8 Das RSA Kryptosystem: Verschlüsseln 8 Um eine chiffrierte Nachricht an einen Teilnehmer B mit öffentlichem Schlüssel (n, e) zu senden: 1. Zerlege die Nachricht so in Blöcke, dass jeder Block durch eine Zahl m < n dargestellt werden kann (e.g. ASCII codes). 2. Berechne für jeden Block die Zahl c := m e mod n. Die Chiffrierung des Blocks ist die Zahl c. 3. Schicke die Chiffrierungen c 1, c 2, c 3 der Blöcke an B.

9 Das RSA Kryptosystem: Entschlüsseln Um eine chiffrierte Nachricht, die an einen Teilnehmer B mit öffentlichem Schlüssel (n, e) und privatem Schlüssel d geschickt wurde, zu entschlüsseln: 1. Berechne c d mod n für c = c 1, c 2, c Diese Zahl ist garantiert die Darstellung m des Blocks. Gewinne aus m den Block zurück. 9

10 Das RSA Kryptosystem: Warum funktioniert es? Lemma (Euler). Seien p und q Primzahlen, n = p q und Á = (p-1)(q-1). Für alle m p, q gilt: m Á 1 mod n. 10

11 Das RSA Kryptosystem: Warum funktioniert es? Wir haben c d = (me) d = m ed Wegen d e 1 mod Á(n) gibt es k mit e d = 1 + k Á(n) Es folgt m ed = m 1 + k Á = m (m Á ) k und mit dem Lemma c d = m ed = m (m Á ) k m mod n 11

12 Das RSA Kryptosystem: Beispiel (aus Wikipedia) p = 61, q = 53 n = = 3233 Á = = 3120 Wähle e = 17, d= 2753 Es gilt d e = = = 1 + k Á Öffentlicher Schlüssel: (3233, 17) Privater Schlüssel:

13 Das RSA Kryptosystem: Beispiel (aus Wikipedia) Sei m = 123 c = mod 3233 = 855 m = mod 3233 =

14 Das RSA Kryptosystem: Ist es sicher? Keine Garantie! Bisher kein effizientes Verfahren bekannt, welches aus dem öffentlichen Schlüssel (n, e) den privaten Schlüssel d berechnet. Wenn man p und q kennt, dann kann d effizient berechnet werden. Für die Faktorisierung der Zahl n ist jedoch kein effizientes Verfahren bekannt. 14