Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4Q Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 2016
|
|
- Silke Flater
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg. Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs 4Q Lineare Algebra/Analytische Geometrie II SoSe 206 Bearbeiten Sie bitte drei der vier folgenden Aufgaben! Falls Sie alle vier Aufgaben bearbeitet haben sollten, kennzeichnen Sie bitte, welche drei Aufgaben gewertet werden sollen! Zur vollständigen Lösung einer Aufgabe gehört, wenn nicht anders angegeben, auch die stilistisch einweindfreie Darstellung des Gedankenganges. Pro gelöster Aufgabe erhalten Sie 0 Punkte, also maximal 30 Punkte. Eigener nicht-programmierbarer Taschenrechner ist erlaubt. Aufgabe (Matrixdarstelllung, inverse Matrix, Determinante) Seien V ein 3 dimensionaler reeller Vektorraum, ferner B = (b, b 2, b 3 ) eine Basis von V und f : V V ein Endomorphismus von V mit f(b ) = b 2 b 3 f(b 2 ) = b + b 2 f(b 3 ) = b b 2 + b 3 (i) Geben Sie (ohne Begründung) die Matrix A = MB B (f) an! Hinweis: Falls Sie sich nicht sicher sind, ob Sie die richtige Matrix angegeben haben, 0 wählen Sie für die weiteren Aufgabenteile statt A die Matrix A = 0 und statt f die zu A gehörende lineare Abbildung f! (ii) Zeigen Sie: det(a) 0. (iii) Berechnen Sie A (iv) Welchen Wert hat det(a )? (v) Geben Sie eine kurze Begründung dafür an, dass f invertierbar ist! (vi) Berechnen Sie f (b 2 ). Aufgabe 2 (Eigenwert, charakteristisches Polynom, Eigenbasis, Diagonalisierbarkeit) 0 0 t Sei A t = 0 0 eine reelle Matrix mit t R. 0
2 (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A t! (b) Bestimmen Sie die (reellen!) Eigenwerte von A t in Abhängigkeit von t! (c) Existiert für t > 0 eine Basis des R 3 aus Eigenvektoren? (Wenn ja, so müssen Sie diese nicht angeben!) (d) Berechnen Sie im Falle t 0 den zu A t gehörenden Eigenraum! (e) Ist A t mit t 0 diagonalähnlich? Aufgabe 3 (Eigenwerte theoretisch) Seien V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und f : V V ein Endomorphismus von V. Sei ferner A eine n n Matrix über K! Zeigen Sie:. Ist f ein Automorphismus und λ ein Eigenwert von f, so gilt: λ Ist f ein Automorphismus und v ein Eigenvektor von f, so ist v auch Eigenvektor von f. Lösungshinweis: Wenden Sie f auf die Gleichung f(v) = λv an! Ohne Beweis dürfen Sie benutzen, dass f ebenfalls linear ist. 3. Gilt A T A = E n, und ist λ Eigenwert von A, so ist λ 0 und λ ebenfalls Eigenwert von A. Lösungshinweis: Betrachten Sie E n v zum Eigenvektor v von A zum Eigenwert λ. Ohne Beweis dürfen Sie folgenden Satz verwenden: Die (quadratischen) Matrizen A und A T besitzen die gleichen Eigenwerte. Aufgabe 4 (orthogonale Abbildung, Skalarprodukt). Sei (V, Φ) ein euklidischer Vektorraum (also reeller Vektorraum mit Skalarprodukt Φ); sei ferner f ein Automorphismus von V, der mit dem Skalarprodukt Φ verträglich ist (, also ein SKP-Automorphismus von (V, Φ) )!. Zeigen Sie, dass f die Orthogonalität von Vektoren erhält, dass also für alle v, w V gilt: v Φ w f(v) Φ f(w). 2. Gibt es ein Skalarprodukt g auf R 2 mit ( ) (0, ) g (, ) und (0, ) g = = (, ) g? Lösungshinweis: (i) Bestimmen Sie zunächst die Matrix A g einer symmetrischen Bilinearform, die ( ) erfüllt! (ii) Zeigen Sie, dass g positiv definit ist. Hinweis: 2x 2 + 2xy + y 2 = x 2 + (x 2 + 2xy + y 2 ). 2
3 Lösungsskizzen zu Aufgabe (i) MB B (f) = 0 0. (ii)/(iii) Wir berechnen die Determinante und die Inverse von A gemeinsam durch (auch für die Determinantenberechnung zulässige) elementare Zeilenumformungen: (z = z + z 2 z 2 = z 2 + z 3 ) (z 3 = z 3 + z ) Da jeweils zu Zeilen nur Linearkombinationen von anderen Zeilen addiert wurden, ist det(a) = det(e 3 ) = (siehe linke Seite der erhaltenen Matrix). Ferner folgt (mit der rechten Seite der Matrix) A = 0 0 Alternativ kann man det A auch mit der Formel von Sarrus oder mit der Entwicklung nach Laplace berechnen.. (iv) Da det A = ist, gilt det(a ) = (det A) =. Alternativ lässt sich det(a ) mit Laplace oder Sarrus direkt aus A berechnen. (v) Wegen det(f) = det(mb B (f)) 0 ist f regulär und lässt sich (nach einem Satz aus der Vorlesung) invertieren. 0 (vi) Es gilt f (b 2 ) = b + b 2 + b 3 z.b. wegen A =. 0 3
4 zu Aufgabe 2 (a) x 0 t χ A (x) = det(a xe) = 0 x x = x3 + x(t ) + x = x 3 + xt = x(x 2 t). (b) Als Eigenwerte kommen nach Teil also in Frage λ = 0, λ 2/3 = ± t. Im Falle t > 0 gibt es daher 3 verschiedene Eigenwerte, im Fall t = 0 den einzigen Eigenwert λ = 0 in algebraischer Vielfachheit 3 und im Falle t < 0 den rellen Eigenwert λ = 0 in Vielfachheit. (c) Wenn t > 0 ist, dann sind die drei Eigenwerte verschieden, also gibt es drei zugehörige Eigenvektoren, die den Raum R 3 aufspannen (A ist diagonalisierbar). (d)/(e) Im Falle t 0 ist λ = 0 der einzige Eigenwert von A (s. Teil 2!). Nun gilt 0 0 t x y = 0 z = 0 x + y = 0. 0 z 0 Der zugehörige Eigenraum ist Eig(A t, 0) = R. Da dieser eindimensional ist, kann A t nicht zu einer Diagonalmatrix ähnlich 0 sein. zu Aufgabe 3. Wäre λ = 0, so existierte ein Eigenvektor v 0 mit f(v) = 0 v = 0. Damit wäre Kernf {0} und f nicht injektiv. 2. Da λ Eigenwert von f ist, existiert ein Eigenvektor v mit v 0 und f(v) = λv. Nach Teil ist λ 0; da f ebenfalls linear ist, folgt v = f (λv) = λf (v) und daraus λ v = f (v). Also ist v auch Eigenvektor zum Eigenwert λ von f. 3. Aus Av = λv und v 0 folgt 0 v = E 3 v = A T Av = A T λv = λa T v, also λ 0 und A T v = λ v. Nach Lösungshinweis haben A und A T die gleichen Eigenwerte. Also ist λ auch Eigenwert von A. zu Aufgabe 4. Mit der Definition v g w : Φ(v, w) = 0 gilt (wegen der Verträglichkeit von Φ und f) für alle v, w V : v Φ w Φ(v, w) = 0 Φ(f(v), f(w)) = 0 f(v) Φ f(w). 4
5 2. Existiert ein Skalarprodukt g der geforderten Eigenschaften? Sei ( ) α β A g = β γ die (symmetrische!) Fundamentalmatrix einer symmetrischen Bilinearform g (bzgl. der kanonischen Basis)! (i) Es muss dann wegen ( ) gelten: ( α β 0 = (0 ) β γ und damit und schließlich ) ( ) = (β γ) ( ) ( ) α β 0 = (0 ) = β β β = ( ) ( ) ( ) α ( ) = β + γ = α. ( ) 2 Als einzige Möglichkeit bleibt A g =. Umgekehrt (!) erfüllt eine (symmetrische) Bilinearform g mit dieser Matrix die Forderungen ( ) (ii) Zu untersuchen bleibt, ob diese Matrix (und damit g) positiv definit ist: ( ) ( ) 2 ξ g(ξ, η), (ξ, η)) = (ξ η) = (2ξ + η)ξ + (ξ + η)η η = 2ξ 2 + 2ξη + η 2 = ξ 2 + (ξ + η) 2 0 für alle ξ, η R. Und g((ξ, η), (ξ, η)) = 0 gilt nach der vorigen Berechnung nur für (ξ, η) = (0, 0). Damit ist nachgewiesen, dass ein Skalarprodukt der angegebenen Eigenschaften existiert. 5
Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,
Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, 6.7.6 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)
MehrKlausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2015/16
Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg. Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 25/6 Bearbeiten Sie bitte
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,
MehrEigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrLösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015
sskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 5 Aufgabe I. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und M {x G x x e}. Zeigen Sie: (a) Ist G kommutativ, so ist M eine Untergruppe von G. (b)
Mehra b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,
Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist
MehrLineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Algebra und Geometrie Dr. Klaus Spitzmüller Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik Lösungen zum
Mehr6 Hauptachsentransformation
6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 0/06 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung... und ein guter Lehrer kann auch einem schlechten Schüler was beibringen Beziehung zwischen Eigenräumen Wir
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
Mehr4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen
4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen (4.1) Seien V,W endlich dimensionale K-Vektorräume, und sei T : V W linear. Sei {v 1,...,v } Basis von V und {w 1,...,w M } Basis von W. Sei T (v j ) = M a kj w
Mehra) Ein Gruppenhomomorphismus von G nach H ist eine Abbildung Φ : G H, sodass für alle g 1, g 2 G die Gleichung Φ(g 1 g 2 ) = Φ(g 1 ) Φ(g 2 )
I. (4 Punkte) Es seien (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e G und (H, ) eine weitere Gruppe. a) Geben Sie die Definition eines Gruppenhomomorphismus Φ : G H an und beweisen Sie, dass für solch einen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 23): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag 3. Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen sowie der Tatsache, daß sich die Determinante
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 2015/2016: Lösungen
1 Lineare Abhängigkeit 1.1 Für welche t sind die folgenden Vektoren aus 3 linear abhängig? (1, 3, 4), (3, t, 11), ( 1, 4, 0). Das zur Aufgabe gehörige LGS führt auf die Matrix 1 3 4 3 t 11. 1 4 0 Diese
MehrAufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009
I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA II 19. Juli 2008
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA II 19. Juli 2008 MUSTERLÖSUNG Name: Studiengang: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter die Aufgabenstellung
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra I
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 23.7.2 Mathematisches Institut Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Oleg Bogopolski Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra I Bearbeitungszeit: 2 min Bitte
MehrKlausur zu. Lineare Algebra II. Viel Erfolg! Fachbereich Mathematik WS 2012/13 Dr. habil. Matthias Schneider. Bonus Note. Aufgabe
Klausur zu Lineare Algebra II Fachbereich Mathematik WS 0/3 Dr. habil. Matthias Schneider Aufgabe 3 4 5 6 7 Bonus Note Punktzahl 4 3 3 3 3 0 erreichte Punktzahl Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
Mehr18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 12 Hausaufgaben Aufgabe 12.1 Sei f : R 3 R 3 gegeben durch f(x) :=
MehrLineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt
Lineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 01 Prof. Dr. Matthias Schneider./. Juli 01 Dr. Silke Horn Dipl.-Math. Dominik Kremer Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) (a) Welche
Mehr43911: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Herbst 2015 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner 49: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Herbst 5 Lösungsvorschlag I.. a Die in Abhängigkeit vom Parameter t R für t t A t t t R und b R t + t t + t zu betrachtende Menge F t { x
Mehr7.2 Die adjungierte Abbildung
7.2 Die adjungierte Abbildung Definition 7.2.1 Eine lineare Abbildung f : V K heißt lineares Funktional oder Linearform. (Diese Definition gilt für beliebige K-Vektorräume, nicht nur für innere Produkträume.)
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen 3 0 0 A = 0 4, B = 3, C = 0 0 0 6 0 0 0 sind über R und welche über C diagonalisierbar? Bestimmen Sie dazu
Mehr5 Diagonalisierbarkeit
5 Diagonalisierbarkeit Sei V ein K Vektorraum mit einer Basis B = (v 1,..., v n ) Wiederholung aus 2: Sei f : V V K linear. Stelle f(v j ) für j = 1,..., n dar in der Form a 1j Das n Tupel a j =. a nj
MehrLösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich:
Lineare Algebra D-MATH, HS 04 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: a) F (X) := X 5 X in R[X] und C[X]. b) F (X) := X 4 +X 3 +X in
MehrHenning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich
Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es
MehrMathematik I. Vorlesung 16. Eigentheorie
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 009/00 Mathematik I Vorlesung 6 Eigentheorie Unter einer Achsenspiegelung in der Ebene verhalten sich gewisse Vektoren besonders einfach Die Vektoren auf der Spiegelungsachse
Mehr4.2 Die adjungierte Abbildung
4.2. DIE ADJUNGIERTE ABBILDUNG 177 4.2 Die adjungierte Abbildung Die Vektorräume dieses Paragraphen seien sämtlich euklidisch, die Norm kommt jetzt also vom inneren Produkt her, v = v v. Zu f Hom R (V,
MehrLineare Algebra 2 (SS 13) Blatt 13: Musterlösung
Prof. Dr. B. Hanke Dr. J. Bowden Lineare Algebra 2 (SS ) Blatt : Musterlösung Aufgabe. Es sei C (R) der R-Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf R und : C (R) C (R), f f die Abbildung,
MehrBeispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger
Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit
MehrPrüfung Lineare Algebra 2
1. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix,
MehrDeterminanten. Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem =. (1) y = Sei o.b.d.a a 0 und c 0. Dann ist (1) äquivalent zu. = ac ad y.
Determinanten Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem [ [ [ a b x u = (1) c d y v Sei obda a und c Dann ist (1) äquivalent zu [ [ ca cb x = ac ad y und ferner zu [ [ ca cb x ad cb y Falls
MehrÜbungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1
Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1 Andreas Čap Sommersemester 2015 Wiederholung grundlegender Begriffe (1 Bestimme Kern und Bild der linearen Abbildung f : R 3 R 3, die gegeben ist durch f(x, y,
Mehr1. Hausübung ( )
Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ). Hausübung (8.4.) Aufgabe Es seien σ (3, 6, 5,, 4, 8,, 7) und τ (3,,, 4, 6, 5, 8, 7). Berechnen Sie σ τ, τ σ, σ, τ, die Anzahl der Inversionen von σ und τ
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG Aufgabe 1 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und seien v 1,..., v n V (n N). (a) Definieren Sie, wann die endliche Familie v 1,...,
MehrMatrizen: Theorie und Anwendungen
Einführungsvortrag der Lehrerfortbildung am 23 September 2009 Markoff-Ketten, Call-Center und Google s PageRank: Zur Theorie und Anwendungen von Matrizen von Harm Pralle Institut für Mathematik Technische
MehrLösung zu Serie 18. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink
Lineare Algebra D-MATH, HS 201 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 18 1. Sei V,, ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum. Zeige, dass zu jeder Sesquilinearform f : V V C eine eindeutige lineare Abbildung
Mehr3 Definition: 1. Übungsblatt zur Vorlesung Lineare Algebra I. im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette
1. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den 30.10.03 1 Finden 2 Sei Sie reelle Zahlen a, b, c, so dass a (2, 3, 1) + b (1, 2, 2) + c (2, 5, 3) = (3, 7, 5). (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Zeigen
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrAussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrInhaltsverzeichnis. I Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1. Vorwort
Vorwort V I Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 1 Der Begriff des Körpers 3 1.1 Mengen 3 1.2 Köiperaxiome 3 1.3 Grundlegende Eigenschaften von Körpern 5 1.4 Teilkörper 7 1.5 Aufgaben 8 1.5.1 Grundlegende
MehrLineare Algebra II. Inhalt und Begriffe. Lineare Algebra II p. 1
Lineare Algebra II Inhalt und Begriffe Lineare Algebra II p. 1 Inhaltsverzeichnis Kapitel II Grundlagen der Linearen Algebra... Lineare Algebra II p. 2 Inhaltsverzeichnis Kapitel II Grundlagen der Linearen
MehrMusterlösung der Klausur zur linearen Algebra II
David Blottière SS 7 Patrick Schützdeller Universität Paderborn Julia Sauter Musterlösung der Klausur zur linearen Algebra II Aufgabe 1 Bestimmen Sie Jordan-Normalformen der folgenden Matrizen, und schreiben
MehrLineare Algebra II 11. Übungsblatt
Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross 9 / Juni Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Minitest (Bearbeitung innerhalb von Minuten und ohne Benutzung des
MehrAUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW
AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x
MehrMat(2 2, R) Wir bestimmen das charakterische Polynom 1 f A (t) = t 2 t 2 = (t 2)(t + ( 1). ) 2 2. Eigenvektor zu EW 2 ist v 2 = 1 1
Aufgabe. Bestimmen Sie das Exponential expa) der Matrix ) 5 6 A = Mat, R). 4. Wir bestimmen das charakterische Polynom f A t) = t t = t )t + ). ). Eigenvektor zu EW ist v = ). Eigenvektor zu EW ist v =
Mehr9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-4.. Aufgabe G (Koordinatentransformation)
MehrÜbungen zur Vorlesung Lineare Algebra
Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra Institut für Reine Mathematik WS 2009/10 & SS 2010 Kapitel 1. Vektorräume Was ist ein Vektorraum? Sei X und K ein Körper. Wie macht man Abb (X, K) zu einem K -Vektorraum?
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrMatrikel- Nummer: Aufgabe Summe Punkte /1 /3 /4 /3 /9 /7 /2 /2 /31
Scheinklausur Höhere Mathematik 0 0 0 Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 4 5 6 7 8 Summe Punkte / / /4 / /9 /7 / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 2015/2016: Lösungen
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 5/6: Lösungen Darstellungsmatrizen. Bestimme die Darstellungsmatrix M B,B (f ) für die lineare Abbildung f : 3, die durch f (x, y, z) = (4x + y z, y + z) definiert
MehrLina II - Aufgaben zur Vorbereitung für die Klausur (Teil 1) - Lösungen
Lina II - Aufgaben zur Vorbereitung für die Klausur (Teil 1) - en Kommentare an HannesKlarner@FU-Berlinde FU Berlin SS 1 Dia- und Trigonalisierbarkeit Aufgabe (1) Gegeben seien A = i i C 3 3 und B = 1
MehrOrthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen
Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).
MehrPrüfung Lineare Algebra , B := ( ), C := 1 1 0
1. Es seien 1 0 2 0 0 1 3 0 A :=, B := ( 1 2 3 4 ), C := 1 1 0 0 1 0. 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. A und C haben Stufenform, B nicht. B. A und B haben Stufenform,
MehrMC-Serie 11: Eigenwerte
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung
MehrSkript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I. Februar 008 MUSTERLÖSUNG Diese Klausur wurde je nach Sitzreihe in zwei verschiedenen Versionen geschrieben. Die andere Version unterscheidet sich von der vorliegenden jedoch
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
Mehr6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.
Um zu zeigen, dass die irreduziblen Teiler eines reellen Polynoms höchstens den Grad 2 haben, fassen wir nun (x γ) und (x γ) zusammen und stellen fest, dass (x (a + b i))(x ((a b i)) = x 2 2a + (a 2 +
MehrLineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 12. Übungsstunde Steven Battilana stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching December 14, 2017 1 Erinnerung: Determinanten, Orthogonale/unitäre Matrizen Sei A R 2 2, dann kann die Inverse
Mehr3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform
LinAlg II Version 1 29. Mai 2006 c Rudolf Scharlau 219 3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform Das Problem der Normalformen für Endomorphismen handelt kurz gesprochen
MehrProseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt
Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2
Mehr6. Normale Abbildungen
SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische
MehrBonusmaterial Euklidische und unitäre Vektorräume Geometrie in höheren Dimensionen
Bonusmaterial Euklidische und unitäre Vektorräume Geometrie in höheren Dimensionen Orthogonale und unitäre Endomorphismen Wir untersuchen nun lineare Abbildungen in euklidischen und unitären Vektorräumen
MehrFerienkurs zur Linearen Algebra Bilinearformen, Euklidische Vektorräume und Endomorphismen Musterlösungen zu den Übungen
Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs zur Linearen Algebra Bilinearformen, Euklidische Vektorräume und Endomorphismen Musterlösungen zu den Übungen Freitag, 6.. Sascha Frölich
MehrLineare Algebra I/II LVA ,
Lineare Algebra I/II LVA 401-1151-00,401-1152-00 Prof. G. Wüstholz, C. Fuchs Lösungen zur Basisprüfung, HS08/FS09 09.02.2010 1. a) (1 Punkt) Wir beginnen mit dem charakteristischen Polynom der Matrix A:
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 205/206 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 2 Ein guter Schüler lernt auch bei einem schlechten Lehrer Eigentheorie Unter einer Achsenspiegelung in der
MehrProbeklausur Lineare Algebra für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch Probeklausur Lineare Algebra für Physiker SS 8 26./27.6.27 Name:..................................... Vorname:.................................
Mehr1 Die Jordansche Normalform
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 4/5 A Die Jordansche Normalform Vierter Tag (9.03.205) Im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme
MehrEigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte (Teschl/Teschl 4.2 Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
MehrÜbungen zu Lineare Algebra und Geometrie für LAK
Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie für LAK Andreas Cap Wintersemester 2010/11 Wiederholung grundlegender Begriffe (1) Bestimme Kern und Bild der linearen Abbildung f : R 3 R 3, die gegeben ist durch
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt
MehrLineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni.
Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Eigenvektoren
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner SS 0 Blatt 9 9060 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach Lösungsvorschlag a Die gegebene Matrix
MehrPrüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner oder gleich π. B. Wenn n = 2
MehrKLAUSUR. Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.:
KLAUSUR Lineare Algebra (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure/Informatiker).3. (W. Koepf) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Für jede Aufgabe gibt es Punkte. Zum Bestehen der Klausur
Mehrund Unterdeterminante
Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,
MehrLösungsskizze zur Wiederholungsserie
Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lösungsskizze zur Wiederholungsserie. [Aufgabe] Schreibe die lineare Abbildung f : Q Q 5, x +x +x x x +x +6x f x := x +x +8x x x +x +x. x +x +5x als Linksmultiplikation
MehrAufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I
Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I Es werden folgende Themen behandelt:. Formale und logische Grundlagen 2. Algebraische Grundlagen 3. Vektorräume und LGS 4. Homomorphismen und
Mehr7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt
Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 121 7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u
Mehr10. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013 A =
O Alaya, S Demirel M Fetzer, B Krinn M Wied Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester /3 Dr M Künzer Prof Dr M Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 34 a Gegeben ist
MehrFachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt
MehrVariante A. Hinweise
Lehrstuhl C für Mathematik (Analsis Prof. Dr. Y. Guo Aachen, den 6..3 Klausur zur Höheren Mathematik I WS /3 Variante A Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
Mehr4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau
312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind
Mehr5. Übung zur Linearen Algebra II -
5. Übung zur Linearen Algebra II - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. SS 2. Aufgabe 7 5 A := 2. 3 2 (i) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. (ii) Ist A diagonalisierbar?
Mehr46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen
46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 46.1 Motivation Symmetrische Matrizen (a ij = a ji für alle i, j) kommen in der Praxis besonders häufig vor. Gibt es für sie spezielle Aussagen über
Mehr10. Übung zur Linearen Algebra II -
0. Übung zur Linearen Algebra II - Lösungen Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. SS 00. Aufgabe 7 Der ( linearen ) Abbildung ϕ : R R sei bzgl. der kanonischen Basis die Matrix zugeordnet.
MehrAufgabe I.1 (4 Punkte) Gegeben seien die Matrix H := und die Menge L := {A R 4 4 A HA = H} Zeigen Sie:
Aufgabe I (4 Punkte Gegeben seien die Matrix und die Menge Zeigen Sie: H := L := {A R 4 4 A HA = H} a L ist bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe b Die Matrizen der Form ( E O, O B wobei E R
MehrD-MATH, D-PHYS, D-CHEM Lineare Algebra II SS 011 Tom Ilmanen. Musterlösung 12. a ij = v i,av j (A ist symmetrisch) = Av i,v j
D-MATH, D-PHYS, D-CHEM Lineare Algebra II SS 0 Tom Ilmanen Musterlösung 2. Falls b := (v,,v n ) eine Orthonormalbasis von V ist, dann lassen sich die Komponenten von einem Vektor v = n i= t i v i bezüglich
Mehr