ϕ (im Bogenmaß) = ϕ (in ) π

Transkript

1 1 Kurze Einführung in die trigonometrischen Funktionen: Die trigonometrischen Funktionen gehören zum Standardstoff im Mathematik Unterricht der Gmnasien. Deshalb werde ich mich auf eine knappe Einführung beschränken, die sich an der Verwendung der trigonometrischen Funktionen in der Analsis orientiert. Dabei ist es insbesondere in der Differential und Integralrechnung zweckmäßig, Winkel im Bogenmaß, d.h. als Bogenlänge auf dem Einheitskreis (=Kreis mit dem Radius 1) anzugeben. Die Umrechnung von Grad in das Bogenmaß geschieht nach der Formel: (im Bogenmaß) = (in ) π. 180 Ein rechter Winkel z.b. ist demnach = π/2 im Bogenmaß. In den folgenden Abbildungen wird der Winkel also immer im Bogenmaß angegeben, d.h. der Winkel ist gleich der Länge des eingezeichneten Bogens auf dem Einheitskreis von dem Punkt (1, 0) zu dem Punkt P bzw. Q. Der Cosinus des Winkels ist somit die Koordinate des Punktes P, der Sinus des Winkels die Koordinate des Punktes P. Es ist gleichzeitig ein rechtwinkliges Dreieck eingezeichnet, bei dem man die für [0, π/2] gültigen Grundbeziehungen cos= Ankathete/Hpothenuse und sin = Gegenkathete/Hpothenuse erkennen kann. Für die Definition von Sinus und Cosinus für Winkel beliebiger Größe ist aber die gewählte Darstellung am Einheitskreis günstiger. Die Kreisbögen sind mit einem Zeichenprogramm konstruiert, das für die Beschriftung günstig ist, mit dem aber Kreisbögen über Näherungskurven gezeichnet werden.

2 2 sin P cos (0, π/2) ist ein spitzer Winkel. Aus der Zeichnung erhält man sofort cos = sin(π/2 ), sin = cos(π/2 ) und mit Hilfe der Lehrsatzes von Pthagoras: cos 2 + sin 2 (:= (cos ) 2 + (sin ) 2 ) = 1 Diese drei Beziehungen gelten nicht nur für spitze Winkel, sondern für beliebige Winkel. P sin cos (π/2, π) ist ein stumpfer Winkel.

3 cos 3 (π, 3π/2) ist ein überstumpfer Winkel. P sin cos (3π/2, 2π) ist ein überstumpfer Winkel. sin P Q cos( ) sin( ) P Der Winkel ( ) liegt also im Interval ( π/2, 0). Offensichtlich ist cos( ) auch die Koordinate von Q und somit = cos, und sin( ) ist die umgeklappte Koordinate von Q und somit = ( sin ). Es gilt also hier (und auch für beliebige Winkel):

4 4 cos( ) = cos und sin( ) = sin. Der Cosinus ist somit eine gerade Funktion und der Sinus eine ungerade Funktion, wobei eine gerade Funktion durch die Eigenschaft f( ) = f() für alle D(f) und eine ungerade Funktion durch die Eigenschaft f( ) = f() für alle D(f) definiert ist. Das Schaubild einer geraden Funktion ist achsensmmetrisch bezüglich der Achse und das Schaubild einer geraden Funktion ist punktsmmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Dies ist an den Schaubildern von Cosinus und Sinus (s.u.) gut zu erkennen. sin P ψ cos = 2π + ψ ψ (0, π/2) ist der durch die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis von dem Punkt (1, 0) zu dem Punkt P gekennzeichnete spitze Winkel, und (2π, 2π + π/2) ist durch die Länge des Bogens von dem Punkt (1, 0) zu dem Punkt (1, 0) zurück über den gesamten Einheitskreis und dann zu dem Punkt P gekennzeichnet. Es gilt nun offensichtlich cos(ψ + 2π) = cos() = cos(ψ) und sin(ψ + 2π) = sin() = sin(ψ). Man bezeichnet deshalb Cosinus und Sinus als 2π periodische Funktionen. Eine p periodische Funktion hat die Eigenschaft: f(+p) = f() für alle D(f). Es gibt noch zwei weitere trigonometrische Funktionen, die über Sinus und Co-

5 5 sinus leicht definiert werden können, und zwar Tangens und Cotangens: tan := sin cos, cos cot := sin = 1 tan. Es werden auch die Bezeichnungen tg für den Tangens und ctn oder ctg für den Cotangens verwendet. Der Zusammengang mit der (allerdings wieder nur für spitze Winkel erklärte) Grundeigenschaft tan =Gegenkathete/Ankathete wird in der nächsten Abbildung erläutert, wobei der tan also die Koordinate des Punktes P ist. tan P Aus den obigen Darstellungen der trigonometrichen Funktionen ergeben sich nun folgende Schaubilder, bei denen die Stellen ±π/2 = ±1.57, ±π = ±3.14 und ±2π = ±6.28 ( = bedeutet hier, wie allgemein vereinbart, auf die angegebene Stellenzahl genau übereinstimmend aber nicht eakt gleich) auf der Achse nachträglich gekennzeichnet werden sollten. Bei den Schaubildern für Cosinus und Sinus ist aus optischen Gründen für die Achse ein anderer Maßstab als für die Achse gewählt worden. Diese Schaubilder sind aber dadurch für eine Darstellung z.b. von Tangentensteigungen nicht brauchbar.

6 Schaubild der Cosinus Funktion:

7 Schaubild der Sinus Funktion:

8 8 Schaubild der Tangens Funktion: Die eingezeichneten senkrechten Geraden (mit Ausnahme der Achse) sind Asmptoten der Kurve zu tan.