Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution
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- Sarah Ursler
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1 Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution Stephan Schwiebert WS 2009/2010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln
2 Inferenz-Algorithmus Wie könnte ein Algorithmus konstruiert werden, der die Wumpus-Welt analysieren kann (um intelligente Entscheidungen des Agenten zu ermöglichen)? Erster Ansatz: Konstruktion einer Wahrheitstabelle Mit Hilfe geeigneter Regeln lassen sich sinnvolle Aktionen für den Agenten ermitteln. Beispiel: (WumpusAhead WumpusAlive) Shoot
3 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1
4 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 )
5 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 )
6 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ( Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ))
7 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ( Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) aus Wissen (oben) ergibt sich (P 1,2 P 2,1 )
8 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ( Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) aus Wissen (oben) ergibt sich (P 1,2 P 2,1 ) und damit ( P 1,2 P 2,1 )
9 Inferenz-Algorithmus Wie könnte ein Algorithmus konstruiert werden, der die Wumpus-Welt analysieren kann (um intelligente Entscheidungen des Agenten zu ermöglichen)? Erster Ansatz: Konstruktion einer Wahrheitstabelle Problem 1: Sehr viele atomare Aussagen: Bei n unterschiedlichen Symbolen enthält die Tabelle 2 n Zeilen... Problem 2: Welcher Inferenz-Mechanismus wird wann benutzt?
10 Resolution
11 Resolution (Idee) Wissensbasis (Knowledge Base, KB) enthält folgendes Wissen: (L 1 L 2 ) und ( L 1 L 3 ) Welche Folgerung ergibt sich hieraus?
12 Resolution (Idee) Wissensbasis (Knowledge Base, KB) enthält folgendes Wissen: (L 1 L 2 ) und ( L 1 L 3 ) (L 2 L 3 ) wahr muss wahr sein, d.h. die Wissensbasis kann um diesen Ausdruck erweitert werden.
13 Resolution (Idee) Wissensbasis (Knowledge Base, KB) enthält folgendes Wissen: (L 1 ) und ( L 1 ) Welche Folgerung ergibt sich hieraus?
14 Resolution (Idee) Wissensbasis (Knowledge Base, KB) enthält folgendes Wissen: (L 1 ) und ( L 1 ) Die Wissensbasis kann nicht wahr sein, da sie einen Widerspruch enthält ( leere Klausel ).
15 Resolution (Allgemein) Sei (L 1... L i... L k ) (M 1... M j... M n ) eine Formel, deren Wahrheitswert wahr ist, und sei M j = L i. Aus dieser Formel lässt sich eine neue Formel erzeugen, in der die Komplemente M j und L i nicht enthalten sind: (L 1... L i-1 L i+1... L k ) (M 1... M j-1 M j+1... M n )
16 Resolution (Allgemein) (L 1... L i-1 L i+1... L k ) (M 1... M j-1 M j+1... M n ) Wenn L i wahr ist, muss M j falsch sein (war so definiert). Daraus folgt, dass (M 1... M j-1 M j+1... M n ) wahr sein muss. Wenn L i falsch ist, muss M j wahr sein. Daraus folgt, dass (L 1... L i-1 L i+1... L k ) wahr sein muss.
17 Resolutionsalgorithmus Idee: Beweis durch Widerspruchsbeweis: Statt zu zeigen, dass sich aus einer Menge von Regeln KB die Formel α ableiten lässt (KB = α), wird gezeigt, dass (KB α) nicht erfüllbar ist (und somit das Gegenteil wahr sein muss).
18 Resolutionsalgorithmus
19 Resolution: Beispiel KB = (B 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) B 1,1 Annahme: α = P 1,2 KB KNF = ( B 1,1 P 1,2 P 2,1 ) ( P 1,2 B 1,1 ) ( P 2,1 B 1,1 )
20 Problem Lässt sich jede Formel als Konjunktion von Klauseln darstellen, wobei jede Klausel nur Disjunktionen von Literalen (sowie deren Negation) enthält?
21 Exkurs: Disjunktive Normalform Definition: Ein Satz, der als Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ausgedrückt wird, befindet sich in der disjunktiven Normalform (DNF). Beispiel: (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 L 7 ) (L 4 L 5 ) (L 2 L 6 ) Behauptung: Jede Formel der Aussagenlogik kann in DNF dargestellt werden.
22 Exkurs: Disjunktive Normalform Beweis: Erzeuge Wahrheitstabelle für F Jede Zeile aus F, die wahr ist, lässt sich als Term aus Konjunktionen der einzelnen Literale und deren Negation repräsentieren. Die so erzeugten Terme entsprechen der DNF von F.
23 Exkurs: Disjunktive Normalform Beispiel: F = [ (A B) C ] A B C (A B) C W w w W W w f F W f w W W f f W f w w W f w f W f f w W f f f W
24 Exkurs: Disjunktive Normalform Beispiel: F = [ (A B) C ] A B C (A B) C W w w W W w f F W f w W W f f W f w w W f w f W f f w W f f f W F = (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C)
25 Exkurs: Konjunktive Normalform Definition: Ein Satz, der als Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ausgedrückt wird, befindet sich in der konjunktiven Normalform (KNF). Beispiel: (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 L 7 ) (L 4 L 5 ) (L 2 L 6 ) Behauptung: Jede Formel der Aussagenlogik kann in KNF dargestellt werden.
26 Exkurs: Konjunktive Normalform Beweis: Erzeuge Wahrheitstabelle für F Jede Zeile aus F, die falsch ist, lässt sich als Term aus Konjunktionen der einzelnen Literale und deren Negation repräsentieren. Die so erzeugten Terme entsprechen der KNF von F.
27 Konjunktive Normalform Beispiel: F = [ (A B) C ] A B C (A B) C W w w W W w f F W f w W W f f W f w w W f w f W f f w W f f f W F = ( A B C)
28 Konjunktive Normalform Beispiel 2: F =??? A B C??? W w w W W w f F W f w F W f f W f w w W f w f F f f w W f f f W F = ( A B C) ( A B C) (A B C)
29 Normalformen Normalformen können auch ohne den Umweg über eine Wertetabelle konstruiert werden (vgl. Folien der 2. Sitzung)
30 Resolution: Fazit Sämtliches mit Aussagenlogik ausdrückbare Wissen kann in konjunktiver Normalform dargestellt werden. Der Resolutionsalgorithmus kann jede KNF-Formel überprüfen.
31 Erfüllbarkeit /Satisfiability
32 Erfüllbarkeit Die Entscheidung darüber, ob eine KNF mit 3 oder mehr Literalen pro Klausel erfüllbar ist oder nicht, ist i.d.r. nicht mit polynomiellem Zeitaufwand (sondern mit exponentiellem Zeitaufwand) berechenbar. Dieses Entscheidungsproblem wird auch als SAT (bei 3 Literalen pro Klausel 3-SAT) bezeichnet.
33 P vs NP P vs NP ist eine der klassischen Fragestellungen der Komplexitätstheorie: Ausgehend von der Frage, wie viel Zeit benötigt wird, um ein Problem der Länge n zu lösen (z.b. n Zahlen sortieren), lassen sich Probleme unterteilen in P = Menge aller Probleme, die mit einem Zeitaufwand von n k gelöst werden können. NP Menge aller Probleme, die mehr Zeit benötigen.
34 P vs NP Stephen A. Cook bewies 1971, dass sich eine Teilmenge der NP-schweren Probleme auf das Entscheidungsproblem SAT reduzieren lassen. Bis heute ungeklärt ist hingegen die Relation zwischen P und NP: Ist P eine echte Teilmenge von NP (P NP), oder gilt P = NP?
35 Fazit Unschöne Konsequenzen: SAT liegt in NP Der Resolutionsalgorithmus braucht zu viel Zeit, um in der Praxis sinnvoll eingesetzt werden zu können. Ein besserer Algorithmus setzt voraus, dass P = NP...
36 Hornklauseln
37 Hornklauseln Sind eine Teilmenge der Klauseln der KNF.
38 Hornklauseln Sind eine Teilmenge der Klauseln der KNF. Lassen sich durch effiziente Algorithmen schnell (d.h. in polynomieller Zeit) berechnen.
39 Hornklauseln Sind eine Teilmenge der Klauseln der KNF. Lassen sich durch effiziente Algorithmen schnell (d.h. in polynomieller Zeit) berechnen. Sind Basis der Entscheidungen eines Prolog- Interpreters.
40 Hornklauseln Bestehen wie Klauseln der KNF aus Disjunktionen von Literalen, jedoch gilt zusätzlich, dass eine Klausel kein positives Literal enthält (Zielklausel) ( A B C D) oder eine Klausel genau ein positives Literal enthält (definite Klausel) ( A B C D E)
41 Hornklauseln Entsprechen Implikationen: Zielklausel ( A B C) [ (A B C) false ] definite Klausel ( A B C E) [ (A B C) E ]
42 Beweis zu zeigen: ( A B C) [ (A B C) false ] A B C = A B C 0 Sie wissen bereits, dass X Y X Y d.h. X = A B C entsprechend: X = ( A B C) Anwendung de Morgan (( P Q) (P Q)) : ( A B C) 0 (A B C) 0
43 Terminologie (A B C) E Rumpf einer Klausel Kopf einer Klausel (A B C) false Fakt/Tatsache
44 Vorteile von Hornklauseln Einfach zu erzeugen, weil nur zwei (halbwegs intuitive) Typen von Klausel Einfach zu verketten Schnell (linear zur Größe der Wissensbasis) zu verarbeiten
45 Inferenzalgorithmus für Hornklauseln Idee: Aus den bekannten Fakten (Zielklauseln) und den Implikationen der Regeln (definite Klauseln) neue Fakten generieren und der Wissensbasis hinzufügen.
46 Beispiel (Vorwärtsverkettung)
47 UND-ODER-Graph
48 Algorithmus zur Vorwärtsverkettung
49 Vorwärts-Verkettung Prämissen von A P L Prämissen von A B L
50 Vorwärts-Verkettung
51 Vorwärts-Verkettung
52 Vorwärts-Verkettung
53 Vorwärts-Verkettung
54 Vorwärts-Verkettung
55 Vorwärts-Verkettung
56 Vorwärts-Verkettung
57 Rückwärts-Verkettung Idee: Ausgehend von der Frage (im Beispiel: Ist Q wahr?) den Wahrheitswert der betroffenen Regeln ermitteln.
58 Rückwärts-Verkettung
59 Rückwärts-Verkettung
60 Rückwärts-Verkettung
61 Rückwärts-Verkettung
62 Rückwärts-Verkettung
63 Rückwärts-Verkettung
64 Rückwärts-Verkettung
65 Rückwärts-Verkettung
66 Rückwärts-Verkettung
67 Rückwärts-Verkettung
68 Fazit Hornklauseln ermöglichen es, eine Teilmenge der Aussagenlogik so zu behandeln, dass Die Welt durch Wissen und Regeln (Implikationen) beschrieben werden kann Aus diesem Wissen neues Wissen generiert werden kann Fragen beantwortet werden können Die Komplexität des Inferenzalgorithmus in P liegt
69 Literatur Grafiken aus Russell/Norvig: Artificial Intelligence. A modern approach.
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