nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

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1 Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0 < x 1 <... < x n = b} nennt mn eine Zerlegung (Prtition, Unterteilung) des Intervlls [, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dbei Z = mx 1 i n (x i x i 1 ) Mn bezeichnet mit Z bzw. Z[, b] die Menge ller Zerlegungen des Intervlls [, b]. 72 Definition: 2) Jede Summe der Form R f (Z) := f(ξ i )(x i+1 x i ) (x i ξ i x i+1 ) nennt mn eine Riemnnsche Summe der Zerlegung Z, U f (Z) := inf f([x i, x i+1 ]) (x i+1 x i ) nennt mn die Untersumme von f(x) zur Zerlegung Z, O f (Z) := sup f([x i, x i+1 ]) (x i+1 x i ) nennt mn die Untersumme von f(x) zur Zerlegung Z. 73

2 Beobchtung: Aus den Definitionen folgt direkt: 1) Für feste Zerlegungen gilt stets: U f (Z) R f (Z) O f (Z) 2) Ist Z 1 eine feinere Zerlegung ls Z 2, i.e. Z 2 Z 1, so gilt: U f (Z 2 ) U f (Z 1 ) O f (Z 1 ) O f (Z 2 ) 3) Für zwei beliebige Zerlegungen Z 1 und Z 2 gilt dher: U f (Z 1 ) O f (Z 2 ) und U f (Z 2 ) O f (Z 1 ) 74 Konsequenzen: 1) Es existieren die Grenzwerte über immer feinere Zerlegungen: ā b := sup{u f (Z) : Z Z[, b]} (Unterintegrl) := inf{o f (Z) : Z Z[, b]} (Oberintegrl) 2) Eine Funktion f(x) heißt (Riemnn ) integrierbr über [, b], flls Unter und Oberintegrl übereinstimmen: := ā b = nennt mn ds (Riemnn ) Integrl von f(x) über [, b]. 75

3 Beispiele: 1) Die konstnte Funktion f(x) = c ist integrierbr: U f (Z) = O f (Z) = c (x i+1 x i ) = c (b ) 2) Sei f(x) = x, 0 x 1 und Z n := {0, 1 n, 2 n,..., 1}: = c (b ) 1 0 U f (Z n ) = O f (Z n ) = = 1 2 ( i i + 1 n n i ) n ( i + 1 i + 1 n n i ) n = n = n 76 Beispiele: 3) Sei f(x) = { 0 : x [0, 1] Q 1 : x [0, 1] \ Q Dnn gilt für jede Zerlegung: U f (Z) = 0, O f (Z) = 1. Also ist die Funktion nicht integrierbr. 4) Sei c b und f(x) gegeben durch { 0 : x c f(x) = 1 : x = c Die Funktion ist integrierbr mit U f (Z) = 0 = 0, denn 0 < O f (Z) < 2 Z 77

4 Stz: Seien f(x) und g(x) integrierbr uf [, b]. Dnn gelten: 1) f ist integrierbr uf [, b] f integrierbr uf [, c] und [c, b]. Zusätzlich gilt: = c + c 2) Linerität: Auch αf(x) + βg(x) ist integrierbr: 3) Positivität: (αf(x) + βg(x))dx = α + β g(x)dx x [, b] : f(x) Stz: (Fortsetzung) 4) Abschätzungen: (b ) inf(f[, b]) (b ) sup(f[, b]) (b ) sup { f(x) : x b} f(x) dx Bei der letzten Abschätzung muß f(x) integrierbr sein. 79

5 Bemerkungen: 1) Die erste Aussge gilt für beliebige Anordnungen von, b, c. Mn definiert dher sowie = b = 0 2) Ist f(x) integrierbr, so gilt stets R f (Z m ) sofern Z m 0 für m Kriterien für Integrierbrkeit Stz: (Riemnnsches Kriterium) Für eine beschränkte Funktion f(x), x b, sind die folgenden Aussgen äquivlent: 1) f(x) ist integrierbr über [, b]. 2) ε > 0 : Z Z[, b] : O f (Z) U f (Z) < ε Stz: Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gilt: 1) Ist f(x) monoton, so ist f(x) integrierbr. 2) Ist f(x) stetig, so ist f(x) integrierbr. 81

6 Beweis zu 2): Die Funktion ist stetig uf [, b], lso uch gleichmäßig stetig, d [, b] kompkt. Sei ε > 0 und δ > 0 pssend, so dss x y < δ f(x) f(y) < ε b Dnn gilt für eine Zerlegung Z mit Z < δ: O f (Z) U f (Z) = j=0 ( sup f[x j, x j+1 ] inf f[x j, x j+1 ])(x j+1 x j ) ( ) ε (x j+1 x j ) = ε j=0 b Nch dem Riemnnschen Kriterium ist dmit f(x) integrierbr. 82 Stz: Seien f, g : [, b] R integrierbre Funktionen. Dnn gelten: 1) Ds Produkt f(x) g(x) ist integrierbr. 2) Gilt g(x) C > 0, so ist der Quotient f(x) g(x) integrierbr. 3) Die folgenden Funktionen sind integrierbr: f (x) := f(x) f + (x) := f (x) := { f(x) : f(x) 0 0 : f(x) < 0 { 0 : f(x) 0 f(x) : f(x) < 0 83

7 Beweis zu 1): Rückführung uf Riemnnsches Kriterium: Sei Z Z[, b] eine feste Zerlegung. Dnn gilt: O f g U f g = Mn berechnet: j=0 ( sup(f g)[x j, x j+1 ] inf(f g)[x j, x j+1 ])(x j+1 x j ) s j := sup(f g)[x j, x j+1 ] inf(f g)[x j, x j+1 ] = sup f(x)g(x) f(y)g(y) x,y = sup f(x)g(x) f(x)g(y) + f(x)g(y) f(y)g(y) x,y f sup x,y g(x) g(y) + g sup f(x) f(y) x,y Wir erhlten lso die Abschätzung O f g U f g f (O g U g ) + g (O f U f ) 84 Frge: Stetige Funktionen sind integrierbr. Ws ist mit Funktionen mit Unstetigkeitstellen? Insbesondere: stückweise stetige Funktionen Stz: Eine beschränkte Funktion f : [, b] R ist genu dnn (Riemnn) integrierbr, flls die Menge Unst(f) ihrer Unstetigkeitsstellen eine so gennnte Lebesgue Nullmenge ist, d.h., flls gilt: ε > 0 : [ i, b i ] i N : Unst(f) ( i, b i ) i=1 (b i i ) < ε i=1 85

8 8.3 Huptstz und Anwendungen Definition: Gegeben seien Funktionen F, f : [, b] R. Ist F (x) differenzierbr uf [, b], und gilt: F (x) = f(x), x b, so heißt F (x) eine Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: 1) Ist F (x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind uch lle Funktionen der Form F (x) = F (x) + c mit einer Konstnten c R Stmmfunktionen von f(x). 2) Sind F 1 (x) und F 2 (x) Stmmfunktionen von f(x), so ist die Funktion F 1 (x) F 2 (x) konstnt. 86 Stz: (Huptstz der Integrl und Differentilrechnung) Sei f : [, b] R eine stetige Funktion. 1) Die Funktion F (x) := ist eine Stmmfunktion von f(x). x f(t)dt 2) Ist F (x) eine Stmmfunktion von f(x), so gilt f(t)dt = F (b) F () 87

9 Beweis: Teil 1): Wir müssen zeigen, dss F (x) = f(x) Sei h 0 so, dss x, x + h [, b]. Dnn gilt: 1 (F (x + h) F (x)) f(x) h = 1 x+h x f(t)dt f(t)dt h = 1 x+h (f(t) f(x))dt h x x+h x f(x)dt sup{ f(t) f(x) : t x h t [, b]} 0 (h 0), d die Funktion f(x) stetig ist. 88 Beweis: Teil 2): Nch der Bemerkung und Teil 1) gilt Drus folgt und wir erhlten F (x) = x f(t)dt + C F (b) = F () = (C = Konstnte) f(t)dt + C f(t)dt +C } {{ } =0 F (b) F () = f(t)dt 89

10 Bemerkungen: 1) Teil 1) des Huptstzes gilt uch für stückweise stetige Funktionen f(x). An den Unstetigkeitsstellen ist die Stmmfunktion llerdings nur und F (x ) = lim t x f(t) einseitig differenzierbr F (x + ) = lim t x + f(t) 2) Eine beliebige Stmmfunktion einer Funktion f(x) nennt mn uch von f(x) und schreibt ds unbestimmte Integrl F = Die Funktion F ist dnn nur bis uf eine Konstnte eindeutig bestimmt. 90 Beispiele: Wir bezeichnen mit C stets die Integrtionskonstnte: x n dx = 1 n + 1 xn+1 + C (n 1) 1 dx = ln x + C (x 0) x sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C 1 dx = rctn x + C 1 + x2 1 1 x 2 dx = 1 2 ln 1 + x 1 x + C 91