Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 5 Seite 1 von 8. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 Seite von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 007 Mathematik, Leistungskurs. Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie mit Alternative (Übergangsmatrizen). Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe. Materialgrundlage. Bezüge zu den Vorgaben 007. Inhaltliche Schwerpunkte Alternative : Übergangsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen, Fivektoren. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

2 Seite von 8 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6. Modelllösungen Modelllösung a) Da die Maikäferpopulation in unterschiedlichen Formen vorliegt (Käfer/Eier/Engerlinge), sollte die Beschreibung des Modells recht genau vorgenommen werden: Zahl der neu geschlüpften Engerlinge 60 Zahl der einjährigen Engerlinge Zahl der dreijährigen Engerlinge 5 Zahl der zweijährigen Engerlinge Ein Viertel der zweijährigen Engerlinge werden zu weiblichen Käfern, die im nachfolgenden Jahr für durchschnittlich 60 einjährige Engerlinge sorgen. Nur der neugeschlüpften und 5 der einjährigen Engerlinge überleben. Es gibt in diesem Modell keine anderen Übergänge, d.h. es gibt keine Käferentwicklung bereits nach zwei Jahren Engerlingsdasein. Das Matrizenprodukt A eng0 eng liefert aus einer Populationsverteilung = am Ende ei- eng eng nes Jahres die Verteilung der Population am Ende des folgenden Jahres. Modelllösung b) A = A = A A = , ( ) Das Element ist die Produktsumme der. Matrizeile mit der. Matrispalte. 5 Aufgrund dieses Modells verändert sich die Population wie im Vortet angegeben in einem vierjährigen Zyklus: Nach jeweils vier Jahren stellt sich dieselbe Populationsverteilung ein. Angemessen ist die Einführung einer Variablen a für die Anzahl der überlebenden, neu geschlüpften Engerlinge:

3 Seite von a A * = a a A = , ( *), ( A *) a a = 0 0 a a 60 a < 60 führt zu einer eponentiellen Abnahme der Maikäferpopulation, a > 60 zu einem eponentiellen Wachstum. Wenn der Prüfling anhand von Zahlenbeispielen argumentiert, dann muss er zumindest deutlich machen, wie sich die Veränderung der Engerlingrate im ersten Jahr auf die Matri ( A *) auswirkt. Modelllösung c) = = 0 0 =, = = 5 5 = = = = IR = Es gibt also unendlich viele Verteilungen, die konstant bleiben. Modelllösung d) Zahl der einjährigen Engerlinge Zahl der neu geschlüpften Engerlinge 60 Zahl der dreijährigen Engerlinge 5 Zahl der zweijährigen Engerlinge B =

4 Seite von 8 Modelllösung e) Während durch die eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems 60 = = = A der Verteilung =, i 0, i, eine eindeutig bestimmte Verteilung =, i 0, i, zugeordnet wird, ist das bei dem Gleichungssys- 5 = = 60 = = tem = B nicht mehr der Fall: Wähle und so, dass < 0. = 5 + = Das kann man z. B. für = 8 = = = erzwingen. 5 Sollte der Prüfling die Matri B in der Teilaufgabe d) falsch bestimmt haben, so kann er im Allgemeinen mit der falsch bestimmten Matri die in dieser Teilaufgabe erforderlichen Überlegungen durchführen und damit für diese Teilaufgabe dennoch die volle erreichen. 6. Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) stellt die Entwicklung der Maikäferpopulation durch einen Übergangsgraphen dar. 5 (II) beschreibt die biologische Bedeutung der Matrikoeffizienten. (II) beschreibt die biologische Bedeutung des Matrizenproduktes A. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. (I) AFB = Anforderungsbereich

5 Seite 5 von 8 Teilaufgabe b) berechnet A. beschreibt, wie das Element in der. Zeile und der. Spalte der Matri A entsteht. (I) interpretiert das Ergebnis hinsichtlich der Populationsentwicklung. (II) berechnet die Verteilung nach Jahren. (I) 5 untersucht, wie sich die Anzahl der neu geschlüpften Engerlinge auf die langfristige Entwicklung auswirkt. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. (I) (II) Teilaufgabe c) untersucht, ob es eine stationäre Verteilung gibt. 6 (II) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe d) beschreibt den Übergangsgraphen mit den veränderten Vorgaben. 5 (II) bestimmt die neue Übergangsmatri. 5 (II) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe e) weist nach, dass es eine Verteilung gibt, die aus einer vorjährigen Verteilung nicht hergeleitet werden kann. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 6 (III)

6 Seite 6 von 8 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) stellt die Entwicklung 5 (II) beschreibt die biologische (II) beschreibt die biologische (I) Sachlich richtige Alternativen (0): Summe Teilaufgabe a) 0 EK ZK DK Teilaufgabe b) berechnet A. (I) beschreibt, wie das.. (I) interpretiert das Ergebnis (II) berechnet die Verteilung (I) 5 untersucht, wie sich (II) Sachlich richtige Alternativen (8): Summe Teilaufgabe b) 8 Teilaufgabe c) untersucht, ob es 6 (II) Sachlich richtige Alternativen (6): Summe Teilaufgabe c) 6 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

7 Seite 7 von 8 Teilaufgabe d) beschreibt den Übergangsgraphen 5 (II) bestimmt die neue 5 (II) Sachlich richtige Alternativen (0): Summe Teilaufgabe d) 0 Teilaufgabe e) weist nach, dass 6 (III) Sachlich richtige Alternativen (6): Summe Teilaufgabe e) 6 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 50 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß, APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: Die Klausur wird mit der Note: ( Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum:

8 Seite 8 von 8 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus 5 50 sehr gut 5 sehr gut minus 8 gut plus 7 0 gut 9 gut minus 0 05 befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus 57 9 mangelhaft 8 0 mangelhaft minus 9 0 ungenügend 0 9 0