Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 7. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs
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- Ute Kappel
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1 Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 007 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie mit Alternative 1 (Abbildungsmatrizen). Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage 4. Bezüge zu den Vorgaben Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Gleichungssysteme für n >, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Parameterformen von Geraden und Ebenengleichungen Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität, Winkel und Länge von Vektoren Normalenformen von Ebenengleichungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Abstandsprobleme (Abstand Punkt Ebene) Alternative 1: Abbildungsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Abbildungsverkettung, inverse Matrizen und Abbildungen, Eigenwerte und Eigenvektoren. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung
2 Seite von 7 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) E '(14 4 0) bzw. S '(7 15 0) ergeben sich als Schnittpunkte der Geraden 6 x = 0 + r 1 bzw. 4 1 d = (7 14) + (15 4) = 90 17,0 Die Schattenlänge beträgt ca. 17,0 m. 3 x = 3 + s 1 mit der x 1 -x -Ebene. 1 1 Modelllösung b) Es sind die Vektoren x mit α ( x ) = x gesucht: x1 x1 x1+ 0,5x3 = x1 α x = x x + x3 = x x3 = 0. x 3 x 3 0 = x3 x1 Alle Vektoren x bleiben bei der Abbildung fest, d. h., die x 1 -x -Ebene ist Fixpunktebene. 0 Eine Gerade wird genau dann nicht auf eine Gerade abgebildet, wenn der Richtungsvektor auf den Nullvektor abgebildet wird: 1 0 0,5 x1 0 x + 0,5x = 0 x1 0, x = 0 x = x x 0 x + x3 = x 3 a 1 a 1 Wegen α b+ r = b werden alle Punkte einer Geraden mit der Richtung 0 0 auf den Schnittpunkt der Geraden mit der x 1 -x -Ebene abgebildet. Die Abbildung α projiziert also alle Punkte in die x 1 -x -Ebene. Sind die Sonnenstrahlen parallel zum Vektor kann der Turmschatten mit Hilfe der Abbildung α berechnet werden. 1
3 Seite 3 von 7 Modelllösung c) Bei diesem Aufgabenteil ist mit sehr unterschiedlichen Lösungsansätzen zu rechnen. Für Schüler recht naheliegend dürfte es sein, zunächst den Schatten des Temperaturfühlers T ' = (5,3 1,6 0) in der x 1 -x -Ebene zu berechnen und anschließend zu entscheiden, ob T ' innerhalb des Turmschattens liegt. T ' liegt so nahe am Schatten der Dachkante, dass diese Entscheidung nicht allein auf Grund einer Skizze vorgenommen werden kann. Die Schattenpunkte α ((0 6 4)) = ( 10 0) und α ((3 3 1)) = (9 15 0) der Dachkante y durch (0 6 4) und (3 3 1) definieren die Gerade = y = x + 8. x Wegen 5 5, ,4 < 1,6 liegt der Schattenpunkt T ' unterhalb des Schattens der 7 7 Dachkante und damit im Turmschatten. Modelllösung d) Die Ebene x 1 x = 0 ist offenbar eine Symmetrieebene des Turmes. Sonnenstrahlen, die parallel zu dieser Ebene einfallen, erzeugen einen symmetrischen Schatten. Elementar lässt sich die Abbildung aus der folgenden Darstellung ablesen: Eine Bewegung längs des Sonnenstrahls kann durch Bewegungen längs der 3 Achsen ersetzt werden: Wenn man sich längs der x 3 -Achse um eine Einheit nach unten bewegt, bewegt man sich längs der x 1 - bzw. der x -Achse auch um eine Einheit. Damit erhält man die folgenden Abbildungsgleichungen: x = x + x und x = x + x3. Also gilt: x x1 x = x x x 3
4 Seite 4 von 7 6. Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) 1 1 berechnet die Endpunkte. 6 (I) berechnet die Länge des Schattens. 3 (I) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe b) 1 bestimmt die Menge der Fixvektoren. 5 (II) erklärt, dass die Dimension des Bildes einer Geraden vom Bild des Richtungsvektors 3 (II) abhängt. 3 ermittelt die Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. 5 (II) 4 interpretiert den Sachzusammenhang (Interpretation der Fixvektoren/Projektionsgeraden). 5 beschreibt die Richtung der Sonnenstrahlen. (I) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 5 (III) Teilaufgabe c) 1 berechnet den Schatten des Temperaturfühlers. 4 (I) ermittelt den Schatten der Dachkante durch (0 6 4) und (3 3 1) in der x 1 -x -Ebene. 5 (II) 3 entscheidet, ob der Temperaturfühler im Schatten liegt. (II) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe d) 1 beschreibt die Form des Turmschattens. 5 (I) ermittelt die Abbildungsgleichung. 5 (II) Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 1 AFB = Anforderungsbereich
5 Seite 5 von 7 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) 1 berechnet die Endpunkte. 6 (I) berechnet die Länge des Schattens. 3 (I) Sachlich richtige Alternativen (9): Summe Teilaufgabe a) 9 EK ZK DK Teilaufgabe b) 1 bestimmt die Menge 5 (II) erklärt, dass die 3 (II) 3 ermittelt die Vektoren, 5 (II) 4 interpretiert den Sachzusammenhang 5 (III) 5 beschreibt die Richtung (I) Sachlich richtige Alternativen (0): Summe Teilaufgabe b) 0 Teilaufgabe c) 1 berechnet den Schatten 4 (I) ermittelt den Schatten 5 (II) 3 entscheidet, ob der (II) Sachlich richtige Alternativen (11): Summe Teilaufgabe c) 11 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur
6 Seite 6 von 7 Teilaufgabe d) 1 beschreibt die Form 5 (I) ermittelt die Abbildungsgleichung. 5 (II) Sachlich richtige Alternativen (10): Summe Teilaufgabe d) 10 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 150 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß 13, APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: Die Klausur wird mit der Note: ( Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum:
7 Seite 7 von 7 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus gut gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft mangelhaft minus ungenügend 0 9 0
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