Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft. Zentralabitur Mathematik Grundkurs. Aufgaben Erwartungshorizont
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- Volker Walter Peters
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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Zentralabitur Aufgaben Erwartungshorizont
2 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Zentrale schriftliche Abiturprüfung Erwartungshorizonte Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die logisch dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe z. B.. a) ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist. Seite von _Ma_GK_LH
3 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Bienen,t Die Funktion b mit b( t) = e beschreibt für t näherungsweise die Anzahl der Bienen in einem Bienenvolk im Zeitraum von April bis Juni. Dabei ist t die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und b (t) die Anzahl der Bienen in Tausend. a) Ermitteln Sie die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach Wochen und nach Wochen. Begründen Sie, dass die Funktion b für t einen Grenzwert hat. Geben Sie diesen Grenzwert an. Skizzieren Sie den Graphen von b für t mit Hilfe der ermittelten Werte im Koordinatensystem in der Anlage. b) Vom Imkerverband wird eine neue Bienensorte empfohlen, bei der der Bienenbestand f (t) besonders schnell wächst ( t in Wochen und f (t) in Tausend). Die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in Bienen pro Woche) wird durch die,t Funktion v mit v( t) = f ( t) = e angegeben. Ermitteln Sie für beide Bienensorten die Wachstumsgeschwindigkeiten zu Beobachtungsbeginn und nach Wochen. Vergleichen Sie das Wachstum des Bienenbestands bei beiden Sorten. c) Ein Bienenvolk der neuen Sorte hat zu Beobachtungsbeginn Bienen. Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion f, die die Entwicklung des Bienenbestands,t beschreibt. [Zur Kontrolle: f ( t) = e ] Zeichnen Sie den Graphen von f für t mit Hilfe von drei geeigneten Wertepaaren in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein. d) Die Funktion d mit d( t) = b( t) f ( t) beschreibt den Unterschied des Bienenbestands zwischen der alten und der neuen Sorte. Ermitteln Sie den Zeitpunkt t, bei dem der Unterschied in den ersten Wochen am größten ist. Für die Berechnung von t genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung. e) Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunkt t, bei dem der Unterschied bei der alten und der neuen Bienensorte am größten ist, die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten bei beiden Sorten gleich sind. Für diesen Nachweis sollen die Wachstumsgeschwindigkeiten nicht konkret berechnet werden. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE 9 7 Anlage Seite von _Ma_GK_LH
4 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Anlage zu Aufgabe.: Bienen Seite von _Ma_GK_LH
5 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Erwartungshorizont zu Aufgabe.: Bienen Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung a) b ( ) = =, () b = e, b () = e 7. Am Anfang hat das Bienenvolk, nach Wochen und nach Wochen 7 Bienen. Testeinsetzungen ergeben z. B. b ( ), 7, b ( ) 9, 97, b ( ) 9,99. Für große Werte von t nähern sich die Funktionswerte von b dem Wert. Skizze des Graphen mit Hilfe der bekannten Werte b ( ) =, b( ) und b ( ) 7 (siehe Zeichnung in Aufgabenteil c). b) Ableitungsfunktion von b mit der Kettenregel:,t,t b ( t) = (,) e =, e, Alte Sorte: b ( ) =, und b () =, e Neue Sorte: v ( ) = und v () = e, Der Bienenbestand der alten Bienensorte wächst zu Anfang schneller, während es nach Wochen umgekehrt ist. Alternative Antwort: Bei der alten Sorte wird das Wachstum (die Wachstumsgeschwindigkeit) mit der Zeit geringer, bei der neuen Sorte mit der Zeit mehr., BE/AB I II III c) Da v die Ableitung der gesuchten Funktion f ist, muss die passende Stammfunktion von v gefunden werden. f t =,t,t,t ( ) v( t) dt = ( e ) dt = e + c = e + c Der Anfangswert f ( ) = führt auf + c = und c =.,t Somit lautet die gesuchte Bestandsfunktion: f ( t) = e Ergänzung der Zeichnung aus a): f ( ) =, f ( ), f ( ) 79. Seite von _Ma_GK_LH
6 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung d) Es muss eine Maximalstelle der Differenzfunktion d ermittelt werden.,t,t d ( t) = b ( t) v( t) =, e e BE/AB I II III,t d ( t) = führt auf die Gleichung e =, mit der Lösung t = ln(, ) ; Die Differenzfunktion d hat bei t ein relatives Maximum. Nach Wochen ist der Unterschied des Bienenbestands der beiden Bienenarten am größten. 7 e) Wenn der Unterschied des Bienenbestands maximal ist, muss d ( t) = sein. Somit gilt: d ( t) = b ( t) f ( t) = b ( t) = f ( t) = v( t) Da b und v die Funktionen für die Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Bienenarten sind, sind sie an derjenigen Stelle t gleich, an der der Unterschied des Bienenbestands maximal ist. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 7 9 Summe der BE Seite von _Ma_GK_LH
7 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Fischmobile Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Der Graph dieser Funktion ist G f. f ( x) = x x + x; x IR. a) Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für x + und x an. Berechnen Sie die Nullstellen von f. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f nicht achsensymmetrisch zur y-achse verlaufen kann. b) Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten lokaler Extrempunkte von G f. Der Graph von f besitzt an der Stelle x W = einen Wendepunkt. Ermitteln Sie die Größe des Steigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion f in diesem Wendepunkt. Zeichnen Sie G im Intervall [ ;] in das in der Anlage gegebene Koordinatensystem. f Für ein Mobile soll eine Figur in der Form eines Fisches aus Pappe hergestellt werden. Das Profil des Fisches wird durch den Graphen Gf und den durch Spiegelung von G f an der x-achse entstandenen Graphen Gg begrenzt. Im Aufhängepunkt P ( ) berühren sich die beiden Graphen, siehe nebenstehende Darstellung. c) Der gespiegelte Graph G g ist der Graph einer Funktion g. Geben Sie eine Funktionsgleichung von g an. Zeichnen Sie G g in das Koordinatensystem in der Anlage ein. d) Im Folgenden gilt: LE = cm. Der Fisch soll so hergestellt werden, dass die Schwanzflosse (rechts von P ) denselben Flächeninhalt wie der vordere Teil des Fischkörpers (links von P ) hat. Zeigen Sie, dass für die Breite b =, cm der Schwanzflosse die beiden Flächeninhalte auf Zehntel gerundet gleich sind. Bestimmen Sie die Höhe h dieser Schwanzflosse. e) Ein Mobile besteht aus mehreren solcher Fische. Der Verkauf erfolgt in einer Schachtel, die die Form eines dreiseitigen Prismas hat. Die Grundfläche der Schachtel wird durch die Tangenten an die Graphen Gf und G g in den Punkten T ( ) und T ( ) sowie die Gerade, auf der das Ende der Schwanzflosse liegt, begrenzt. Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Grundfläche für eine solche Schachtel. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe BE 9 Anlage Seite 7 von _Ma_GK_LH
8 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Anlage zu Aufgabe.: Fischmobile Seite von _Ma_GK_LH
9 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Erwartungshorizont zu Aufgabe.: Fischmobile Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III a) Verhalten der Funktionswerte für x : Für Für x geht f x gegen. x geht x f gegen. Bestimmung der Nullstellen: Aus der Gleichung x x x erhält man für die Nullstellen x und x. Begründung: Eine ganzrationale Funktion kann nur achsensymmetrisch zur y-achse verlaufen, wenn in den Summanden die Exponenten des Arguments geradzahlig sind. Das ist bei den Summanden x und x nicht der Fall. b) Extrempunkte: f x x x, x f x f x x x, x E, x E f f,, f () ; T, H, f, lokales Maximum,, lokales Minimum Steigungswinkel: mt w f, Aus tan, ergibt sich als Steigungswinkel der Wendetangente,. Darstellung des Graphen Gf im Intervall ; mit f, Seite 9 von _Ma_GK_LH
10 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III c) Angabe der gesuchten Funktion g( x) Darstellung von G siehe Abbildung in b) g x x x und d) Nachweis der Flächengleichheit für b, cm: Körper des Fisches: A f ( x) dx x x x Schwanzflosse: 7, 7, A f ( x) dx x x x, FE, FE Im Rahmen der angegebenen Genauigkeit sind beide Flächen gleich groß. Höhe der Schwanzflosse: h f 7, 7, LE Die Höhe der Schwanzflosse beträgt 7, cm. e) Tangente im Punkt, T : m t f, t : y, x, Grundfläche der Schachtel: Schnittpunkt von t mit der x-achse: Q Schnittpunkt von t mit der Geraden x 7, : R 7,, Grundseite des Dreiecks: m y,, LE R Dreieckshöhe: h 7,, LE Fläche des Dreiecks: A m h,7 FE Der Flächeninhalt der Grundfläche der Schachtel beträgt rund 9 cm. Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE Seite von _Ma_GK_LH
11 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Methanmolekül Ein Tetraeder ist gegeben durch seine Eckpunkte H ( ), H ( ), ( ) H ( ). H und a) Der Tetraeder wird als Modell eines Methanmoleküls verwendet. Dabei stellen die vier Eckpunkte die vier Wasserstoffatome und der Punkt C ( ) das Kohlenstoffatom dar. Zeichnen Sie das Methanmodell als Tetraeder in das beigefügte Koordinatensystem ein. b) Zeigen Sie, dass der Punkt C der Mittelpunkt des Tetraeders ist. c) Weisen Sie nach, dass der Vektor H H ein Normalenvektor der Ebene E ist, in der die Punkte H, H und C liegen. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf. [Zur Kontrolle: E : x + y = ] d) Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke H H in der Ebene E (aus Teil c) liegt. Begründen Sie, dass die Ebene E Symmetrieebene des Tetraeders ist. e) Der Winkel α zwischen den Strecken CH und CH wird Bindungswinkel genannt. Berechnen Sie den Bindungswinkel im Methanmolekül. f) Methan hat die nebenstehende Strukturformel. Erklären Sie, dass diese auch aus geometrischer Sicht gerechtfertigt ist, wenn man das Methanmolekül in eine geeignete Ebene projiziert. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) e) f) Summe BE 9 Anlage Seite von _Ma_GK_LH
12 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Anlage zu Aufgabe.: Methanmolekül Seite von _Ma_GK_LH
13 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Erwartungshorizont zu Aufgabe.: Methanmolekül Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III a) Zeichnung: b) C ist der Mittelpunkt des Tetraeders, wenn die Abstände von C zu den Eckpunkten alle gleich sind. Zu zeigen ist: ( CH ) = ( ) = CH ( CH ) = ( ) CH. Man erhält, dass alle vier Eckpunkte LE vom Punkt C entfernt sind, also ist C der Mittelpunkt des Tetraeders. Hinweis: Eine Argumentation mit Hilfe der Symmetrieeigenschaften des Tetraeders ist ebenfalls möglich. c) Ebenengleichung: E : x = c + r CH + s CH ; E : x = + r + s Hinweis: Es genügt, nur die beiden Richtungsvektoren zu bestimmen. Seite von _Ma_GK_LH
14 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III noch c) H H = = ist Normalenvektor, wenn sein Skalarprodukt mit jedem der Richtungsvektoren von E null ergibt. = = Da beide Gleichungen auf die wahre Aussage = führen, ist der geforderte Nachweis erbracht. Also gilt: E : x + y = d. Durch Einsetzen der Koordinaten von C erhält man: E : x + y =. d) Da der Vektor H H ein Normalenvektor der Ebene E ist, liegen H und H dann symmetrisch bezüglich der Ebene E, wenn der Mittelpunkt M der Strecke H H in E liegt. ( ) M erfüllt die Ebenengleichung, also ist E Symmetrieebene der Punkte H und H. e) CH CH cos α = = = α 9, CH CH f) Bei Projektion in die x-y-ebene erhält man bei allen Punkten als z-koordinate null. Also erhält man die Punkte H ' ( ), H '( ), H '( ), H '( ) und C '( ). Diese Punkte sind Eckpunkte eines Quadrats mit C ' als Diagonalenschnittpunkt. Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE Seite von _Ma_GK_LH
15 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Gebirgsflüge Ein Flugzeug fliegt geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, die durch die Punkte A (,) und B (,) verläuft. Um : Uhr durchfliegt das Flugzeug A und eine Minute später B. Die Erdoberfläche liegt in der x-y-ebene. Die Einheit für die Zeit t ist min, LE = km. a) Geben Sie eine Parametergleichung für den Kurs des Flugzeugs an. Voraus befindet sich ein Berg mit der Bergspitze T (9 ). Weisen Sie nach, dass die Bergspitze nicht auf der Flugbahn liegt. km Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs, geben Sie das Ergebnis in an. h b) Bestimmen Sie den Punkt P, in dem das Flugzeug seine Reiseflughöhe von, km erreicht und ermitteln Sie die Flugzeit bis zum Erreichen von P. [Kontrollergebnis: P (7, ) ] Im Punkt P ändert der Flugkapitän seinen Kurs und fliegt in Richtung Q (, ) weiter. Das Flugzeug erreicht Q nach einer Minute. Bestimmen Sie eine Geradengleichung für den neuen Kurs. c) Ein Rettungshubschrauber startet von einem Berghang vom Punkt R (9 9,) und 9 fliegt entlang der Geraden h : x = 9 + t.,, Der Berghang liegt in einer Ebene E mit der Gleichung x y + z =. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Hubschrauber vom Berghang abhebt. d) Die Gerade h schneidet die Gerade durch P und Q im Punkt S (, ). Der Hubschrauber startet um :7 Uhr. Er legt in einer Minute genau die Strecke zurück, die dem Betrag des Richtungsvektors von h entspricht. Das Flugzeug fliegt nach der Kursänderung um :9 Uhr (vergleiche Teil b) auf konstanter Reiseflughöhe. Entscheiden Sie begründet, ob eine Kurskorrektur erforderlich wird, damit es zwischen dem Hubschrauber und dem Flugzeug nicht zu einer Kollision kommt. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) Summe BE Seite von _Ma_GK_LH
16 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Erwartungshorizont zu Aufgabe.: Gebirgsflüge Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III a) Angabe einer Parametergleichung für den Kurs des Flugzeugs: x = + t,, Punktprobe für die Bergspitze: 9 9 = + t t = = + t = + t t =,, =, +,t t =, Der Punkt T liegt nicht auf der Flugbahn. Berechnung der Geschwindigkeit des Flugzeugs: Die pro Minute zurückgelegte Strecke entspricht dem Betrag des Vektors AB = 7, und somit gilt für die Geschwindigkeit km km km v = 7, = 7, 7. min h h b) Bestimmung von Punkt P ( x y, ) :, =, + t, t = ; 7 x P = + =.,,, Der Punkt P (7, ) wird nach min, also um :9 Uhr, erreicht. 7 Der Richtungsvektor für den neuen Kurs ist r = =,, 7 und x = + t ist die Gleichung für den neuen Kurs g., c) Schnittwinkel ϕ von E und h mithilfe des Normalenvektors von E aus der Koordinatenform:, sinϕ = ; sinϕ =, 7 ; ϕ 9, 9, 9, Seite von _Ma_GK_LH
17 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III d) Ermittlung der Flugzeiten mithilfe der beiden Geradengleichungen: 7 9 = + t g und = 9 + t h liefern,,,,, t = und t = 7. g h Dies bedeutet, dass Hubschrauber und Flugzeug um : Uhr zeitgleich den Punkt S erreichen würden. Somit kommt es zu einer Kollision, wenn keine Kurskorrektur erfolgt. Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE Seite 7 von _Ma_GK_LH
18 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Onlineshopping Die Tabelle gibt repräsentativ die Kaufgewohnheiten der Verbraucher in Deutschland beim Onlineshopping wieder. So wurde beispielsweise ermittelt, dass % der befragten Verbraucher gelegentlich Computer im Internet kaufen. Jeder Verbraucher kann dabei unabhängig von den anderen für die Artikel verschiedene Kaufgewohnheiten besitzen. regelmäßig gelegentlich nie Bücher % % % Sportartikel % % % Computer % % % (Quelle: Statista-Datenbank ) In einem Statistikprojekt befragt Tom zufällig ausgewählte Personen nach ihren Kaufgewohnheiten. Die Gültigkeit der Tabellenangaben wird dabei vorausgesetzt. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Zwei Ausgewählte kaufen beide nie Computer im Internet. B: Die erste Person kauft regelmäßig Bücher und die zweite regelmäßig Computer im Internet. C: Genau einer von zwei Ausgewählten kauft regelmäßig Sportartikel im Internet. b) Tom wählt nun Personen für die nächste Fragerunde aus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: D: Von den kaufen genau sechs Personen gelegentlich Bücher im Internet. E: Höchstens fünf der Ausgewählten kaufen gelegentlich Bücher im Internet. F: Unter den ausgewählten Personen sind mindestens drei, die nie Bücher im Internet kaufen. c) Berechnen Sie, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % wenigstens eine Person zu finden, die regelmäßig Computer im Internet kauft. d) In einem Internetcafé sitzen Personen. von ihnen kaufen Waren im Internet. Tom befragt vier von den Personen nach ihren Kaufgewohnheiten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle vier Befragten Waren im Internet kaufen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den vier Befragten mindestens eine Person war, die Waren im Internet kauft. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) Summe BE 7 Anlage Seite von _Ma_GK_LH
19 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Anlage zu Aufgabe.: Onlineshopping Summierte Binomialverteilungen Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist,, alle freien Plätze enthalten,. Wird die Tabelle von unten gelesen (p >,), ist der richtige Wert (abgelesener Wert) n k p k n,,,,,,,, n k,9,9,,7,7,,, k N p Seite 9 von _Ma_GK_LH
20 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Erwartungshorizont zu Aufgabe.: Onlineshopping Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung a) Anwendung der Pfadregeln: P ( A) =,, =, P ( B) =,, =, P ( C) =,,7 =, b) X: Anzahl der Befragten, die gelegentlich Bücher im Internet kaufen X ist (näherungsweise) binomialverteilt mit n = ; p =, P ( D) = P( X = ) =,,7,9 BE/AB I II III Kumulierte Binomialverteilung mit n = ; p =, Ablesen in der Tabelle: P ( E) =, Y: Anzahl der Befragten, die nie Bücher im Internet kaufen Kumulierte Binomialverteilung mit n = ; p =, P ( F) = P( Y ) =, =,799 c) Z: Anzahl der befragten Personen, die regelmäßig Computer im Internet kaufen P( Z ) = P( Z = ),7 n n,99,99 Also müssen mindestens Personen befragt werden. d) G: Alle kaufen Waren im Internet. P ( G) =,7 9 7 (alternative Lösung über das Lottomodell möglich) S: Wenigstens eine Person, die Waren im Internet kauft, ist unter den vier. Gegenereignis S : Keine Person ist darunter. P ( S) =, 9 7 P ( S) = P( S), 9997 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 99,9 %. Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE Seite von _Ma_GK_LH
21 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Aufgabe.: Oktaeder Neben dem klassischen Würfel hat ein Spielzeughersteller auch ein Oktaeder als Spielgerät in seinem Angebot (siehe Abbildung). Bei diesem sind die acht gleich großen Seiten mit den Ziffern bis beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit beträgt beim Würfeln für jede der Ziffern p =. a) Mit dem Oktaeder werden zunächst Würfe durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A : In jedem der Würfe fällt eine gerade Zahl. A : In keinem der Würfe fällt eine 7. A : Im ersten Wurf fällt eine, danach nicht mehr. b) Nun werden Würfe durchgeführt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: B : Die 7 fällt genau zweimal. B : Mindestens -mal fällt eine ungerade Zahl. c) Nina und Tim haben beide ein solches Oktaeder als Werbegeschenk erhalten und führen damit Würfelversuche durch. Beide würfeln einmal. Betrachtet wird das Ereignis C : Nina würfelt höchstens eine, Tim eine Zahl größer. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis C. In einer neuen Runde wirft jeder genau -mal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis C : Jeder von beiden hat genau einmal eine Zahl größer. d) Tims Freund besitzt ein Oktaeder, das nicht mit Ziffern beschriftet ist, sondern jede seiner Seiten ist entweder rot, grün oder gelb eingefärbt. Der Freund hat ermittelt, wie häufig bei Würfen die Farbe gelb mehr als -mal fällt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt nur zwei Prozent. Untersuchen Sie, wie viele Seiten des Oktaeders gelb gefärbt sein könnten. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben Teilaufgabe a) b) c) d) Summe BE 7 9 Anlage Seite von _Ma_GK_LH
22 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Anlage zu Aufgabe.: Oktaeder Summierte Binomialverteilungen Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist,, alle freien Plätze enthalten,. Wird die Tabelle von unten gelesen (p >,), ist der richtige Wert (abgelesener Wert) n k p k n,,,,,,,, n k,9,9,,7,7,,, k N p Seite von _Ma_GK_LH
23 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Erwartungshorizont zu Aufgabe.: Oktaeder Teilaufgabe a) Für A gilt: Beschreibung der erwarteten Schülerleistung p = = Somit erhält man P ( A ) =,. BE/AB I II III P ( A ) =, Betrachtung von A als zweistufiges Zufallsexperiment: P ( A 7 ) =,7 b) X: Anzahl der Würfe mit der Augenzahl 7 X ist binomialverteilt mit n = ; p =. P ( B ) = P( X = ) = 7 Kumulierte Binomialverteilung mit, n = ; p = Y: Anzahl der Würfe mit ungerader Augenzahl Tabellenwert: P ( Y 9) =, 9 P ( B ) = P( Y 9) =,9 =, c) Bestimmung von p = =, Zweistufiges Zufallsexperiment P ( C ) = = =,7 C: Einer der beiden hat genau einmal eine 7 oder. P ( C) =,,7,9 Da dieser Wert für beide gilt, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit P ( C ) =,9,9, Seite von _Ma_GK_LH
24 Zentrale schriftliche Abiturprüfung Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung d) Gesucht ist die Anzahl der gelben Flächen g. Ereignis D: Gelb fällt mehr als fünfmal. Z: Anzahl der Würfe, bei denen gelb fällt P( D) = P( Z > ) = P( Z ) =, P( Z ) =,9 BE/AB I II III Für die Trefferwahrscheinlichkeit p gilt: p = g. In der Tabelle erhält zur kumulierten Binomialverteilung findet man für p =, den Wert,9. Somit gilt höchstwahrscheinlich: g =. Es könnten Seiten gelb gefärbt sein. Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE Seite von _Ma_GK_LH
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