Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2012/2013

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/0 Fach Mathematik (A) Prüfungstag 9. April 0 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 09:00 - :00 Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen davon keinen Gebrauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte und Gesamtnote : Blätter Aufgabe Nr.: Soll Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: 4 Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Mathematik Aufgabenvorschlag A /5 Auf einer entlegenen Insel bricht eine hochansteckende Krankheit aus, deren Ablauf sich in drei Phasen gliedert: Phase : Phase : Phase : Die Anzahl der erkrankten Personen steigt immer schneller an. Die Ärzte stellen den Erreger fest, lassen einen Impfstoff einfliegen und beginnen mit einer Massenimpfung. Die Impfung beginnt zu wirken. Die Anzahl der erkrankten Personen steigt zwar noch an, aber immer langsamer, bis sie ihren größten Wert erreicht. Die Anzahl der erkrankten Personen nimmt immer schneller ab, bis alle gesund sind. Der Verlauf dieser Epidemie lässt sich näherungsweise durch die Funktion f mit der 5 4 Funktionsgleichung f( x) = 0, 05x + 0,5x darstellen. Dabei ist x die Zeit in Tagen und f( x ) die Anzahl der erkrankten Personen.. Vervollständigen Sie die folgende Wertetabelle (auf ganze Zahlen runden) und zeichnen Sie den Graphen der Funktion f ( Tag 5 mm; 000 Personen cm) mit Hilfe dieser Wertetabelle. x /8 f(x). Berechnen Sie, wann Phase in Phase übergeht. / Wie schnell steigt die Anzahl der erkrankten Personen zu diesem Zeitpunkt an?. Berechnen Sie, wann die meisten Personen erkrankt sind, und bestimmen Sie deren Anzahl zu diesem Zeitpunkt..4 Berechnen Sie, wann Phase endet. (Hinweis: dieser Zeitpunkt liegt außerhalb der Wertetabelle)..5 Berechnen Sie, wann erstmalig 5000 Personen erkrankt sind. Zeigen Sie, dass dieser Zeitpunkt zwischen dem. und. Tag liegt und benutzen Sie ein geeignetes Näherungsverfahren, das Sie nach Iterationen abbrechen. /9 /6 /5 Geben Sie an, wie genau Sie den Zeitpunkt bestimmt haben, indem Sie Ihr Ergebnis angemessen runden und dies begründen. Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Mathematik Seite von 4

3 Mathematik A Land Berlin / Eine ganzrationale Funktion f dritten Grades besitzt den Hochpunkt H ( ). Die Gerade g mit gx ( ) =,5x 6,5 schneidet den Graphen der Funktion f an der Stelle x =. Die Gerade g verläuft parallel zu der Tangente t an den Graphen der Funktion f an der Stelle x = 0,5.. Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Funktionsgleichung dieser Funktion. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist nicht erforderlich.. Lösen Sie stattdessen das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. 0a b + 4c d = a + b c = 0 a + b c + d = a + 5b + c + d = 7 / /9 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Mathematik Seite von 4

4 Mathematik A Land Berlin /9 In einen geraden Kreiskegel mit dem Radius R = 6cm und der Höhe H = 0cm ist ein Kreiszylinder mit dem Radius r und der Höhe h gestellt. (siehe Abbildung ). Dieser eingeschlossene Zylinder soll ein maximales Volumen besitzen. Die Abbildung zeigt einen Querschnitt durch beide. In Abbildung gilt nach Strahlensatz die Beziehung h R = r. H R Abbildung Abbildung. Weisen Sie nach, dass die Funktionsgleichung der Zielfunktion zur Bestimmung des /7 Volumens V Z des Kreiszylinders wie folgt lautet: 0 VZ ( r) = 0πr πr. Bestimmen Sie r und h für den Zylinder mit maximalem Volumen. /9. Berechnen Sie den Rauminhalt des Zylinders mit maximalem Volumen. / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Mathematik Seite von 4

5 Mathematik A Land Berlin 4 /5 Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Funktionsgleichung 4 f( x) = 0,4x + 4x +,4 ; x IR 4. Weisen Sie nach, dass f eine achsensymmetrische Funktion bezüglich der Ordinatenachse (y-achse) ist. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die vom Graphen der Funktion f und der Abszissenachse (x-achse) eingeschlossen wird. /8 4. Der Graph von f wird im ersten Quadranten vom Graphen einer Parabel p in zwei Punkten geschnitten. Die Funktionsleichung der Parabel lautet px ( ) = 0,4x Skizzieren Sie den Graphen der Parabel in die obige Abbildung. Schraffieren Sie die Teilflächen, die im ersten Quadranten von den Graphen der Funktionen f und p eingeschlossen werden. 4.. Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt der in Aufgabe 4.. schraffierten Teilflächen. 4.. b Durch die Berechnung des Integrals ( p( x) f ( x)) dx, wobei a = 0 und b die Abszisse des äußeren Schnittpunktes der Graphen der Funktionen f und p ist, bestimmen Sie einen Wert, der sich aus den Flächeninhalten der in 4.. schraffierten Teilflächen zusammensetzt (die sogenannte Flächenbilanz). Bestimmen Sie diesen Wert. Sie können die Zwischenergebnisse der Aufgabe 4.. benutzen! Begründen Sie das von 4.. abweichende Ergebnis. a /5 /4 /4 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Mathematik Seite 4 von 4

6 Abschlussprüfung 0 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A. x f(x) I II III Σ [Abzüge]; Kommentare 5 8 Graph zeichnen. 4 f ( x) = 0,5x +, 04 x f ( x) = 0, 5x + 6, x f ( x) =, 5x +, 4x Notw. Bed. für Wendestellen: f ( x) = 0 0, 5x + 6,x = 0 x ( 0, 5x + 6,) = 0 x = 0 oder x =, 4 die Lösung x = 0 ist nicht sinnvoll (oder Prüfung wie unten) f "' (,4) = 74,9 0,4 ist eine Wendestelle von f Anstieg an der Stelle x =,4 ist f ' (,4) = 95, Phase endet nach,4 Tagen, Änderungsrate 95, Pers./Tag. Notw. Bed. für Extremstellen: 4 f ( x) = 0 0,5x +, 04x = 0 x ( 0,5x +, 04) = 0 x = 0 oder x = 6, die Lösung x = 0 ist nicht sinnvoll (oder Prüfung wie unten) f " (6,) = - 54,4 < 0 6, ist Maximalstelle von f f(6,) = 75,7 nach 6, Tagen sind die meisten Personen erkrankt (ca. 76) Phase endet, wenn f( x) = 0 0, 05x + 0, 5x = 0 4 x ( 0,05x + 0,5) = 0 x = 0 oder x = 0,4 die Lösung x = 0 ist nicht sinnvoll Die Krankheit ist nach 0,4 Tagen besiegt. Summe. bis Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite von 5

7 Abschlussprüfung 0 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A I II III Σ [Abzüge]; Kommentare.5 f() = 455 < 5000 (siehe oben) und f() = 584 > 5000 gesuchter Zeitpunkt im Intervall ];[ Ansatz: f(x) = 5000 g(x) = 0 mit g(x) = f(x) Iterationsformel: Startwert x = n Summe. bis.4 gx ( n) x = n x + n g ( x ) 8,785 9,755, , ,05,696 Ergebnis angemessen gerundet und begründet Summe. n x ( ) n gx ( ) n g x n Ansatz: f(x) = ax³ +bx² +cx +d; f'(x) = ax² +bx + c; f"(x) = 6ax +b. Bedingungsgefüge:. f (-) = Punkt P ( - ). f ' ( -) = 0 HP bei x = -. f (-) = g (-) = - Schnittpunkt mit g 4. f ' ( 0,5) = m t = m g =,5 t g bei x = 0,5 Gleichungssystem: I: a + b c + d = II: a b + c = 0 III: 7a + 9b c + d = IV: 0, 75a + b + c =,5 Lösungen des gegebenen Gleichungssystems berechnet: a = ; b = ; c = -; d = - Funktionsgleichung: f(x) = x³ + x² - x Summe 8 Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite von 5

8 Abschlussprüfung 0 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A. Hauptbedingung HB: soll maximal sein Nebenbedingung NB: Zielfunktion ZF: 0 0 VZ ( r) = πrh= πr 0 r = 0πr πr. Notw. Bed. für Extremstellen: VZ '( r) = 40πr 0πr = 0 40πr 0πr = 0 0πr( 4 r) = 0 r = 0; r = 4 Lösung r = 0 ist nicht sinnvoll (oder weitere Prüfung wie unten). maximales Volumen bei V rh rh (, ) Z = π h R r R r 6 r 0 0 r = h= H = = 0 = 0 r H R R 6 6 V ''( r) = 40π 0 πr V ''(4) = 40π < 0 max. Volumen bei r = 4 Z 0 0 h = 0 4 = Z r = 4cm und VZ = A max G h= πrh= π 4 = 5,0 Der Zylinder hat ein maximales Volumen von 5,0 cm³ 0 Summe 0 h = cm 6,67 cm I II III Σ [Abzüge]; Kommentare I II III Σ [Abzüge]; Kommentare Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite von 5

9 f f x = z 0 = z 0z 6 S(0;6) Abschlussprüfung 0 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-achse, da alle im Funktionsterm vorkommenden Exponenten von x gerade sind. (oder auch:) f( x) = f( x) x R 4 Bedingung für Nullstellen von f : 0 = 0, 4x + 4x +, = x 0x 6 Substitution x² = z Lösungen der quadratischen Gleichung z = 0,57; z = 0,57 Resubstitution x/ =± z x =, 5 x =, 5 x/4 =± z nicht lösbar in R Bestimmung des Inhaltes der Fläche A,5,5 A = f ( x) dx = ( x) dx =,5 0, , , 4 = 49, 0 x x x FE y Ansatz (Integral) Stammfunktion Berechnungen I II III Σ [Abzüge]; Kommentare 8 5 Skizze der Parabel zeigt Scheitelpunkt (0 6); nach oben geöffnet zwei Schnittpunkte mit Graphen von f im. Quadranten Schraffierte Teilflächen Zwischensumme 4. bis x Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite 4 von 5

10 Abschlussprüfung 0 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A I II III Σ [Abzüge]; Kommentare Zwischensumme 4. bis Bestimmung Differenzfunktion 4 dx ( ) = px ( ) f( x) = 0,4x,6x +,6 Ansatz für Nullstelle: 4 d( x) = 0 0, 4x, 6x +, 6 = 0 4 0= x 9x + 9 Substitution x = z 0 = z 9z+ 9 Lösungen der quadratischen Gleichung z = 7, 85 z =,5 Resubstitution: x/ =± z x =,80 x =,80 x =± z x =, 07 x =, 07 /4 4 Berechnung Inhalt der Fläche Ages = A+ A,07 A = d ( x) dx = D(,07) D( 0) =,49 Ansatz (Integral) 0 5 Dx ( ) = 0,08x, x +,6x Stammfunktion D(0) = 0; D(,07) =,49; D(,8) =,49 Berechnungen,80 Ansatz (Integral) A = d ( x) dx = D(,80) D(,07) = 4,98,07 Berechnung Gesamtflächeninhalt Ages = A+ A =,49 + 4,98 = 7, Flächenbilanz: ABilanz = A A =, 49 4,98 =, 49 Inhalt der Fläche summiert Teilflächeninhalte, Flächenbilanz versieht Teilflächeninhalte je nach Lage mit Vorzeichen. Teilflächen der Differenzfunktion unterhalb der Abszissenachse gehen somit mit negativem Vorzeichen in die Summe ein. 4 4 Summe In Aufgabe wurden von 5 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. In Aufgabe wurden von möglichen Bewertungseinheiten erreicht. In Aufgabe wurden von 9 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. In Aufgabe 4 wurden von 5 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. Insgesamt wurden von 4 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. Insgesamt wurden von 00% möglichen Bewertungseinheiten erreicht. Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite 5 von 5