(0, 3, 4) (3, 3, 4) (3, 3, 0)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "(0, 3, 4) (3, 3, 4) (3, 3, 0)"

Transkript

1 Übungsmaterial 1 2 Vektoren im Raum 2.1 Das räumliche Koordinatensystem Abbildung 1 zeigt das Koordinatensystem im R 3, dem dreidimensionalen Raum, mit eingefügtem Quader. Die Koordinaten einiger Eckpunkte sind hinzugefügt. x 3 - Achse (, 3, 4) (3, 3, 4) x 2 - Achse (3, 3, ) x 1 - Achse Abb. 1: Das räumliche Koordinatensystem Punkte im Raum sind durch ihre Koordinaten bestimmt: So ist beispielsweise der Punkt P (1//3) zu nden, wenn man entlang der x 1 -Achse eine Längeneinheit nach vorne und dann entlang der x 3 -Achse drei Längeneinheiten nach oben geht. Punktemengen im Raum lassen sich über ihre Eigenschaften ausdrücken: So ist zum Beispiel die Menge {x 2 = x 3 = } die x 1 -Achse und die Menge {x 1 =, x 2 = 1} ist die Gerade, die parallel zur x 3 -Achse verläuft und die x 2 -Achse im Punkt (, 2, ) schneidet. Drei Ebenen sind bereits im Raum auszumachen: 1) Der Grundriss: Die x 1, x 2 -Ebene (x 3 = ) 2) Der Seitenriss : Die x 2, x 3 -Ebene (x 1 = ) 3) Der Aufriss: Die x 1, x 3 -Ebene (x 2 = )

2 Übungsmaterial 2 Beispiele 1) Die Elemente der Menge {x 2 = x 3 } bilden eine Ebene, die von der x 1 -Achse und den Winkelhalbierenden der x 2 - und x 3 -Achse bestimmt wird. 2) Die Elemente der Menge {x 1 = x 2 = x 3 } liegen auf einer Gerade durch den Ursprung, die von allen drei Achsen gleich weit entfernt ist (man spricht auch von der Raumdiagonale). 3) Die Elemente der Menge {x 1 = ; x 3 = 3} liegen auf einer Parallelen zur x 2 -Achse, die um 2 in x 1 -Richtung und um 3 in +x 3 -Richtung verschoben ist. 2.2 Vektoren im Raum Denition Unter einem Vektor versteht man die Menge aller parallelen gleich langen Pfeile in einer Ebene oder in einem Raum. Jeder einzelne Vektor heiÿt Repräsentant des Vektors. Wir schreiben a = P Q, wenn wir den Vektor meinen, der in P beginnt und in Q endet. Es ist a = QP. Ein Vektor mit Anfangspunkt heiÿt Ortsvektor. Beispiel: B = b. Der Gegenvektor eines Vektors ist deniert als der Vektor selber Länge, aber entgegengesetzter Richtung (Spitze und Fuÿ des Vektors werden vertauscht). Rechnen mit Vektoren Addition Vektoren werden addiert, indem sie aneinander gesetzt werden der Fuÿ des einen an die Spitze des anderen Vektors. Es gilt das Kommutativgesetz, d.h. a + b = b + a. b + a a + b Abb. 2: Die Addition von Vektoren Es gilt darüber hinaus das Assoziativgesetz: ( a + b) + c = a + ( b + c) Subtraktion Es ist a b = a + ( b). Vektoren werden also subtrahiert, indem der Gegenvektor des zu subtra-

3 Übungsmaterial 3 hierenden Vektors nach den Regeln der Addition von Vektoren an den ersten Vektor angehängt wird. b a b b Abb. 3: Die Subtraktion von Vektoren Es ist b b =. Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (Skalar) Es ist r a = a } + a... {{ + a }. r-mal Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar r bedeutet also Verlängerung ( r > 1) oder Verkürzung ( r < 1) des Vektors. Rechenregeln (i) r a + r b = r ( a + b) (Distributivgesetz) (ii) r (s a) = rs a (iii) r a = a r (iv) (r + s) a = r a + s a (Assoziativgesetz) Beispiel c Abb. 4: Vektordreieck Die Vektoren a, b und c lassen sich jeweils durch die anderen ausdrücken: c = a + b a = c b b = a + c = c a

4 Übungsmaterial Elementare Vektorrechnung im R 3 1 Die Basisvektoren oder Einheitsvektoren e 1 =, e 2 = 1 und e 3 = spannen den 1 Vektorraum R 3 auf. Ihre Länge beträgt jeweils eine Längeneinheit, ihre Richtungen sind die der drei Koordinatenachsen Einheitsvektoren stehen also immer senkrecht auf einander! Um beispielsweise den Vektor zum Punkt A(2/ 1/3) zu erhalten, geht man zwei Längeneinheiten in x 1 -Richtung, eine in x 2 -Richtung und drei in x 3 -Richtung: OA = 2 e 1 1 e e 3 = = = 1 + = Vektoren werden also addiert, indem ihre Einträge zeilenweise addiert werden. Vektoren werden mit einem Skalar multipliziert, indem alle drei Einträge mit dem Skalar multipliziert werden. Beispiel = 22 = Aufgabe 1 Gegeben sei das regelmäÿige Sechseck ABCDEF mit a = AB, b = BC und c = CD. Drücke mit a, b und c aus: a) DF b) DA c) CE d) AF e) F C

5 Übungsmaterial 5 Lösung E D F A c Abb. 5: Sechseck ABCDEF B C a) DF = a b = ( a + b) b) DA = a b c = ( a + b + c) c) CE = c a = ( a + c) d) AF = c e) F C = 2 a = b 2.5 Aufgabe 2 1) Vereinfache: a) AB + BA d) UV + W U + V W b) XY XZ e) AB CA AC c) OB OA f) AX BY 8 2) u = 1 Berechne:, v = 3 8 6, w = 1. 3 a) u + v w b) w + 3 u c) u v Welche geometrische Bedeutung hat der errechnete Vektor aus c)? Lösung 1 a) AB + BA = AB AB = (Nullvektor) b) XY XZ = ZY c) OB OA = AB d) UV + W U + V W = UV + V W + W U = e) lässt sich nicht vereinfachen a) u + v w = =

6 Übungsmaterial b) w + 3 u = = 3 c) u v = = 9 1, d) Mit U(8/1/) und V (3/8/ 6) ist u+ 1 2 v der Ortsvektor zum Mittelpunkt der Strecke [UV ].

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung: Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben

Mehr

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch

Mehr

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60

3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt

Mehr

Rechnen mit Vektoren

Rechnen mit Vektoren () Der Ortsvektor Definition: Der Ortsvektor beginnt im Koordinatenursprung und endet in einem beliebigen Punkt P. Die Koordinaten des Punktes stimmen mit den Koordinaten des Ortsvektors überein. Schreibweise:

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer".

Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie Träger oder Fahrer. Was ist ein Vektor? Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer". Vektoren sind Listen von Zahlen. Man kann einen Vektor darstellen, indem man seine Komponenten

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der

Mehr

Vektorgeometrie - Teil 1

Vektorgeometrie - Teil 1 Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der

Mehr

Repetitionskurs Vektoren

Repetitionskurs Vektoren ETH Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich ARCH Repetitionskurs Vektoren zur Vorlesung Mathematisches Denken Studiengang Architektur 009/00 von Dr. M.

Mehr

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:

Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Vektoren Evelina Erlacher 9. März 007 1 Pfeile und Vektoren im R und R 3 1 Der Betrag eines Vektors 3 Die Vektoraddition

Mehr

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)?

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)? Übungsbeispiel / 2 Gerade durch 2 Punkte Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/) und B(-5/8)? Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Übungsbeispiel 2 / 2 Gerade

Mehr

1 Analytische Geometrie

1 Analytische Geometrie Analytische Geometrie. Grundlagen, Begriffe, Schreibweisen Achsenkreuz Die Achsen heißen in dieser Darstellung x und -Achse. Punkte Punkte werden weiterhin mit großen, lateinischen Buchstaben bezeichnet

Mehr

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

5.4 Vektorgeometrie. 1 Repetition der Vektorgeometrie I Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors...

5.4 Vektorgeometrie. 1 Repetition der Vektorgeometrie I Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors... 5.4 Vektorgeometrie Inhaltsverzeichnis Repetition der Vektorgeometrie I. Freie Vektoren, Ortsvektoren................................... Die skalare Multiplikation eines Vektors.............................3

Mehr

b) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4

b) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4 Westermann Seite 52 Aufgabe 2 b) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4 Nach dem Einzeichnen des Urdreiecks und des Punktes A erkennt man: Der Vektor verschiebt den Punkt A um 3

Mehr

Formelsammlung Analytische Geometrie

Formelsammlung Analytische Geometrie Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..

Mehr

Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume

Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume a) Vektoren: Definition und Grundlagen Größen, die sich durch Angabe eines Zahlenwertes und einer Einheit vollständig beschreiben lassen, nennt man Skalare

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Niedersachsen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der Gleichung zur Kurve... 9 Aufstellen

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,

Mehr

Lk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1

Lk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.. Die Grundäche eines Spielplatzes liegt in der x - -Ebene. Auf ihm steht eine innen begehbare, senkrechte, quadratische Pyramide aus Holz mit den Eckpunkten

Mehr

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel: 1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen

Mehr

Vektorgeometrie. Tobias Kohn

Vektorgeometrie. Tobias Kohn Vektorgeometrie Tobias Kohn Kantonsschule Zürcher Oberland, Wetzikon Herbstsemester 22 2 Vorrede Dieses Script enthält eine Einführung in die Vektorgeometrie und richtet sich an Schüler des. Schuljahres.

Mehr

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen

Geometrische Objekte im 3-dimensionalen affinen Raum oder,... wie nützlich ist ein zugehöriger Vektorraum der Verschiebungen Geometrische Objekte im -dimensionalen affinen Raum Bekanntlich versteht man unter geometrischen Objekten Punktmengen, auf die man die üblichen Mengenoperationen wie z.b.: Schnittmenge bilden: - aussagenlogisch:

Mehr

Vektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Vektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................

Mehr

Grundwissen 5. Klasse

Grundwissen 5. Klasse Grundwissen 5. Klasse 1/5 1. Zahlenmengen Grundwissen 5. Klasse Natürliche Zahlen ohne Null: N 1;2;3;4;5;... mit der Null: N 0 0;1;2;3;4;... Ganze Zahlen: Z... 3; 2; 1;0;1;2;3;.... 2. Die Rechenarten a)

Mehr

Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren

Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren Vektorgeometrie Version: 28. Dezemer 2007 Bitte nur für den Eigengerauch verwenden) mathenachhilfe.ch. Mathematische Operationen für Vektoren Addition + a + 3 = a + + + 3 + Sutraktion a 3 = a 3 Skalare

Mehr

Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie

Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/ Kapitel 5: Skalarprodukt 5.1 Inhalte Didaktik der Linearen

Mehr

1.2 Das kartesische Koordinatensystem

1.2 Das kartesische Koordinatensystem Kapitel 1 Vektoralgebra 1.1 Einführung Am ersten Kapitel widmen wir uns den Grundlagen der Vektoralgebra, wobei wir speziell auf die Definitionen von Skalaren und Vektoren eingehen und Produkte zwischen

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,

Mehr

GW Mathematik 5. Klasse

GW Mathematik 5. Klasse Begriffe zur Gliederung von Termen Term Rechenart a heißt b heißt a + b (Summe) Addition 1. Summand 2. Summand a b (Differenz) Subtraktion Minuend Subtrahend a b ( Produkt) Multiplikation 1. Faktor 2.

Mehr

Lineare Algebra 1. Vorlesung von Prof. Dr. Friedmar Schulz. Sommersemester 2010 Wintersemester 2004/05 Zweite, überarbeitete Version

Lineare Algebra 1. Vorlesung von Prof. Dr. Friedmar Schulz. Sommersemester 2010 Wintersemester 2004/05 Zweite, überarbeitete Version Lineare Algebra 1 Vorlesung von Prof Dr Friedmar Schulz Sommersemester 2010 Wintersemester 2004/05 Zweite, überarbeitete Version Institut für Analysis Universität Ulm, Helmholtzstraße 18, 89081 Ulm Gesetzt

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Vorkurs Mathematik 1

Vorkurs Mathematik 1 Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Lösungen der 1. Lektion

Lösungen der 1. Lektion Lektionen der Vektorrechnung in Aufgaben Lösungen Schickt mir bei Entdeckung eines Fehlers oder Unklarheiten bitte eine e-mail! Lösungen der 1. Lektion Es ist hier unerheblich, wie Vektoren definiert werden.

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Mathematik. Lernbaustein 6

Mathematik. Lernbaustein 6 BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Modellieren von Realsituationen mit Hilfe der Vektorrechnung www.p-merkelbach.de/bos/mathe/matheskript-bos- Lernbaustein

Mehr

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................

Mehr

Philipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen Lk Mathematik Kl. 11. Schwerpunkt: Aufgaben ohne HM Abitur Sachsen

Philipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen Lk Mathematik Kl. 11. Schwerpunkt: Aufgaben ohne HM Abitur Sachsen Übungen zur Analytischen Abitur 00 Die Punkte A( 0), B( 0) und C(5 0) sind Eckpunkte eines Rechtecks ABCD. Der Punkt S ist die Spitze einer geraden Pyramide mit dem Rechteck ABCD als Grundfläche und der

Mehr

Oktaeder. Bernhard Möller. 22. Dezember 2010

Oktaeder. Bernhard Möller. 22. Dezember 2010 Oktaeder Bernhard Möller. Dezember 00 Ein Oktaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen Oberfläche aus acht kongruenten, gleichseitigen Dreiecken besteht. Jedes Oktaeder kann einem Würfel so einbeschrieben

Mehr

ffl Kräfte ~K: der Betrag gibt die Stärke der Kraft die Richtung gibt die Richtung in welcher die Kraft ausgeübt wird. ffl Geschwindigkeiten ~v: der B

ffl Kräfte ~K: der Betrag gibt die Stärke der Kraft die Richtung gibt die Richtung in welcher die Kraft ausgeübt wird. ffl Geschwindigkeiten ~v: der B Kapitel I (Vektorrechnung) x1. Vektoren Unser Raum ist 3-dimensional. Wir kennen drei Hauptrichtungen: rechts-links, vornehinten, oben-unten. Als Modell wählen wir: ffl Ein Punkt O als Ursprung ffl Drei

Mehr

Was sind Vektoren? Wozu braucht man sie?

Was sind Vektoren? Wozu braucht man sie? Was sind Vektoren? Wozu braucht man sie? Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 30. März 2005 1 Einleitung Dieser

Mehr

Natürliche Zahlen und. Zahlenstrahl

Natürliche Zahlen und. Zahlenstrahl M 5.1 Die Zahlen Nimmt man auch die Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl nennt man natürliche Zahlen: hinzu, schreibt man: Zahlenstrahl Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer

Mehr

2 Skalarprodukt, Vektorprodukt

2 Skalarprodukt, Vektorprodukt 37 2 Skalarprodukt, Vektorprodukt Es gibt zwei verschiedene Verknüpfungsregeln für das Produkt von Vektoren. Die mechanische Arbeit ist definiert als Produkt aus Kraft und Weg. 1 Vorausgesetzt wird dabei,

Mehr

Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.

Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Mathematik Abiturprüfung 2014 Prüfungsteil A Arbeitszeit: 90 Minuten Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten Analysis, Stochastik und Geometrie

Mehr

fwg Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl nennt man natürliche Zahlen: Zahlenstrahl

fwg Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl nennt man natürliche Zahlen: Zahlenstrahl M 5.1 Die Zahlen Nimmt man auch die Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl nennt man natürliche Zahlen: hinzu, schreibt man: Zahlenstrahl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt,

Mehr

1 Vektoren in der Ebene und im Raum 17 2 Rechnen mit Vektoren 18 3 Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit 19 4 Teilverhältnisse 19 5 Aufgaben 21

1 Vektoren in der Ebene und im Raum 17 2 Rechnen mit Vektoren 18 3 Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit 19 4 Teilverhältnisse 19 5 Aufgaben 21 Inhalt A Lineare Gleichungssysteme 1 Lösungsverfahren 6 2 Lösbarkeitsuntersuchungen 10 3 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern 13 4 Mathematische Aufgaben 14 5 Anwendungsaufgaben 16 B Vektoren 1 Vektoren

Mehr

Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis

Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis Wenn wir z.b. ein Objekt in unserer Umgebung (Raum eigentlich Raumzeit) beschreiben wollen, können wir mehrere Informationen zusammenfassen. Ein Freund

Mehr

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen Inhaltsverzeichnis: 2. Termrechnen... 2 2.1. Bedeutung von Termen... 2 2.2. Terme mit Variablen... 4 2.3. Vereinfachen von Termen... 5 2.3.1. Zusammenfassen von gleichartigen Termen... 5 2.3.2. Vereinfachen

Mehr

Vektorgeometrie Ebenen 1

Vektorgeometrie Ebenen 1 Vektorgeometrie Ebenen 1 Parametergleichung von Ebenen Punkte und Geraden in Ebenen. Spezielle Lagen von Punkten in Bezug auf ein Parallelogramm oder Dreieck. Datei Nr. 63021 Stand 1. Juli 2009 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

ABITURPRÜFUNG 2002 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN)

ABITURPRÜFUNG 2002 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) ABITURPRÜFUNG 00 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 10 Minuten Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungsteilnehmer wählt von den Aufgaben

Mehr

Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)

Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1) Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...

Mehr

Rechnen mit rationalen Zahlen

Rechnen mit rationalen Zahlen Rechnen mit rationalen Zahlen a ist die Gegenzahl von a und ( a) a Subtraktionsregel: Statt eine rationale Zahl zu subtrahieren, addiert man ihre Gegenzahl. ( 8) ( ) ( 8) + ( + ) 8 + 7, (,6) 7, + ( +,6)

Mehr

Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K.

Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. Aufgabe I 1 Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge D f an. Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse. Bestimmen Sie die Intervalle,

Mehr

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge. 1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt

2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt 2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 19. März 2011, 15:33 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:

Mehr

Natürliche Zahlen und. Zahlenstrahl

Natürliche Zahlen und. Zahlenstrahl M 5.1 Die Zahlen Nimmt man auch die Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl nennt man natürliche Zahlen: hinzu, schreibt man: Zahlenstrahl Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer

Mehr

55. Mathematik-Olympiade 4. Stufe (Bundesrunde) Olympiadeklasse 10 Lösungen 1. Tag

55. Mathematik-Olympiade 4. Stufe (Bundesrunde) Olympiadeklasse 10 Lösungen 1. Tag 55. Mathematik-Olympiade 4. Stufe (Bundesrunde) Olympiadeklasse 10 Lösungen 1. Tag c 2016 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 551041

Mehr

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH )

DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH ) Grundlegende Bemerkungen : Der Begriff des Vektors wurde in den vergangenen Jahren im Geometrieunterricht eingeführt und das mathematische Modell des Vektors wurde vor allem auch im Physikunterricht schon

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

M 5.1. Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl. Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen?

M 5.1. Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl. Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen? M 5.1 Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen? Zeichne die Zahlen, und auf einem Zahlenstrahl ein. Woran erkennt man auf dem Zahlenstrahl, welche der Zahlen

Mehr

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................

Mehr

Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel?

Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel? Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel? Von Florian Modler Dieser Artikel soll helfen, auseinander zu halten, wann man welche Formel in der analytische Geometrie

Mehr

1. Koordinaten. 1.1 Koordinaten

1. Koordinaten. 1.1 Koordinaten Teil I Klasse 9 9 . Koordinaten Cogito ergo sum René Descartes. Koordinaten Koordinaten sind etwas, das man nach einigen Schuljahren als etwas ganz Banales wahrnimmt; dabei gehören sie, ebenso wie z.b.

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009

ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 7. Februar 2009 1 Grenzwerte und Folgen 1. Unterschied arithmetische Folge zu geometrische Folge 2. Rekursive Darstellung von Zerfalls- und Wachstumsvorgängen (a) lineares

Mehr

Leitprogramm Vektorgeometrie

Leitprogramm Vektorgeometrie Leitprogramm Vektorgeometrie Torsten Linnemann Pädagogische Hochschule FHNW Gymnasium Oberwil E-mail:torsten.linnemann@fhnw.ch 18. September 2011 Dank: Ich danke der Klasse 4aL, Kantonsschule Solothurn,

Mehr

Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II

Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II Fanny Jeschek und Stefan Jedrzejak 24. November 2010 Gliederung Einführung Vektorbegriff Geraden- und Ebenengleichungen in R 3 Computer im Geometrieunterricht

Mehr

Serie 1. Algebra-Training. Operationen 1. und 2. Stufe, Distributivgesetze. Theorie & Aufgaben. VSGYM / Volksschule Gymnasium

Serie 1. Algebra-Training. Operationen 1. und 2. Stufe, Distributivgesetze. Theorie & Aufgaben. VSGYM / Volksschule Gymnasium Algebra-Training Theorie & Aufgaben Serie 1 Operationen 1. und 2. Stufe, Distributivgesetze Theorie und Aufgaben: Ronald Balestra, Katharina Lapadula VSGYM / Volksschule Gymnasium Liebe Schülerin, lieber

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7

Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7 Wissen Achsensymmetrie Beispiel Figuren die an einer Achse a gespiegelt werden nennt man achsensymmetrisch bezüglich a. Die Verbindungsstrecke zwischen zwei achsensymmetrischen Punkten wird durch die Achse

Mehr

Übersicht Analytische Geometrie Grundkurs bis zur 4 Klausur Q1

Übersicht Analytische Geometrie Grundkurs bis zur 4 Klausur Q1 Übersicht Analytische Geometrie Grundkurs bis zur 4 Klausur Q1 F Vektorrechnung F1 Verschiebungen durch Vektoren sowie Punkte im Raum durch Ortsvektoren und Vektorketten beschreiben und damit realitätsnahe

Mehr

Tag 3. Zweidimensionale Spielewelten

Tag 3. Zweidimensionale Spielewelten Tag 3 Zweidimensionale Spielewelten Lernziele Grundlagen für eine 2D-Spielewelt Beschreibung von 2D-Welten durch Vektoren Zweidimensionale Welttransformationen durch Matrizen Mögliche Problemstellungen

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK

GRUNDWISSEN MATHEMATIK GRUNDWISSEN MATHEMATIK 5 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P

Mehr

Vektoren in der Ebene. In der Geometrie ist ein Vektor eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge (Betrag), gleicher Richtung und gleicher Orientierung.

Vektoren in der Ebene. In der Geometrie ist ein Vektor eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge (Betrag), gleicher Richtung und gleicher Orientierung. ,QKOWV HUVLFKW.SLWHOHYLOIRUFHV9HNWRUUHFKQXQJ 9HNWRUUHFKQXQJLQGHU(HQH 8QJOHLFKXQJHQLQ]ZHL9ULOHQ 'HU9HNWRUUXP5 Q 9HNWRURSHUWLRQHQ (HQHQLP5XP /LQHUH*OHLFKXQJVV\VWHPH *X VFKH(OLPLQWLRQ RWL]HQ]XU9RUOHVXQJ0WKHPWLNI

Mehr

Gymnasium Liestal Maturitätsprüfungen 2006

Gymnasium Liestal Maturitätsprüfungen 2006 Bemerkungen: - Die Prüfungsdauer beträgt 4 Stunden - Beginnen Sie jede Aufgabe mit einem neuen Blatt - Die Arbeit mit dem Taschenrechner muss dokumentiert sein Hilfsmittel: - CAS-Taschenrechner mit Anleitung

Mehr

Vektoren. Hinführung: Vektorielle Größen

Vektoren. Hinführung: Vektorielle Größen Vektoren Dieser Anhang enthält eine Kurzeinführung in den für einfache Anwendungen erforderlichen Teil der Vektorrechnung. Er geht nicht primär davon aus, die zugehörige mathematische Struktur zu beschreiben

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

Linearkombinationen in der Physik

Linearkombinationen in der Physik Linearkombinationen in der Physik Für die Überlagerung von Bewegungen gilt das Superpositionsprinzip. Es lautet: Führt ein Körper gleichzeitig mehrere Teilbewegungen aus, so überlagern sich diese Teilbewegungen

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von

Mehr

Vorwort. 1. Vorkenntnisse der SchülerInnen/ Rahmenlehrplan

Vorwort. 1. Vorkenntnisse der SchülerInnen/ Rahmenlehrplan Vorwort In der folgenden Ausarbeitung wird das Thema Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II behandelt. Zunächst wird auf Vorkenntnisse der SchülerInnen eingegangen, die sie laut Rahmenlehrplan

Mehr

Formelsammlung Mathematik 7 I) Zuordnungen... 2 7.1) Proportionale Zuordnungen... 2 7.2) Eigenschaften von proportionalen Zuordnungen... 2 7.

Formelsammlung Mathematik 7 I) Zuordnungen... 2 7.1) Proportionale Zuordnungen... 2 7.2) Eigenschaften von proportionalen Zuordnungen... 2 7. I) Zuordnungen... 2 7.1) Proportionale Zuordnungen... 2 7.2) Eigenschaften von proportionalen Zuordnungen... 2 7.3) Rechnen mit proportionalen Zuordnungen... 2 7.4) Die antiproportionale Zuordnung... 2

Mehr

4. Mathematikschulaufgabe

4. Mathematikschulaufgabe .0 Berechne folgende Terme:.. x + 4 = x =. (y x) (x + y) =.0 Schreibe ohne Klammern und vereinfache soweit wie möglich:. (x + ) (x 4) =. (0,4x + y) (0,4x y) + (y) =. Ermittle den Extremwert durch Termumformung.

Mehr

r a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter

r a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter 8 3. Darstellung der Geraden im Raum 3.. Parametergleichung der Geraden Die naheliegende Vermutung, dass eine Gerade des Raumes durch eine Gleichung der Form ax + by + cz +d = 0 beschrieben werden kann

Mehr

5/7/09. 1. Didak(k der Zahlbereichserweiterungen 1.3 Größenbereiche und Skalenbereiche

5/7/09. 1. Didak(k der Zahlbereichserweiterungen 1.3 Größenbereiche und Skalenbereiche 1. Didak(k der Zahlbereichserweiterungen 1.3 Größenbereiche und Skalenbereiche 1. Didak(k der Zahlbereichserweiterungen 1.3 Größenbereiche und Skalenbereiche 1.31 Größenbereiche 1. Didak(k der Zahlbereichserweiterungen

Mehr

Reelle Zahlen (R)

Reelle Zahlen (R) Reelle Zahlen (R) Bisher sind bekannt: Natürliche Zahlen (N): N {,,,,,6... } Ganze Zahlen (Z): Z {...,,,0,,,... } Man erkennt: Rationale Zahlen (Q):.) Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große

Mehr

10. Die komplexen Zahlen.

10. Die komplexen Zahlen. 10-1 Funktionen 10 Die kompleen Zahlen Dies ist ein Thema, das unberechtigter Weise als schwer gilt! Die Konstruktion der kompleen Zahlen ist viel einfacher zu verstehen ist, als einige der bisherigen

Mehr