9. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2016
|
|
- Björn Franz Gerhardt
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Dennis Hofheinz Lukas Barth, Lisa Kohl 9. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 06 https//crypto.iti.kit.edu/index.php?id=algo-sose6 {lisa.kohl,lukas.barth}@kit.edu Aufgabe (Dijkstra, 4 Punkte) Musterlösungen Wir beschäftigen uns mit dem Algorithmus von Dijkstra aus der Vorlesung. Sei ein Graph G = (V, E) wie unten dargestellt. Führen Sie Dijkstras Algorithmus auf G aus. Sie können die Darstellung von G benutzen, um die Ergebnisse nach der Ausführung darin einzutragen. Schreiben Sie dazu in jeden Knoten v V rechts vom Doppelpunkt die Länge des kürzesten Pfads vom Startknoten s aus gesehen und links vom Doppelpunkt den Vorgänger auf diesem kürzesten Pfad. Zeichnen Sie den Baum der kürzesten Wege von s zu allen anderen Knoten aus V in G ein. Geben Sie die Reihenfolge der Knoten an, in der sie als scanned markiert werden. Geben Sie außerdem für jeden Knoten v V alle Zwischenwerte d[v] und parent[v] an, die während Ausführung des Algorithmus angenommen werden. Darstellung von G a 0 s b 7 c d 6 6e e f Musterlösung Die Knoten werden in der Reihenfolge s, d, c, e, f, b, a als scanned markiert. Weiter gilt für die Werte von d und parent d[s] = 0 und parent[s] = s während der gesamten Ausführung d[a] = und parent[s] = nach Initialisierung, d[a] = 0 und parent[s] = s nach Relaxieren der von s ausgehenden Kanten, d[a] = 9 und parent[s] = c nach Relaxieren der von c ausgehenden Kanten und schließlich d[a] = 8 und parent[s] = b nach Relaxieren der von b ausgehenden Kanten d[b] =,, 7 und parent[b] =, c, e
2 d[c] =,, 4 und parent[b] =, s, d d[d] =, und parent[b] =, s d[e] =, 7, und parent[b] =, d, c d[f] =, 7, 6 und parent[b] =, d, e a b8 0 s s0 b e7 7 c d4 d s 6 6e e c f e6 Aufgabe (Unzuverlässige Kommunikation, 4 Punkte) Sie sind Administrator eines Computernetzwerks bestehend aus n Rechnern und Netzwerkverbindungen zwischen diesen. Leider sind die Netzwerkverbindungen nicht absolut zuverlässig Jede Verbindung zwischen zwei Rechnern a und b hat eine Wahrscheinlichkeit 0 < p (a,b) <, dass ein auf dieser Verbindung gesendetes Paket nicht ankommt. Die Verbindungen sind gerichtet, das heißt es kann sein, dass p (a,b) p (b,a) gilt. Ihre Aufgabe ist es nun, zwischen zwei gegebenen Rechnern einen möglichst zuverlässigen Pfad zu finden. Geben Sie hierfür einen möglichst effizienten Algorithmus an, und begründen Sie kurz, warum dieser funktioniert. Musterlösung Das Problem wird natürlich als Graph modelliert Hier stehen Knoten für Rechner und Kanten für Verbindungen zwischen Rechnern. Die Kantengewichte c E (0, ) symbolisieren dabei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket auf der entsprechenden Kante erfolgreich versendet wird, also c((a, b)) = p (a,b). Sei nun ein Startrechner S und ein Zielrechner T gegeben. Wir führen einen modifizierten Algorithmus von Dijkstra aus Die vorläufigen Distanzen d[v] stehen nun für die Zuverlässigkeit des vorläufig besten gefundenen Pfades von S nach v und werden mit 0 (statt mit ) initialisiert (Ausnahme d[s] = ). Das parent-feld funktioniert wie in Dijkstras Algorithmus und speichert den Vorgänger im vorläufig besten Pfad. Eine Kante (u, v) wird relaxiert, indem die vorläufige Zuverlässigkeit von S nach u mit c((u, v)) multipliziert wird, und die vorläufige Zuverlässigkeit von S nach v (zusammen mit dem parent-zeiger) aktualisiert wird, falls ein besserer Pfad gefunden wurde, also d[v] = max{d[v], d[u] c((u, v))}
3 Die Prioritätswarteschlange ist in unserem Fall ein Max-Heap, der die vorläufige Zuverlässigkeit d[v] als Schlüssel verwendet. Der Korrektheitsbeweis funktioniert analog zu Dijkstras Algoritmus Zunächst ist es wichtig zu sehen, dass in dem Moment, in dem ein Knoten v aus der Prioritätswarteschlange entfernt wird, kein Pfad mit höherer Zuverlässigkeit als d[v] von S nach v mehr existieren kann. Wir beweisen dies mittels Induktion über die Länge des optmialen S v-pfades Für Länge ist die Behauptung trivialerweise wahr Der Pfad besteht nur aus S, d[s] =, und besser wird es nicht. Gelte nun also die Behauptung für eine beliebige, aber feste Pfadlänge l. Sei der Pfad P = S,..., u, v ein optimaler S v-pfad der Länge l +. Wenn zu dem Zeitpunkt, zu dem v aus dem Heap genommen wird, parent[v] = u gilt, dann ist d[v] per Definition optimal. Angenommen also, dass parent[v] = w u gilt, und dass d[v] = d[w] c((w, v)) < d[u] c((u, v)). Wir wissen, dass die Länge des optimalen S u-pfades P = S,... u hier l ist (da P eine Länge von l + hat). Nach Induktionsvorraussetzung wurde also d[u] korrekt berechnet, und insbesondere muss d[u] > d[v] gelten. Damit wurde aber u bereits vor v aus dem Max-Heap entfernt, die Kante (u, v) wurde relaxiert und d[v] wurde korrekterweise auf d[u] c((u, v)) gesetzt. Somit kann d[v] > d[u] c((u, v)) nicht mehr gelten. Mit dieser Einsicht ist es einfach, die Korrektheit des gesamten Algorithmus zu sehen Für jeden Knoten v gilt, dass falls es überhaupt einen S v-pfad gibt, v irgendwann in den Max-Heap eingefügt, und somit v auch irgendwann aus dem Max-Heap entfernt wird. Damit wird der optimale Pfad zu jedem von S erreichbaren Knoten errechnet. Für alle nicht erreichbaren Knoten bleibt d[v] = 0 gesetzt, was die Nichterreichbarkeit korrekt abbildet. Das Finden eines optimalen S T -Pfades beschränkt sich danach darauf, die parent-einträge korrekt von T zu S zurückzuverfolgen. Aufgabe (Verbesserter Bellman-Ford-Algorithmus, + 4 Punkte) Gegeben sei folgende Verbesserung des Bellman-Ford-Algorithmus Im gerichteten Graphen G = (V, E) weisen wir zunächst den Knoten eine beliebige aber feste Ordnung zu. Die Knoten seien nun V = v, v, v,... v n. Nun können wir E in zwei Teile E f E b = E aufteilen, sodass E f = {(v i, v j ) E i < j} und E b = {(v i, v j ) E i > j} gilt. Intuitiv enthält E f also alle Kanten, die von einem kleineren auf einen größeren Knoten zeigen (E b entsprechend umgekehrt). Weiterhin sei folgende Änderung des Bellman-Ford-Algorithmus gegeben Anstatt in jedem der n Durchläufe alle Kanten in irgendeiner Reihenfolge zu relaxieren, gehen wir in jedem Durchlauf wie folgt vor Wir betrachten die Knoten in der Reihenfolge v, v, v,... v n und relaxieren dabei für jeden Knoten alle Kanten in E f, die den Knoten verlassen. Danach betrachten wir alle Knoten in der Reihenfolge v n, v n,... v und relaxieren dabei für jeden Knoten alle Kanten in E b, die den Knoten verlassen. a) Zeigen Sie G f = (V, E f ) und G b = (V, E b ) sind jeweils DAGs. b) Zeigen Sie Die veränderte Version des Bellman-Ford-Algorithmus berechnet bereits nach n/ Schritten das Ergebnis, d.h. einen kürzesten s t-pfad oder (mindestens) einen negativen Kreis. Tipp Überlegen Sie sich, was der Algorithmus auf den folgenden zwei Graphen tut. Diese beiden Graphen sind nur als Hilfestellung angegeben. Zur Lösung dieser Aufgabe ist es nicht erforderlich, dass Sie den Algorithmus auf ihnen ausführen. Es hilft Ihnen aber hoffentlich. (a) Ein einfacher Pfadgraph V = {,,... n}, E = {(i, i + ) i {,... n }} (b) Zwei aufeinander zulaufende Pfadgraphen V = {,,... n} E = {(i, i + ) i {,... n }} {(i +, i) i { n... n, n}}
4 Musterlösung Zunächst sei angemerkt, dass diese Variante von Bellman-Ford bekannt ist als Yen s Improvement on Bellman-Ford. a) Angenommen, es gäbe einen Kreis in G f. Wir laufen (n + ) Schritte in diesem Kreis und schreiben die Indizes der hierbei gesehenen Knoten als Folge auf. Da alle Kanten in G f von einem kleineren auf einen größeren Index zeigen, muss diese Folge streng monoton steigend sein. In G f gibt es aber nur n Knoten, und somit nur n verschiedene Knotenindizes. Dies ist ein Widerspruch. Der Beweis für G b funktioniert analog. b) Sei P = S,... T ein optimaler S T -Pfad. Jede Kante in P liegt entweder in E f oder in E b. Die Idee ist nun, P in (maximale) Teilpfade zu zerlegen, die jeweils vollständig in G f bzw. G b liegen O.b.d.A. gehen wir davon aus, dass die erste Kante von P in E f und die letzte Kante von P in E b liegt. Dann lässt sich P schreiben als eine Folge von Teilpfaden P, P, P, P,..., P k, P k, wobei alle P i in G f, und alle P i in G b liegen. Es ist einfach zu sehen, dass k n gelten muss Ein Paar ( P i, P i ) enthält immer mindestens zwei Kanten, und P kann insgesamt maximal n Kanten enthalten. Wir zeigen nun, dass i Iterationen des veränderten Bellman-Ford-Algorithmus ausreichend sind, um den Teilpfad von P bis S,... P i, P i korrekt zu finden. Damit ist klar, dass nach k Iterationen P korrekt gefunden wurde. Dies zeigen wir induktiv Für i = 0 ist die Behauptung trivial wahr Der Teilpfad von P mit 0 ( P i, P i )-Paaren besteht nur aus S. Sei nun also i beliebig aber fest, und der Pfad P = S,... P i, P i somit korrekt gefunden. In der ersten Hälfte von Iteration i + betrachten wir nun die Knoten in Reihenfolge aufsteigender Indizes und relaxieren ihre ausgehenden Kanten in E f. Damit werden alle Kanten in P i+ in der Reihenfolge, in der sie in P i+ auftreten, relaxiert, und somit wird P um P i+ erweitert. In der zweiten Hälfte betrachten wir alles Knoten in umgekehrter Indexreihenfolge und relaxieren die eingehenden Kanten in E b. Damit werden nun alle Kanten in P i+ in der korrekter Reihenfolge relaxiert, und P um P i+ erweitert. Am Ende von Iteration i + wurde der Pfad P = S,... P i+, P i+ korrekt gefunden. Die Erkennung von negativen Kreisen funktioniert analog zum unveränderten Bellman-Ford- Algorithmus Sollte sich nach k Schritten noch eine vorläufige Distanz verändern, so liegt ein negativer Kreis vor. Aufgabe 4 (Doktor Meta, 6 Punkte) Als der ebenso orientierungsschwache wie unermüdliche Untersuperbösewicht Røbøt endlich in Doktor Metas geheimer Basis ankommt, ist Doktor Meta über die Verspätung und die übrige Ausbeute von -Cent-Stücken alles andere als erfreut. Um ihn in bessere Laune zu versetzen, erzählt Røbøt von den Begegnungen mit verschiedenen Bösewichten auf seinen Irrwegen durch das Tunnelsystem. Ein Superbösewicht hat genug von unzuverlässigen elektronischen Gehilfen und bietet deshalb eine große Menge von identischen Bauteilen vom Typ A für eine Preis von, Euro pro Bauteil zum Verkauf an. Ein Mittelbösewicht hat den Plan ein Roboterheer aufzubauen noch nicht aufgegeben hat und ist verzweifelt auf der Suche nach Bauteilen von Typ A. Er ist bereit je zwei Bauteile vom Typ A für je drei Bauteile vom Typ B, die er selbst noch übrig hat, zu tauschen. Ein vom gleichen Bausatz stammende und ähnlich fehlkonstruierte Unterbösewicht hat sich ebenso mit einer Menge Geld im Gepäck verlaufen. Sein Plan ist es einen Unterbösewichtsgehilfen zu bauen, der den Weg für ihn findet. Dazu möchte er Bauteile vom Typ B zum Preis von 0, 87 Euro pro Bauteil erwerben. Plötzlich ist Doktor Meta nicht mehr schlecht gelaunt, er rechnet nach, dass er so einen Euro ganz einfach in, 0 Euro verwandeln kann. Damit Røbøt beim nächsten Mal eine solche Gelegenheit von selbst erkennt, möchte Doktor Meta einen geeigneten Algorithmus entwerfen. 4
5 Seien dazu Allgemein eine Menge von angebotenen Objekten a,..., a n (im vorliegenden Fall Euros, Bauteile vom Typ A und Bauteile vom Typ B) gegeben und weiter eine Tabelle T, wobei T [i, j] jeweils angibt wieviele Einheiten von Objekt a j für ein Objekt a i angeboten werden. Im vorliegenden Fall ergibt sich also T [, ] = 0, 8, T [, ] =, und T [, ] = 0, 87 und damit T [, ] T [, ] T [, ] =, 0 >. Modellieren Sie das Problem mit Hilfe von einem geeigneten Graphen und konstruieren Sie einen effizienten Algorithmus, der entscheidet ob es eine Folge von Objekten a i,..., a ik gibt, sodass T [i, i ] T [i, i ] T [i k, i ] >. Analysieren Sie die Laufzeit Ihres Algorithmus. Musterlösung Wir möchten das Problem mit Hilfe des Bellman-Ford-Algorithmus lösen. Dazu modellieren wir jeden Typ von Objekten (also Euros und Bauteilen) als einen Knoten des Graphen G = (V, E), und jede Tauschmöglichkeit zwischen zwei Typen von Objekten als eine Kante zwischen den entsprechenden Knoten. Würden wir die Tauschkurse zwischen den Objekten direkt als Kantengewichte verwenden, müssten wir nun einen positiven Kreis finden, was Bellman-Ford nicht kann. Wir beobachten aber, dass T [i, i ] T [i, i ] T [i k, i ] > gleichbedeutend ist zu T [i, i ] T [i, i ] T [i k, i ] < Wenn wir nun beide Seiten logarithmieren ergibt sich log T [i, i ] + log T [i, i ] + log T [i k, i ] < 0 Wir definieren daher das Kantengewicht c E R als c((i j, i k )) = log T [i j,i k ] = log T [i j, i k ]. Ein Kreis mit negativem Gewicht in diesem Graphen entspricht einer gesuchten Folge von Objekttypen, mit der sich Gewinn durch Im-Kreis-Tauschen erzielen lässt. Fraglich ist noch, von welchem Knoten aus Bellman-Ford gestartet werden muss. Es ist nicht klar, dass ein Knoten existieren muss, von dem aus ein Pfad zu jedem negativen Kreis existiert. Daher fügen wir einen weiteren Knoten v 0 und Kanten (v 0, v i ) für alle v i V hinzu, und setzen c((v 0, v i )) = 0 für alle v i V. Wir starten Bellman-Ford auf v 0. Sei n die Anzahl der Arten Objekten, dann hat G n Knoten und bis zu n Kanten. Die Zeitkomplexität von Bellman-Ford liegt dann in O ( n ).
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 11 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,
Mehr5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)
5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
Mehr2. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog Michael Axtmann. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 016/017 Aufgabe
Mehr4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen
4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 4.4. Es sei G = (V,E) ein Graph. Der Abstand d(v,w) zweier Knoten v,w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w. Falls
MehrEffiziente Algorithmen und Datenstrukturen: Kürzeste Wege
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen: Kürzeste Wege Kürzeste Wege Zentrale Frage: Wie komme ich am schnellsten von A nach B? B A Kürzeste Wege Zentrale Frage: Wie komme ich am schnellsten von A nach
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei
MehrAufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.
Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.
MehrDas Briefträgerproblem
Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................
MehrKürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik
Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus
MehrDatenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen in der Bioinformatik Viertes Übungsblatt WS 05/06 Musterlösung
Konstantin Clemens Johanna Ploog Freie Universität Berlin Institut für Mathematik II Arbeitsgruppe für Mathematik in den Lebenswissenschaften Algorithmen und Datenstrukturen in der Bioinformatik Viertes
MehrWiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
MehrIdentifizierung negativer Zyklen in gerichteten Graphen
Identifizierung negativer Zyklen in gerichteten Graphen Benjamin Schulz 4. August 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 1.1 Gerichtete gewichtete Graphen.............................. 2 1.2 Finden von
MehrEin Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist.
Graphen Definition: Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Begriffe: Gerichteter Graph: Alle Kanten haben eine Richtung vom Anfangsknoten
MehrSS11 Effiziente Algorithmen 5. Kapitel: Dynamische Programmierung
SS11 Effiziente Algorithmen 5. Kapitel: Dynamische Programmierung Martin Dietzfelbinger Juni/Juli 2011 FG KTuEA, TU Ilmenau Effiziente Algorithmen SS11 Kapitel 5 Kapitel 5: Dynamische Programmierung Typische
MehrTechnische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen
Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung
Mehr11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders G.V. Batz, C. Schulz, J. Speck 11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010 http://algo2.iti.kit.edu/algorithmeni.php
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University
MehrBeispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6
Robert Elsässer u.v.a. Paderborn, 29. Mai 2008 Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6 Aufgabe 1 (6 Punkte): Zunächst sollte klar sein, daß ein vollständiger Binärer
MehrMinimal spannende Bäume
Minimal spannende Bäume Ronny Harbich 4. Mai 006 (geändert 19. August 006) Vorwort Ich danke Patrick Bahr und meinem Bruder Steffen Harbich für die Unterstützung bei dieser Arbeit. Sie haben sowohl zu
Mehr3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST
Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines
MehrRouting Algorithmen. Begriffe, Definitionen
Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über
Mehr1. Einleitung wichtige Begriffe
1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und
MehrEffiziente Algorithmen I
H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug
Mehrf h c 7 a 1 b 1 g 2 2 d
) Man bestimme mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus einen kürzesten Weg von a nach h: c 7 a b f 5 h 3 4 5 i e 6 g 2 2 d Beim Dijkstra-Algorithmus wird in jedem Schritt von den noch unmarkierten Knoten jener
Mehr3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel
3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36
MehrMinimal spannender Baum
Minimal spannender Baum 16 1 2 21 5 11 19 6 6 3 14 33 10 5 4 18 Die Kreise zeigen die vorgesehenen Standorte neu zu errichtender Filialen einer Bank. Entlang der bestehenden Straßen sollen Telefonleitungen
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon
MehrLiteratur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)
Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,
MehrWestfählische Wilhelms-Universität. Eulersche Graphen. Autor: Jan-Hendrik Hoffeld
Westfählische Wilhelms-Universität Eulersche Graphen Autor: 21. Mai 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Das Königsberger Brückenproblem 1 2 Eulertouren und Eulersche Graphen 2 3 Auffinden eines eulerschen Zyklus
MehrUndirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer Weights in Linear Time
Universität Konstanz Mathematisch-naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 2001/02 Mikkel Thorup: Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik
MehrWas bisher geschah. 1. Zerlegung in monotone Polygone 2. Triangulierung der monotonen Teilpolygone
Was bisher geschah Motivation, Beispiele geometrische Objekte im R 2 : Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon, ebene Zerlegung in Regionen (planare Graphen) maschinelle Repräsentation geometrischer
MehrDefinition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.
Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.
Mehr6. Übung zur Linearen Optimierung SS08
6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl
MehrKapitel 3: Untere Schranken für algorithmische Probleme Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Analyse der Laufzeit von Algorithmen 3. Untere Schranken für algorithmische Probleme 4. Sortier- und Selektionsverfahren 5. Paradigmen des Algorithmenentwurfs 6. Ausgewählte
MehrAlgorithmen II Vorlesung am 15.11.2012
Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales
MehrDATENSTRUKTUREN UND ALGORITHMEN
DATENSTRUKTUREN UND ALGORITHMEN 2 Ist die Datenstruktur so wichtig??? Wahl der Datenstruktur wichtiger Schritt beim Entwurf und der Implementierung von Algorithmen Dünn besetzte Graphen und Matrizen bilden
MehrUniversität des Saarlandes
Universität des Saarlandes FR 6.2 Informatik Prof. Dr. Kurt Mehlhorn WiSe 2015/2016 Übungen zu Ideen der Informatik http://www.mpi-inf.mpg.de/departments/algorithms-complexity/teaching/winter15/ideen/
MehrÜbung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie
Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 8. Mai 2012 B. Rieck (CoVis)
MehrMinimal spannende Bäume
http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen
MehrTechnische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen
Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 1 für die Übung
MehrÜbung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität
RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Reidl Ries Rossmanith Sanchez Tönnis WS 2012/13 Übungsblatt 9 10.12.2012 Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Aufgabe T20 Beweisen Sie die
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
MehrVollständige Induktion
Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Vollständige Induktion Aktualisiert: 1 Dezember 01 vers 100 Eine der wichtigsten Beweistechniken der Mathematik überhaupt ist die (vollständige) Induktion Wir nehmen
MehrMafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)
Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrHackenbusch und Spieltheorie
Hackenbusch und Spieltheorie Was sind Spiele? Definition. Ein Spiel besteht für uns aus zwei Spielern, Positionen oder Stellungen, in welchen sich das Spiel befinden kann (insbesondere eine besondere Startposition)
MehrTheoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke
Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008 Prof. Dr. Rainer Lütticke Inhalt der Vorlesung Grundlagen - Mengen, Relationen, Abbildungen/Funktionen - Datenstrukturen - Aussagenlogik Automatentheorie Formale
MehrGraphen: Datenstrukturen und Algorithmen
Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.
MehrVorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY
Vorlesung 4 BETWEENNESS CENTRALITY 101 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten bei einem sozialen Online-Netzwerk. Aus der Netzwerk-Struktur Ihrer Benutzer sollen Sie wichtige Eigenschaften extrahieren. [http://www.fahrschule-vatterodt.de/
MehrGraphentheorie. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Rainer Schrader. 31. Oktober Gliederung. sei G = (V, A) ein gerichteter Graph
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum ür Angewandte Inormatik Köln 31. Oktober 2007 1 / 30 2 / 30 Gliederung maximale Flüsse Schnitte Edmonds-Karp-Variante sei G = (V, A) ein gerichteter Graph sei c eine
MehrAnmerkungen zur Übergangsprüfung
DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung
MehrChristian Schulz und Johannes Singler
Christian Schulz und Johannes Singler, Prof. Sanders 1 KIT Christian Universität des Schulz Landes Baden-Württemberg und Johannes undsingler: nationales 3. Übung Forschungszentrum Algorithmen in der Helmholtz-Gemeinschaft
MehrGraphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers
Graphalgorithmen 2 Oleksiy Rybakov 3. Juni 2015 Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers 1 / 40 Inhaltsverzeichnis 1 Minimale Spannbäume und Datenstrukturen 2 Kürzeste Wege 3 Spezielle Graphen 2 / 40 Minimale
MehrKlausur Informatik B April Teil I: Informatik 3
Informatik 3 Seite 1 von 8 Klausur Informatik B April 1998 Teil I: Informatik 3 Informatik 3 Seite 2 von 8 Aufgabe 1: Fragekatalog (gesamt 5 ) Beantworten Sie folgende Fragen kurz in ein oder zwei Sätzen.
MehrAm Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48
Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009
Mehrkontextfreie Grammatiken Theoretische Informatik kontextfreie Grammatiken kontextfreie Grammatiken Rainer Schrader 14. Juli 2009 Gliederung
Theoretische Informatik Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. Juli 2009 1 / 40 2 / 40 Beispiele: Aus den bisher gemachten Überlegungen ergibt sich: aus der Chomsky-Hierarchie bleiben
Mehr16. All Pairs Shortest Path (ASPS)
. All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e
MehrKapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
Kapitel 3 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion In Kapitel 1 haben wir den direkten Beweis, den modus ponens, kennen gelernt, der durch die Tautologie ( A (A = B) ) = B gegeben ist Dabei war B eine
MehrVorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion
Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten
MehrGuten Morgen und Willkommen zur Saalübung!
Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei
MehrSingle Source Sortest Path Negative Kreise All-Pair Shortest Path Problem Minimum Mean Cycle Zusammenfassung. Shortest Paths
Shortest Paths Label Correcting Algorithms Florian Reitz Universität Trier Fachbereich IV Fach Informatik Seminar Netzwerkalgorithmen WS 2005/2006 Einleitung: Problemübersicht Eben: Schnelle Algorithmen
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität
MehrMaximale s t-flüsse in Planaren Graphen
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen June 18, 2012 Ignaz Rutter INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrDynamische Programmierung. Problemlösungsstrategie der Informatik
als Problemlösungsstrategie der Informatik und ihre Anwedung in der Diskreten Mathematik und Graphentheorie Fabian Cordt Enisa Metovic Wissenschaftliche Arbeiten und Präsentationen, WS 2010/2011 Gliederung
Mehr2 Tiefen- und Breitensuche
2 Tiefen- und Breitensuche Übersicht 2.1 SpannendeBäume... 21 2.2 WiefindetmanspannendeBäume?... 24 2.3 AnwendungenvonBFSundDFS... 29 2.4 Aufgaben... 33 2.1 Spannende Bäume Vor nicht allzu langer Zeit
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10
Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition
MehrAlgorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrÜbersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20.
Übersicht Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: (K4) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/i2/dsal12/ 20.
MehrFully dynamic algorithms for the single source shortest path problem.
Fully dynamic algorithms for the single source shortest path problem. Michael Baur Wintersemester 2001/2002 Zusammenfassung Im folgenden Paper werde ich Algorithmen für das dynamische Kürzeste-Wege-Problem
MehrWir betrachten das folgende nicht gerichtete Netzwerk:
Beispiel 3.. Wir etrachten das folgende nicht gerichtete Netzwerk: v=a 9 4 c 5 2 1 6 4 d e 13 1 f 26 18 3 5 4 g 2 2 h i Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 1/2 86 Bemerkung 3.6. Der
MehrDatenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012
Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Prioritätswarteschlangen Mariano Zelke Datenstrukturen 2/28 Der abstrakte Datentyp Prioritätswarteschlange : Füge Elemente (mit Prioritäten) ein und entferne
Mehr14. Rot-Schwarz-Bäume
Bislang: Wörterbuchoperationen bei binären Suchbäume effizient durchführbar, falls Höhe des Baums klein. Rot-Schwarz-Bäume spezielle Suchbäume. Rot-Schwarz-Baum mit n Knoten hat Höhe höchstens 2 log(n+1).
MehrUniversität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III
Name Vorname Matrikelnummer Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik o. Prof. Dr. P. Sanders 26. Feb. 2007 Klausur: Informatik III Aufgabe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgabe 2. Teilmengenkonstruktion
MehrTechnische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert 2. Mai HA-Lösung. TA-Lösung
Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert 2. Mai 2016 HA-Lösung TA-Lösung Einführung in die theoretische Informatik Aufgabenblatt 2 Beachten Sie: Soweit
MehrKapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete
Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:
MehrProseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein
Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des
MehrAbgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 2.1 (P) O-Notation Beweisen Sie die folgenden Aussagen für positive Funktionen f und g:
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 2 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,
Mehr4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss
4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss Wir kennen bereits den Algorithmus von Ford Fulkerson zur Suche nach einem maximalen Fluss in einem Graphen. Wir lernen nun einen Algorithmus für maximalen
MehrProbeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität
RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Reidl Ries Rossmanith Sanchez Tönnis WS 2012/13 Probeklausur 25.01.2013 Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Aufgabe 1 (1+2+6+3 Punkte)
MehrPrüfungsklausur Operations Research,
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research, 10.7.2008 A Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe 1 : In drei Porzellanwerken W 1, W 2 und W 3 werden Speiseservice hergestellt,
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 1: Einleitung
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 1: Einleitung Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrDurchschnitt von Matroiden
Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt
MehrKapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume
Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm
MehrDatenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 6 FS 14
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 2. April
Mehrκ(k) k K S Algorithmus zur Bestimmung eines spannenden Baumes mit minimalen Kosten (Kruskal, 1965).
5. Graphenprobleme Im folgenden bezeichnen G = (E, K) einen endlichen Graphen mit der Eckenmenge E und der Kantenmenge K. G kann ungerichtet, gerichtet, schlicht oder nicht schlicht sein. 5.1 Spannende
MehrVorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME
Vorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME 72 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten für eine Firma, die ein Neubaugebiet ans Netz (Wasser, Strom oder Kabel oder...) anschließt! Ziel: Alle Haushalte ans Netz bringen, dabei
MehrProseminar Kodierverfahren bei Dr. Ulrich Tamm Sommersemester 2003 Thema: Codierung von Bäumen (Prüfer Codes...)
Proseminar Kodierverfahren bei Dr. Ulrich Tamm Sommersemester 2003 Thema: Codierung von Bäumen (Prüfer Codes...) Inhalt: Einleitung, Begriffe Baumtypen und deren Kodierung Binäre Bäume Mehrwegbäume Prüfer
MehrRandomisierte Algorithmen 2. Erste Beispiele
Randomisierte Algorithmen Randomisierte Algorithmen 2. Erste Beispiele Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2016/2017 1 / 35 Randomisierter Identitätstest
MehrÜberblick. TSP Vergleich der Lösungen. Das Travelling Salesman Problem. Nearest-Neighbor Heuristik für TSP
Kap..1 Heuristiken Kap.. Approximative Algorithmen und Gütegarantien Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 3. VO DAP SS 008 14. Juli 009 Überblick
MehrAlgorithmische Bioinformatik 1
Algorithmische Bioinformatik 1 Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 2009 Übersicht Paarweises
MehrVervollständigung Lateinischer Quadrate
Vervollständigung Lateinischer Quadrate Elisabeth Schmidhofer 01.12.2013 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Einleitung 4 2.1 Beispele.............................................. 4 3 Lateinische Quadrate
MehrDank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
MehrInstitut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel. Aufgabe 1. Wir geben nur zwei von sehr vielen möglichen Strategien.
Lösungen Übung 13 Aufgabe 1. Wir geben nur zwei von sehr vielen möglichen Strategien. a) Strategie 1 (nächster Nachbar): Jedes Mal reist der Reisende vom Punkt, wo er gerade ist, zur nächstgelegenen Stadt,
Mehr