Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n 1 gilt: k = n (n + 1) 2

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Arnim Auttenberg
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1 Aufgabe 1. (5 Punkte) Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n 1 gilt: n k = k=1 n (n + 1). 2

2 Aufgabe 2. (5 Punkte) Bestimmen Sie das folgende Integral mithilfe partieller Integration: 3 0 x e 3x dx

3 Aufgabe 3. (12 Punkte) Im Rahmen einer Studie wurde die Körpergröße (in cm) und die Schuhgröße von erwachsenen Männer festgehalten: Schuhgröße X i Körpergröße Y i Tabelle 1: Datensatz Schuhgröße und Körpergröße (i) (5 Punkte) Zeichnen Sie einen Boxplot, der die Schuhgröße der erwachsenen Männer darstellt. Gehen Sie dafür wie folgt vor: (i.1) Berechnen Sie die benötigten Quantile. (i.2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Schuhgrößen. (i.3) Geben Sie die minimale und maximale Ausprägung an. (i.4) Fassen Sie die Daten in einem Boxplot zusammen. (ii) (7 Punkte) Berechnen Sie die Regressionsgerade, mittels der die Körpergröße der Männer in Abhängigkeit von ihrer Schuhgröße beschrieben wird. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: (ii.1) Geben Sie die Formel für die Regressionsgerade an. (ii.2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Körpergrößen. (ii.3) Berechnen Sie die Varianz der Schuhgröße. (ii.4) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen der Körpergröße und der Schuhgröße. (ii.5) Geben Sie nun die Regressionsgerade in der Form y(x) = m x + b an mit m,b R. (ii.6) Welche Körpergröße lässt sich demnach bei einem erwachsenen Mann vermuten, der eine Schuhgröße von 42 hat. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

4 Weitere Rechnungen zu Aufgabe Nr. 3:

5 Aufgabe 4. (8 Punkte) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung y (x) = (y(x) + 4) sin(x) und machen Sie die Probe. D.h. überprüfen Sie, ob Ihre Lösungsfunktionen richtig sind, indem Sie diese in die gegebene Differentialgleichung einsetzen.

6 T E I L II Aufgabe 5. (10 Punkte) Ein Produkt werde in zwei verschiedenen Fabriken produziert, wobei die erste Fabrik 2% und die zweite Fabrik 5% defekte Produkte ausliefere. Ein Kunde, der das Produkt kaufen möchte, besucht ein Geschäft, das zu einem Drittel von der ersten Fabrik und zu zwei Dritteln von der zweiten Fabrik beliefert wird. (i) (3 Punkte) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein in diesem Geschäft angebotenes Produkt defekt? (ii) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist und aus der ersten (bzw. zweiten) Fabrik stammt. (iii) (4 Punkte) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein defektes Produkt aus der ersten (bzw. zweiten) Fabrik stammt? Bitte beachten Sie, dass in den Aufgabenteilen (ii) und (iii) die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für beide Fabriken ausgerechnet werden sollen.

7 Aufgabe 6. (6 Punkte) Die Zufallsvariable X beschreibe die Dauer der Funktionsfähigkeit bestimmter elektrischer Geräte (in Jahren) und sei exponentialverteilt mit Parameter λ = 1/100, d.h. X sei stetig verteilt mit Dichte { 1 f (x) = 100 e 100 x, x 0, 0, x < 0. (i) (2 Punkte) Wie viel Prozent der Geräte halten höchstens fünf Jahre? Bestimmen Sie hierfür die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert von höchstens 5 Jahren annimmt, d.h. bestimmen Sie P(X 5). (ii) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Dauer der Funktionsfähigkeit zwischen drei und fünf Jahren liegt, d.h. berechnen Sie P(3 X 5). (iii) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.

8 Aufgabe 7. (6 Punkte) Beim Wirkstoffgehalt eines Medikaments in Tablettenform gibt es produktionsbedingt zufällige Schwankungen, die normalverteilt sind. Zur Kontrolle werden aus einer Tagesproduktion 20 Tabletten zufällig entnommen und es wird ein durchschnittlicher Wirkstoffgehalt von mg ermittelt. Aus langjährigen Erfahrungen mit Produktionsprozessen dieser Art sei bekannt, dass die Varianz 400 mg beträgt. Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau von 95% für den Erwartungswert des Wirkstoffgehalts.

9 Aufgabe 8. (8 Punkte) Aus einem Lehrbuch entnehmen Sie, dass das mittlere Gewicht einer Hausmaus 22, 5g beträgt. Bei einer Untersuchung von 101 Mäusen haben Sie das Gewicht der Tiere festgehalten und kommen anhand Ihrer Daten auf eine mittleres Gewicht von 21g bei einer unbekannten und deswegen nur geschätzten Varianz s 2 = 16g. Testen Sie unter der Voraussetzung, dass das Gewicht der Hausmaus näherungsweise normalverteilt ist, ob sich Ihre Ergebnisse mit der Aussage des Lehrbuchs bei einem Signifikanzniveau von α = 5% vereinbaren lassen. Gehen Sie dafür wie folgt vor: (i) (2 Punkt ) Geben Sie die zu überprüfende Nullhypothese sowie die entsprechende Alternativhypothese an. (ii) (2 Punkte) Geben Sie die Bedingung an, unter der die Nullhypothese angenommen wird. (iii) (2 Punkte) Bestimmen Sie das benötigte Quantil. (iv) (2 Punkte) Geben Sie an, ob die Nullhypothese angenommen oder verworfen wird.

10 r x X e x X x

11 Die Quantile t n,γ der t-verteilung Freiheitsgrade 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0, ,078 6,314 12,706 31,821 63, , ,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31, ,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12, ,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8, ,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6, ,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5, ,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5, ,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5, ,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4, ,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4, ,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4, ,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4, ,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4, ,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4, ,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4, ,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4, ,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3, ,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3, ,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3, ,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3, ,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3, ,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3, ,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3, ,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3, ,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3, ,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3, ,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3, ,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3, ,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3, ,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3, ,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3, ,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3, ,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3, ,294 1,667 1,994 2,381 2,648 3, ,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3, ,291 1,662 1,987 2,368 2,632 3, ,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,390 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,290 Ablesebeispiel: t 28;0,995 = 2, 763

12 Weitere Rechnungen zu Aufgabe Nr. :

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