1.4 Gruppen, Ringe, Körper

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1 14 Gruppen, Ringe, Körper Definition 141 Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M : (a, b a b Die Verknüpfung heißt assoziativ falls gilt: a (b c = (a b c a, b, c M; kommutativ falls gilt: a b = b a a, b M Man schreibt (M, für die Menge M mit der Verknüpfung Beispiel (N, (Subtraktion keine Verknüpfung (nicht abgeschlossen (Z, Verknüpfung, aber weder kommutativ noch assoziativ N, Z, R, Q mit Addition + oder mit Multiplikation, assoziativ und kommutativ X nichtleere Menge, M = Abb(X = {f f : X X Abbildung} mit üblicher Verknüpfung f g, assoziativ aber ia nicht kommutativ Ähnlich für S X = {f f : X X bijektive Abbildung} Z/m mit Addition oder Multiplikation, assoziativ, kommutativ Definition und Satz 142 Sei eine Verknüpfung auf einer nichtleeren Menge M Dann heißt e M neutrales Element für die Verknüpfung falls gilt: e a = a e = a a M Falls ein neutrales Element existiert, so ist dieses eindeutig bestimmt Beispiel (N, + kein neutrales Element N 0, Z, Q, R etc mit + : neutrales Element 0 N, Z, Q, R etc mit : neutrales Element 1 Abb(X, S X mit : neutrales Element id X : X X : a a Bemerkung Das Symbol + ( Addition wird nur bei bestimmten kommutativen Verknüpfungen genommen Gibt es dabei ein neutrales Element, so bezeichnet man es ia mit 0 (Null Definition 143 Sei G eine nichtleere Menge mit Verknüpfung Dann heißt (G, (oder nur G falls klar ist, welches gemeint ist Gruppe falls gilt: 1

2 (G1 ist assoziativ; (G2 neutrales Element e G für ; (G3 Zu jedem a G existiert ein b G mit a b = b a = e b heißt dann das zu a inverse Element oder das Inverse von a G heißt kommutativ oder abelsch falls kommutativ ist Man nennt G die Ordnung der Gruppe G Satz 144 Sie (G, eine Gruppe Dann gibt es zu jedem a G genau ein Inverses Bemerkung Falls Verknüpfungssymbol +, so schreibt man a (das Negative von a, Minus a für das Inverse von a Ansonsten schreibt man ia a 1 für das Inverse von a Beispiel keine Gruppen: (N, +, (Z,, (Z/m, (m 2 Gruppen: Z, R, Q etc mit + (Z/m, ist Gruppe R \ {0}, Q \ {0} mit Z/m \ {[0] m }, m 2 mit : Gruppe m ist Primzahl (Satz 138 Definition und Satz 145 X nichtleere Menge (S X, ist eine Gruppe mit neutralem Element id X Das zu f S X inverse Element ist die Umkehrabbildung f 1 S X heißt die symmetrische Gruppe auf der Menge X Ein Element in S X nennt man auch eine Permutation (der Elemente von X S n := S {1,,n} heißt symmetrische Gruppe vom Grad n Es gilt S n = n! Für kleine Gruppen G = {a, b, c, } kann man die Verknüpfungstafel oder Cayley-Tafel schreiben: a b c a a a a b a c b b a b b b c c c a c b c c 2

3 Beispiel Cayley-Tafeln für (Z/5 \ {[0] 5 }, (der Einfachheit halber n statt [n] 5 : Man sieht: jedes Element erscheint als Verknüpfung zweier Elemente in jeder Zeile und jeder Spalte der Tafel genau einmal Dies gilt immer in einer Cayley-Tafel einer Gruppe (wieso? Zur Übung erstelle man die Cayley-Tafel für S 3 Definition 146 Ein Ring ist eine nichtleere Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition + und einer Multiplikation, sodass gilt: (R1 (R, + ist eine abelsche Gruppe, wobei das neutrale Element Nullelement oder Null heißt, in Zeichen 0 R oder 0, und das additiv Inverse von a als a geschrieben wird; (R2 Die Multiplikation ist assoziativ; (R3 Es gilt das Distributivgesetz: a, b, c R gilt a (b + c = (a b + (a c und (a + b c = (a c + (b c; (R4 Es existiert ein neutrales Element für die Multiplikation, genannt Einselement oder Eins, in Zeichen 1 R oder 1 Falls die Multiplikation kommutativ ist, so spricht man von einem kommutativen Ring Bemerkung (i In der Literatur betrachtet man auch manchmal Ringe, die (R4 nicht notwendigerweise erfüllen Ringe, die (R4 erfüllen, werden dann auch unitäre Ringe genannt Es gibt auch eine Theorie von Ringen, die (R2 nicht erfüllen, solche Ringe heißen dann nichtassoziativ Falls nichts anderes gesagt wird, erfüllen alle unsere Ringe (R2 und (R4 (ii Für a, b R schreibt man oft kurz ab statt a b Das Distributivgesetz wird somit zu: a(b + c = ab + ac und (a + bc = ac + bc 3

4 Bemerkung In einem Ring R gilt immer: 0 x = x 0 = 0 und ( x y = x ( y = (x y und ( x ( y = x y (Beweis? Beispiel (N 0, +, kein Ring Z, Q, R mit der üblichen Addition/Multiplikation sind Ringe R[X] = {a 0 + a 1 X + + a n X n a i R, n N 0 }, der Polynomring über R in der Variablen X, mit der üblichen Addition/Multiplikation von Polynomen ist ein Ring Generell kann man auf analoge Weise zu einem beliebigen Ring R den Polynomring R[X] über R in der Variablen X definieren Dann gilt zb mit a, b R: (a + bx 2 = a 2 + (ab + bax + b 2 X 2, wobei aber ab ba sein kann falls R nicht kommutativ ist Insbesondere gilt: R[X] ist kommutativ genau dann wenn R kommutativ ist Z[ 2] = {a + b 2 a, b Z} mit der üblichen Addition/Multiplikation (wie in R ist ein Ring Sei M eine nichtleere Menge und Abb(M, R = {f f : M R Abbildung} mit Addition f + g : M R : x f(x + g(x Multiplikation f g : M R : x f(x g(x ist ein Ring mit 1 Abb(M,R : M R : x 1 0 Abb(M,R : M R : x 0 Generell wird für einen gegebenen Ring R auf analoge Weise zu oben Abb(M, R wieder zu einem Ring, welcher kommutativ ist genau dann wenn R kommutativ ist (Z/m,, ist ein Ring Später werden wir oft mit n n Matrizen, zb über R, rechnen, die Menge dieser Matrizen wird mit M n (R bezeichnet Für n = 2 ist dies { ( } a b M 2 (R = a, b, c, d R c d mit Matrizenaddition ( ( a b a b + c d c d ( a + a b + b = c + c d + d 4

5 und Matrizenmultiplikation ( ( a b a b c d c d ( aa = + bc ab + bd ca + dc cb + dd Man kann nun mit ein bisschen Ausdauer nachrechnen, dass M 2 (R mit Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation ein Ring ist mit ( ( 1 0 Nullelement 0 M2 (R = und Einselement 1 M2 (R = 0 1 M 2 (R ist nicht kommutativ: ( ( wohingegen ( 0 1 ( 0 1 = = ( 0 1 ( Analog kann man für einen beliebigen Ring R die n n Matrizen mit Koeffizienten in R betrachten und diese mittels Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation wieder zu einem Ring M n (R machen Definition 147 Ein Körper ist ein kommutativer Ring K mit 1 0 in dem jedes x K \ {0} ein multiplikatives Inverses besitzt, welches x 1 geschrieben wird Bemerkung Ein Ring mit 1 0 ist also genau dann ein Körper wenn (R\{0}, eine abelsche Gruppe ist Beispiel (Z, +, kein Körper R, Q mit + und : Körper Satz 148 Sei m N mit m 2 Dann gilt: (Z/m,, Körper m ist Primzahl Definition 149 R Ring x R heißt Einheit des Ringes R falls a R mit a x = x a = 1 (dh x hat ein multiplikatives Inverses Man schreibt dann auch a =: x 1 R = {x R x ist Einheit} Bemerkung 1410 R Ring / R 5

6 1 = 0 R = {0} R Körper R kommutativ und R = R \ {0} (R, ist eine Gruppe mit neutralem Element 1 Satz 1411 R Ring, a R Dann gilt: Die Abbildung L a : R R : x a x ist bijektiv genau dann wenn a R Beispiel Z = {±1}; Z[ 2] : unendlich viele Einheiten, zb 1, ζ, ζ 2, ζ 3, mit ζ = und ζ 1 = 1 + 2, aber Z[ 2] kein Körper, zb hat 2 = kein multiplikatives Inverses Satz 1412 Sei m N, m 2 Dann gilt (Z/m = {[a] m 0 a m 1, ggt(a, m = 1} Beispiel (1 In Z/10 schreibe n statt [n] 10 Dann gilt: (Z/10 = {1, 3, 7, 9} Die Multiplikationstafel für diese Gruppe ist dann (2 Man berechne die Multiplikationstafel für (Z/12 = {1, 5, 7, 11} Definition 1413 Sei (G, eine Gruppe mit neutralem Element e H G heißt Untergruppe von G, in Zeichen H G, falls gilt: (UG1 H ; (UG2 x, y H : x y H; (UG3 x H : x 1 H Bemerkung (UG1 kann auch ersetzt werden durch die Bedingung e H Beispiel (Z, + (Q, +, (Q, (R,, (N 0, + (Z, +, {2 n n Z]} (Q,, 6

7 Definition 1414 Sei (R, +, ein Ring S R heißt Unterring falls gilt: (UR1 (S, + (R, +; (UR2 x, y S : xy S; (UR3 1 R S Bemerkung Damit wird S selber ein Ring mit der von R geerbten Addition/Multiplikation und 1 S := 1 R Beispiel Z als Unterring von Q, oder von Z[ 2] Z[ 2] als Unterring von R, aber nicht von Q Definition 1415 (1 Seien (G,, (H, # Gruppen Eine Abbildung f : G H heißt Gruppenhomomorphismus falls f verknüpfungstreu ist, dh f(a b = f(a#f(b a, b G Falls f zusätzlich noch bijektiv ist, so nennt man f einen Gruppenisomorphismus Man sagt, dass (G, isomorph zu (H, # ist, in Zeichen (G, = (H, # (oder einfach nur G = H falls klar ist, welche Verknüpfungen gemeint sind, falls es einen Gruppenisomorphismus f : G H gibt (2 Seien (R, +,, (S, +, Ringe Eine Abbildung f : R S heißt Ringhomomorphismus falls gilt: (RH1 f(a + b = f(a + f(b a, b R; (RH2 f(a b = f(a f(b a, b R; (RH3 f(1 R = 1 S Falls f zusätzlich noch bijektiv ist, so nennt man f einen Ringisomorphismus, Man sagt, dass (R, +, isomorph zu (S, +, ist, in Zeichen (R, +, = (S, +, (oder einfach nur R = S falls es einen Ringisomorphismus f : R S gibt Beispiel Gruppenisomorphismus f : (Z/2, (Z, mit f([0] 2 = 1, f([1] 2 = 1 Ringhomomorphismen: Q R : x x; Z Z/m : a [a] m Bemerkung 1416 Sei (G, eine Gruppe mit neutralem Element e, und sei g G Wir definieren g 0 := e und für n N: g n := g g g }{{} n mal g n := g 1 g 1 g }{{ 1 } n mal 7

8 Es gilt dann für n, m Z immer (g n m = g nm und g n g m = g n+m Falls die Gruppe (G, + additiv geschrieben wird (und nur dann, so definieren wir 0g := e und für n N: ng := g + g + + g }{{} n mal ( ng := ( g + ( g + + ( g }{{} n mal Es gilt dann für n, m Z immer n(mg = (nmg und ng + mg = (n + mg Satz 1417 Sei f : (G, (H, # ein Gruppenhomomorphismus Dann gilt (i f(e G = e H ; (ii a G: f(a 1 = f(a 1 ; (iii a G und n Z: f(a n = f(a n Beispiel Es gibt Gruppen der Ordnung 3, zb (Z/3, mit Cayley-Tafel Sei nun (G, eine weitere Gruppe der Ordnung 3, sagen wir G = {e, a, b} mit neutralem Element e Man sieht schnell, dass es für die Cayley-Tafel nur eine Möglichkeit gibt (bis auf die Reihenfolge, in denen die Elemente den Zeilen/Spalten zugeordnet werden: e a b e e a b a a b e b b e a Wenn man nun f : G Z/3 wie folgt definiert: f(e = 0, f(a = 1, f(b = 2, so sieht man, dass f ein Gruppenisomorphismus ist Also: Alle Gruppen der Ordnung 3 sind isomorph zu (Z/3, Man sagt: Bis auf Isomorphie gibt es genau eine Gruppe der Ordnung 3 Man kann zeigen: es gibt bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 4 8