Algebraische Strukturtheorie in der. Diatonik und Chromatik. 2.1 Einleitung: Der Fragenkreis im Quintenkreis

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1 Algebraische Strukturtheorie in der 2 Diatonik und Chromatik 2.1 Einleitung: Der Fragenkreis im Quintenkreis Zentraler Gegenstand unserer Untersuchung sind Skalen und zwar: heptatonische (diatonische) 7-stufige Tonleitern, chromatische ( halbtönige ) 12-stufige Tonleitern, welche quintgeneriert sind. Das heißt, sie entstehen dadurch, dass man einen Anfangston wählt, (den wir in diesem Buch in aller Regel Tonika nennen werden), im nächsten Schritt eine Quinte weiter geht meist aufwärts, dann noch eine Quinte weiter und immer wieder passend rückoktaviert und so fort. Wobei unter rückoktaviert stets gemeint ist, dass beim Überschreiten der Tonika-Oktave automatisch um eine Oktave zurückgegangen wird. Wir nennen diesen Prozess durchgängig Reoktavierung. Es zeigt sich, dass dieser Prozess in der mathematischen Behandlung keineswegs so einfach zu handhaben ist; entscheidend wird sein, dass wir ein hierfür geeignetes mathematisches Modell nutzen können. Wobei das Iterations-Intervall Quinte a priori eine beliebige vorgegebene Größe hat. Wir begegnen in der Historie zahlreichen Tonskalen, die quintgeneriert sind die Quinten liegen hierbei alle in einer nahen Umgebung der Universalquinte Q e zu 700 ct (welche die gleichstufige Temperierung generiert). Die Quintgenerierung der Tonleitern ist jedenfalls derart zentral, dass das Modell des Quinten-Kreises wie in der Abb. 2.1 skizziert die wichtigste Quelle der Tonartenzusammenhänge geworden ist. Leiteraufbau, Tonartenverwandtschaften, Harmonielehre u.v.m. sind hierdurch einprägsam veranschaulicht wenn nicht sogar verankert. Seit den Tagen von Pythagoras ist also der Aufbau der Tonsysteme durch Quinten- Fortschreitung als die weit überwiegende Methodik der Skalentheorie anzusehen. Dies Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017 K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI / _2 61

2 62 2 Algebraische Strukturtheorie in der Diatonik und Chromatik Abb. 2.1 Standard-Modell des geschlossenen Quinten- Kreises hat gewiss seine Ursachen darin, dass der antik-griechische Zugang zur Skalenbildung aus einer Tetrachordik hervorging, die geradezu prädestiniert war, die Quinte als Startstufe eines zweiten angefügten Tetrachords zum Skalenaufbau zu verwenden. Bedauerlicherweise ist es nun so, dass Quintfortschreitungen keineswegs unproblematisch sind: Wer mit Eifer und Perfektion eine reine Quinte (3 : 2-Quinte) an die andere hängt, wird betrübt feststellen, dass er (nach zwischenzeitlich notwendigen Reoktavierungen) leider nicht den Ausgangspunkt erreicht. Das haben wir ja in der Einleitung zum 1. Kap (Abschn. 1.1) ausgiebig beleuchtet. Kurz: Geschlossene Quinten-Kreise gibt es durch reine Quinten nicht! Stets ergibt sich nach 12 Schritten, mithilfe derer wir die Tastatur der 12 zu findenden Töne der Oktave belegen wollen, dass sich der Klangkreis nicht schließt es entsteht eine (kleine) Lücke, die man Komma nennt. Und bereits die Anwendungsbeispiele des Abschn. 1.4 haben uns die Grundsätzlichkeit dieser Problematik vor Augen geführt Auch stellten wir bereits fest, dass unsere quintgenerierten Ganztöne (wie zum Beispiel der Schritt g a) längst nicht durch Halbtöne hälftig geteilt werden auch hieran ist das Komma schuld. Und wenn wir tiefer eindringen in die Verästelungen multipler Iterationen wie vorrangig den Quinten- und Terzfolgen, so entdecken wir einen ganzen Zoo von Mikro-Intervallen, die alle untereinander in Beziehung stehen. Jede Iteration naturtöniger Intervalle hat ihre Defizite, ihre Kommata : das pythagoräische Komma ( 23, 5 ct) gehört zur reinen Quinte, die kleine Diesis ( 41, 0 ct) gehört zur (Dur-) Mitteltönigkeitsquinte, die große Diesis ( 62, 5 ct) gehört zur (Moll-) Mitteltönigkeitsquinte, das syntonische Komma ist das Defizit zwischen reiner Terz- und reiner Quinten- Stimmung, und, und, und. Und dann gibt es noch den Wolf (die Wolfsquinte ), der nur dann, wenn er das Komma gefressen hat, dem Quinten-Kreis zu seiner scheinbaren Unversehrtheit verhilft.

3 2.2 Bilanz-Gleichungen und Elementarintervalle quintgenerierter 63 Komma, Quinte und Ganztonteilung stehen in einem prägnanten, ursächlichen Zusammenhang, und das vorliegende Kapitel ist jenem gewidmet. Wir werden in diesem Kapitel die Hauptgegenstände unserer Thematik die Ton-Skalen bezüglich ihrer inneren Struktur und ihres Aufbaus untersuchen. Dabei gehen wir sehr abstrakt vor wir erreichen dadurch das Plateau einer übergeordneten Universalstruktur für den Tonleiteraufbau. Bei allem haben wir wie eingangs erwähnt die diatonische Skala, die aus 7 Tönen besteht ( Stichwort : c d e f g a h (c 1 ) ) deswegen auch heptatonische Skala genannt wird, die chromatische Skala, die aus 12 Tönen besteht ( Stichwort : c cis d h ( c 1)) und die eine Aneinanderreihung von ganz bestimmten Halbtonschritten darstellt, im Blick. Wenn solche Skalen quintgeneriert sind, gibt es nun folgenden Fragenkreis, dem wir uns in den folgenden Abschnitten widmen wollen: Welche Bedingungen sind an eine Iterations-Quinte zu stellen, damit eine heptatonische oder eine chromatische Skala überhaupt entstehen kann? Welche Intervalle treten im Iterationsprozess auf? Wie hängt der innere Aufbau einer solchen quintgenerierten Skala von der erzeugenden Quinte ab? Welche Rolle spielen die Defizit-Größen: Komma und Defizit-Quinte? Was überhaupt ist die Wolfsquinte und welche Rolle spielt sie in der Charakteristik einer Skala? In den nun folgenden Betrachtungen verwenden wir reichlich die Arithmetik der Intervall-Adjunktion mit ihren Formeln und Fakten und die Gesetze der Frequenz- und Cent- Rechnung, die wir in den Abschn. 1.3, 1.4 und 1.5 des 1. Kap. vorgestellt haben. 2.2 Bilanz-Gleichungen und Elementarintervalle quintgenerierter Skalen Wir kommen nun ohne Umschweife zu unseren Betrachtungsgegenständen. Es sei Q ein (größeres) Intervall (genannt Quinte ) mit (kleinerem) Komplementärintervall q (genannt Quarte ). Es gilt somit definitionsgemäß die Bilanz Q q = O (Oktave).

4 64 2 Algebraische Strukturtheorie in der Diatonik und Chromatik Der Gleichheitsfall Q = q = 600 ct würde nur zu einer trivialen wie auch unbrauchbaren Situation führen daher: größer und kleiner. Mittels dieses gegebenen Intervalls Q definieren wir nun alle weiteren Intervalle, die wir Elementar-Intervalle nennen wollen; sie sind die Bausteine der Skalen. Definition 2.1 (Quinten-Formeln der Elementar-Intervalle) Die zunächst durch die vorgegebene abstrakte Quinte Q gebildeten 4 folgenden Intervalle sowie die Quinte und ihre komplementäre Quarte nennen wir Elementar- Intervalle : (1) T : def = Q q = 2Q O ( Tonos, Ganzton) (2) L : def = Q 3T = 3O 5Q ( Limma, diatonischer Halbton) (3) A : def = T L = 7Q 4O ( Apotome, chromatischer Halbton) (4) ε : def = A L = 12 Q 7O ( Apotome, chromatischer Halbton) Diese Gleichungen nennen wir auch Quinten-Formeln, weil durch die vorgegebene Iterations-Quinte alle übrigen Bestandteile entsprechender Skalen berechnet werden. Aus diesen definitorischen Festlegungen gewinnen wir nun sehr schnell weitere Beziehungen, die letztlich eine Art Rechenbasis im Umgang mit einfach-generierten Iterationen beziehungsweise Skalen bilden. Satz 2.1 (Bilanzgleichungen der quintgenerierten Diatonik und Chromatik) Für diese Quinten-Formeln der Elementar-Intervalle gilt: Sie sind alle untereinander äquivalent. In Konsequenz gilt: Alle diese Elementarintervalle (Q, q, T, L, A und ε) lassen sich durch jedes beliebige von ihnen eindeutig berechnen. Dies geschieht zum Beispiel dadurch, dass man die Quinten-Formeln intervallarithmetisch nach Q umstellt und passend einsetzt. Wir gelangen so zu den Formeln: (1) 2Q = T O Q = T (Cent) 2 (2) 5Q = 3O L Q = L (Cent) 5 (3) 7Q = 4O A Q = A (Cent) 7 (4) 12 Q = 7O ε Q = ε (Cent) 12

5 2.2 Bilanz-Gleichungen und Elementarintervalle quintgenerierter 65 Ist also nur eine der Größen T, L, A, ε bekannt, so ist Q also Q bekannt und somit wieder alle übrigen Größen. Darüber hinaus gelten nun die folgenden 4 Bilanzgleichungen, welche selber untereinander äquivalent sind: (5) q = 2T L und Q = 3T L (Tetrachord-Formeln) (6) 11Q (Q ε) = 7O (Wolfsquinten-Formel) (7) O = 5T 2L (Oktav-Formel der Diatonik) (8) O = 7L 5A (Oktav-Formel der Chromatik) Beweis Alle Formeln (1) (8) sind äußerst einfach zu zeigen. Aus der Oktav-Bilanz von Quinte plus Quarte ergibt sich unmittelbar die Formel (1), die Formel (2) durch Einsetzen von (1), die Formel (3) durch Einsetzen von (2) und (1), die Formel (4) durch die Subtraktion (3) (2), (1), die Formel (5) mit (1), die Formel (6) mit (4), die Formel (7) mit (5) und die Formel (8) mit (2) und (3). Die Details seien dem Leser überlassen. Auch schult es den Umgang mit der abstrakt erscheinenden Intervall-Arithmetik des Abschn. 1.4, die Äquivalenz der Bilanz-Formeln untereinander zu zeigen. Bemerkung Insbesondere sind die Oktav-Formeln bedeutsam. Die Oktav- Formel der Diatonik O = 5T 2L ist nämlich nicht nur eine Cent-Bilanz, sondern sie drückt auch aus, dass eine diatonische, quintgenerierte Skala aus genau 5 Ganztönen T und 2 diatonischen Halbtönen L (die deswegen auch leitereigene Halbtöne heißen) besteht. Die weiterführende Oktav-Formel der Chromatik O = 7L 5A führt uns dagegen schon ein Stück in die Halbton-Struktur der 12-tönigen Skala, und ihre nähere innere Struktur wird allgemein als Charakteristik bezeichnet. Wir bemerken, dass die Formelwelt (1) bis (8) gültig ist völlig losgelöst von der Frage musikalisch sinnvoller Realisierung. Für das folgende sei auch noch mal daran erinnert, dass für ein Intervall I gilt I < 0 (in Cent) If uhrt.. zu tieferen T onen,.. das heißt : Ist I = (t 1,t 2 ), so hat der Ton t 2 eine tiefere Frequenz als Ton t 1.

6 66 2 Algebraische Strukturtheorie in der Diatonik und Chromatik Es ist nun ebenso plausibel wie historisch bedingt wie aber auch musiktheoretisch sinnvoll zu verlangen, dass für die Centmaße von Tonos, Limma und Apotome T, L und A die Bedingungen T > 0, L > 0 und A > 0 erfüllt sein sollen; diese Intervalle sollen nämlich (sinnvollerweise) aufsteigend sein. Für T gilt dies ja schon (warum?). Wir fordern daher für das Limma 0 < L < T, was wegen L A = T äquivalent zur Forderung ist, dass schließlich beide Halbtöne L und A aufsteigend wirken. Hierdurch ist die Teilung des Tonos in zwei echte Teilintervalle gewährleistet. Was dies für die Iterationsquinte Q bedeutet, steht in folgendem Satz. Satz 2.2 (Semiton-Bedingung) Alle Intervallmaße seien als Centmaße zu verstehen. Dann gelten: Folgerung: Es sind äquivalent: a) 0 < L < T b) L > 0 und A > 0 c) (1) L > 0 Q < 720 (2) A > = 685,714 < Q < Q < 720 (Seminton Bedingung) Genau dann, wenn die definierende Iterations-Quinte aus dem Cent-Korridor ]685, , 720, 00[ gewählt ist, sind die beiden Semitonia L und A positiv centwertig, und der Tonos ist durch L und A echt geteilt!

7 2.2 Bilanz-Gleichungen und Elementarintervalle quintgenerierter 67 Beweis Aussage (1) folgt aus der Formel (2) und Aussage (2) aus der Formel (3) des Satz 2.1. Bemerkung Numerisch mag dieser Korridor klein erscheinen, musikalisch ist er dennoch sehr groß schließlich umfasst er ja alle bekannten Quintskalen. Beispiel 2.1 (für quintgenerierte Skalen) (1) Gleichstufige Temperierung Qe = 700 ct (2) Pythagor aische.. Temperierung Q P = 702 ct (3) Silbermann-Temperierung Q S = 698 ct (4) Mittelt onige.. große Terz-Temperierung Q M = 696,5 ct (5) Zarlino-Temperierung Q z = 695 ct (6) Mittelt onige.. Kleinterz-Temperierung Q m = 694,5 ct Schwächere Iterationsquinten als die letztere (Q m ) sind nicht bekannt die Unbrauchbarkeit infolge fortwährender Iteration wird zu groß. Vielmehr gruppieren sich die praktikablen Temperierungen um den ungefähren Korridormittelpunkt von 700 ct der Idealverteilung zumindest aus der Sicht optimaler Symmetrie. Wir diskutieren nun drei Sonderfälle: (1) Q = ct = 685,7...ct Nach Gl. (3) des (Basis-) Satzes 2.1 ist dies gleichwertig dazu, dass A = 0 ist. Das bedeutet wiederum L = T, und nach der Oktavformel (8) gilt die Bilanz O = 7T. Dies ist die gleichstufige Temperierung in 7 Stufen. Jede Stufe hat demnach 1200 : 7 = 171, 42...ct Die Stimmung ist recht exotisch (vom Typ Wirtshausklavier ). (2) Q = 720 ct Nach Gl. (2) des (Basis-) Satzes 2.1 ist dies gleichwertig dazu, dass L = 0 ist. Nach der Oktavformel (7) ist dann O = 5T. Dies ist die gleichstufige Temperierung in 5 Stufen. Jede Stufe hat demnach 1200 : 5 = 240 ct ein Intervall, welches um 1/5 Ton größer als ein gewohnter Ganzton (200 ct) ist. (3) Q = 700 ct Nach (1) des (Basis-) Satzes 2.1 ist dann T = 200 ct und nach (2) ist L = 100 ct, weshalb auch A = 100 ct und ε = 0 ct ist. Der Tonos ist genau hälftig geteilt. Wir haben die (heute übliche) gleichstufige Temperierung in 12 Stufen, O = 12 L.

8 68 2 Algebraische Strukturtheorie in der Diatonik und Chromatik Das ist die gleichstufige, chromatische 12 stufige Skala, die wir später mit E 12 bezeichnen werden. 2.3 Die Dur-Tonleiter und die quintgenerierte Diatonik Schon zu Beginn eines frühen Unterrichts über den Aufbau der Dur- und Moll-Tonleitern lernen wir die Stufenfolge der Durtonleiter ( / ) / ( ) als die durch einen Ganzton (1) verbundene Schichtung zweier gleich gebauter Tetrachorde der Form Ganzton Ganzton Halbton ( kurz : T T t, beziehungsweise / 2 ) kennen. Das ist übrigens der diatonisch-lydische Typ eines Tetrachords einer neben vielen anderen historischen Urformen (vergleiche Abschn. 3.1 und 3.2). Wir sehen nun in diesem Abschnitt, dass dieser wichtigste Aufbau einer Tonleiter eindeutig einer durch eine Quinten-Iteration gewonnenen Skala entspringt wie auch umgekehrt jede nach einem gewissen Standard verlaufende Iteration mit einer gegebenen Quinte Q, beziehungsweise mit ihrer komplementären Quarte q ganz zwangsläufig genau diese diatonisch-lydisch-tetrachordische Struktur zur Folge hat. Eine quintgenerierte diatonische Skala hat genau die Tonfolge und die Struktur eines zweifachen Tetrachords im Ganztonabstand. Definition 2.2 (Standard-Quinten-Iteration) Es sei Q mit 600 < Q < 720 eine gegebene Quinte und q ihre komplementäre Quarte also q = O Q < 600 und für das Limma L gilt L > 0. Dann nennt man die Iteration der Form Tonika (P) P Q O = P q P P Q P Q q P 2Q q P 2Q 2q P 3Q 2q.

9 2.3 Die Dur-Tonleiter und die quintgenerierte Diatonik 69 Standard-Quinten-Iteration. Sie entsteht also aus 1 Abwärtsquinte und 5 Aufwärtsquinten von einem gewählten Startpunkt Tonika P unter ständiger Reoktavierung in den Oktavraum [P, P O]. Für die Praxis bietet sich die praktikablere Vorgehensweise an: Ist Q wie oben gegeben, so sind ja Ganzton T und Semiton L berechenbar: Dann bildet man die Cent- bzw. Tonfolge T = 2( Q 600), L = Q 3 T. Prim }{{} T 2T 2T L 3T L 4T L 5T L O. Start Also muss man sukzessive die Intervalle T und L wie folgt adjungieren im Einklang mit der bilanzierenden Oktavformel O = 5T 2L. Bemerkung: Die Standard-Quinten-Iteration Die Standard-Quinten-Iteration ist also letztlich eine Folge von 6 aufeinander folgenden Aufwärtsquinten, wenn man die Reihung an dem durch die Abwärtsquinte gewonnenen Ton ( f ) beginnen ließe natürlich unter ständiger Oktavierung in die geforderte Oktave auf c, und wir erhalten das Modell, welches wir vereinfacht mit den weißen Tasten der Tastatur benennen: f c g d a e h.

10 70 2 Algebraische Strukturtheorie in der Diatonik und Chromatik Jeder Schritt bedeutet also eine Aufwärtsquinte (mit einer Aufwärtsoktave für f, einer Abwärtsoktave jeweils für d und e, damit der Oktavraum über c belegt wird.) Die Skala kann dagegen nicht ausschließlich durch Aufwärtsquinten, die bei der Tonika (dem Startton) beginnen, gewonnen werden: Der Quartton ( f ) benötigt die Abwärtsquinte. Und im Allgemeinen führt keine Aufwärtsfolge zu einem Ton f höhere Oktaven mit der einzigen Ausnahme der gleichstufigen Temperierung, bei welcher Q = 700 ct ist und wo dann die Abwärtsquinte identisch mit 11 Aufwärtsquinten (minus 7 Oktaven) ist. Wir können nun unser erstes Hauptergebnis dieses Abschnitts formulieren: Theorem 2.1 (Quintgenerierte diatonische Skalen) (1) Jede heptatonische Tonskala, welche in der Form der diatonisch-lydischen tetrachordischen Struktur T T L T T T L = O vorliegt, wird durch die Quinte Q := 3T L standard-generiert. (2) Ist umgekehrt Q eine gegebene Quinte im Cent-Korridor 685,7 < Q < 720, so liefert die Standard-Iteration also die Folge Q Prim Q Q Q Q Q (und passender Reoktavierung) ausgeführt auf einer gewählten Tonika = Startton eine diatonische Skala in diatonisch-lydisch-tetrachordischer Form T T L T T T L. Beweis des Theorems Zu (1): Aus der gegebenen Struktur folgt zunächst die Oktav-Bilanz O = 5T 2L. Damit berechnen wir ganz einfach die Standard-Iterationsfolge mit der angegebenen Quinte: P (= Ton c) P Q O = 5T 2L 3T L = 2T L (= Ton f) P Q = 3T L (= Ton g) P 2Q O = 6T 2L 5T 2L = T (= Ton d) P 3Q O = 9T 3L 5T 2L = 4T L (= Ton a) P 4Q O = 12T 4L 10T 4L = 2T (= Ton e) P 5Q O = 15T 5L 10T 4L = 5T L (= Ton h). Daraus resultiert eine Reihenfolge T, 2T, 2T L, 3T L, 4T L, 5T L, sodass die Differenzen benachbarter Töne hierbei die Stufenreihenfolge T T L T T T nach

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