Der Approximationssatz von Weierstraß

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Paul Boer
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1 Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x darstelle lasse. Dabe kovergert de Potezrehe erhalb ees Itervalls I = [a, b] glechmäßg gege de Fukto f. Se σ (x = a 0 + a 1 x + a 2 x a x ee Telsumme der Potezrehe f(x. Betrachtet ma de Folge (σ (x N, so glt m Itervall I: ɛ > 0 : 0 N : f σ < ɛ > 0 Es gbt also stets Polyome, de ee aalytsche Fukto eem Itervall belebg geau glechmä ßg approxmere. 2 Frage Se g ee stetge, aber cht ubedgt aalytsche Fukto. (Es gbt also cht ubedgt ee Potezrehe, de g approxmert. Lässt sch g durch Polyome belebg geau der -Norm auf eem bestmmte Itervall approxmere? Se P := {p C(, + p(x = a x mt a R, 0 } der Vektorraum aller Polyome über R mt Höchstgrad. 3 Satz vo Weerstraß Se f C[a, b], < a < b < + belebg, da glt: ɛ > 0 N : p P : f p < ɛ auf [a, b]. De stetge Fukto f ka also auf [a, b] durch Polyome belebg geau approxmert werde. 4 Bewes 1 Da deser Bewes sehr techsch st, soll her ur de Idee vorgestellt werde. Wr betrachte ur das Itervall [0, 1], da sch jedes adere Itervall [a, b] lear auf [0, 1] trasformere lässt ud sch der Bewes somt übertrage lässt. Wr betrachte de Folge (B f N der Berstepolyome (B f(x = f ( ( x (1 x } {{ } =:q (x ( = 1, 2,..., f C(I De (B f(x gebe leare Fuktoe exakt weder, daher legt ahe, dass se adere Fuktoe belebg geau approxmere köte. 1

2 Se ɛ > 0. Wr zege, dass f(x (B f(x < ɛ, also de glechmäßge Kovergez vo (B f N gege f. Es st: f(x (B f(x = [f(x f( ( ]q (x mt q (x = x (1 x = 1 f st glechmäßg stetg, also exstert ach Defto für ɛ > 0 e δ > 0, sodass f(x f( < ɛ 2 x mt x < δ. Ma bldet de Mege N := { {0,..., } x < δ} N := { {0,..., } x δ} für alle Damt st f x (1 x N f N f N f x (1 x < ɛ 2 2 max f(x x (1 x x [0,1] δ 2 Ma betrachtet folgede Atele: 1 q (x = 1 2 q (x = x 3 q (x ( 2 = x 2 + x + (1 x = x (1 x + N f we sch lecht achreche lässt. 2 max x [0,1] f(x δ 2 ( q (x x 2 q (x }{{} 1 x 2 2x 1 x (1 x }{{} 2 ( + 2 }{{} 3 q (x ( x f( ( x (1 x < ɛ 2 N f( ( x (1 x < ɛ. 2

3 Dabe sd de Schrtte 1-3 etscheded für de Kovergez vo B f gege f. Wr defere e 1 (x = 1, e 2 (x = x, e 3 (x = x 2. 5 Festellug De Kovergez vo (B f N gege f für belebges f C(I wrd berets durch de Kovergez vo B e 1 gege e 1, B e 2 gege e 2 ud B e 3 gege e 3 bestmmt. 6 Idee Wr utersuche ee Folge (L N L : C(I C(I, f(x L f P ud zege, dass (L f für f C(I glechmäßg gege f kovergert, we L e j glechmäßg gege e j kovergert, j = 1, 2, 3. 7 Zutate für de Bewes Mootoer learer Operator Def: L : C(I C(I heßt mootoer learer Operator, we glt: L(αf + βg = αl(f + βl(g (Leartät f g Lf Lg 0 f 0 Lf (Mootoe Vektorraum (C(I, Testmege Q Def: Ee Mege Q := {f 1, f 2,..., f }, Q C(I, e 1 spa(q, heßt Testmege, we ee Fukto p C(I I exstert mt p(t, x = k a f (x, a C(I, 1 k =1 p(t, x 0 (t, x I I p(t, t = 0 t I Nullstellemege Z(g Def: Se g C(I I, Z(g := {(t, x I I g(t, x = 0} Dfferezfukto d f Def: Se f C(I Da: d f (t, x := f(x f(t Nu köe wr usere Feststellug auch als Satz formulere. 8 Satz Es se (L N, L : C(I C(I ee Folge mootoer learer Operatore ud Q ee Testmege mt eem passede Polyom p. 3

4 Für alle Fuktoe f Q gelte: Da glt: lm L f f = 0. lm L f f = 0 für alle Fuktoef C(I mt Z(p Z(d f I Awedug deses Satztes lässt sch der Satz vo Weerstraß bewese. 9 Bewes 2 des Satzes vo Weerstraß Wr betrachte ereut de Berstepolyome: (B f(x = f ( ( x (1 x, f C(I. Fasse wr (B f als leare Abbldug auf: B st e mootoer learer Operator, de: B : C[0, 1] P B (αf + βg = αb (f + βb (g (achreche Leartät Se f 0 f ( ( x (1 x = ( f q (x 0 Postvtät }{{ }}{{} 0 auf [0,1] 0 Wähle Testmege Q = {e 1, e 2, e 3 } mt Polyom p p(t, x = (t x 2 = t 2 2tx + x 2 (erste Vorraussetzug p(t, x 0 (t, x [0, 1] p(t, t = 0 t [0, 1] Also hat p(t, x ur de Nullstelle t = x, also glt Z(p Z(d f für alle Fuktoe f C(I. Aus Bewes 1 wsse wr: lm B e j e j = 0, j = 1, 2, 3 Satz 2 lm B f f = 0 für alle f C(I De Berstepolyome B f kovergere also gege f auf dem Itervall I für. 10 Bewes vo Satz 2 Tel 1: lm max (L d f (t, (t = 0 Tel 2: f C(I, Z(p Z(d f! lm! lm f L f = 0 f C(I. max (L d f (t, (t = 0 Tel 1: d f (t, s = f(s f(t d f (t, s = f(s f(te 1 (s f(s = d f (t, s + f(te 1 (s f(r (L f(r = f(r L (d f (t, + f(te 1 ( (r = f(r L (d f (t, (r f(t(l e 1 (r 4

5 Setze r = t f(t (L f(t = f(t L (d f (t, (t f(t(l e 1 (t Dreecksugl. f(t f(t f(t(l e 1 (t + (L d f (t, (t e 1 L e 1 }{{ + max } (L d f (t, (t. =0 e 1 legt ach Defto vo Q spa(q, deshalb folgt e 1 L e 1 = 0. Also st F (t (L f(t max (L d f (t, (t. Ist lm max (L d f (t, (t = 0 lm f L f = 0 (Da bede cht egatv se köe. Tel 2: d f hägt stetg vo f ud x ab (f C(I, also gbt es für ɛ < 0 ee offee Umgebug Ω vo Z(d f, sodass, d f (t, x = f(t f(x < ɛ für alle (t, x I I. De Dagoale d = {(t, x I I t = x} legt auf jede Fall Z(d f. Aus Z(p Z(d f folgt: alle Nullstelle vo p(t, x lege Ω, also st p(t, x > 0 für alle (t, xω c, Ω c = I I\Ω. Da Ω offe st, st hr Komplemet Ω c abgeschlosse ud kompakt, sodass das Mmum m := m p(t, x exstert. (t,x Ωc Daher glt: Für (t, x I I glt also: d f (t, x d f p(t, x m }{{} 1 für alle (t, x Ω c. d f (t, x d f p(t, x m + ɛ. Halte wr u t fest ud wede de mootoe leare Operator L auf x a, so ergbt sch: (L d f (t, (t d f (L p(t, (t m + ɛ(l e 1 (t d f m max (L p(t, (t + ɛ L e 1 (. Da für f Q L f gege f kovergert ( ud p(t, t = 0 st, schrebe wr: (L p(t, (t = Aus L f f (, f Q folgt also: k a (t[(l f (t f (t] }{{} 0 ( =1 Da L e 1 beschräkt st, st wege ( auch lm max (L p(t, (t = 0. lm max (L d f (t, (t = 0. 5

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